समद्विबाहु त्रिकोण विशेषताएं, सूत्र और क्षेत्र, गणना

एक समद्विबाहु त्रिभुज यह तीन-तरफा बहुभुज है, जहां उनमें से दो का माप समान है और तीसरा पक्ष एक अलग माप है। इस अंतिम पक्ष को आधार कहा जाता है। इस विशेषता के कारण इसे यह नाम दिया गया, जिसका ग्रीक में अर्थ है "समान पैर"

त्रिकोण बहुभुज में सबसे सरल माने जाने वाले बहुभुज हैं, क्योंकि वे तीन पक्षों, तीन कोणों और तीन शीर्षकों द्वारा निर्मित होते हैं। वे वे हैं जिनमें अन्य बहुभुज के संबंध में पक्षों और कोणों की कम से कम संख्या है, हालांकि इसका उपयोग बहुत व्यापक है.

सूची

• समद्विबाहु त्रिभुजों के 1 लक्षण
  • 1.1 घटक
• 2 गुण
  • २.१ आंतरिक कोण
  • २.२ भुजाओं का योग
  • २.३ समवेत पक्ष
  • २.४ समागम कोण
  • 2.5 ऊँचाई, माध्यिका, द्विभाजक और द्विभाजक संयोग हैं
  • 2.6 सापेक्ष ऊंचाइयां
  • 2.7 ऑर्थोसेंटर, बैरीसेंटर, इनकेंटर और परिधि संयोग
• 3 परिधि की गणना कैसे करें?
• 4 ऊंचाई की गणना कैसे करें?
• 5 क्षेत्र की गणना कैसे करें?
• 6 त्रिकोण के आधार की गणना कैसे करें?
• 7 व्यायाम
  • 7.1 पहला व्यायाम
  • 7.2 दूसरा व्यायाम
  • 7.3 तीसरा अभ्यास
• 8 संदर्भ

समद्विबाहु त्रिभुजों की विशेषताएँ

समद्विबाहु त्रिभुज को एक पैरामीटर के रूप में इसके पक्षों के माप का उपयोग करके वर्गीकृत किया गया था, क्योंकि इसके दो पक्ष सर्वांगसम हैं (इनकी लंबाई समान है).

आंतरिक कोणों के आयाम के अनुसार समद्विबाहु त्रिभुज को इस प्रकार वर्गीकृत किया जाता है:

• आयताकार समद्विबाहु त्रिभुज: इसके दो पहलू बराबर हैं। इसका एक कोण सीधा है (90)^या) और अन्य समान हैं (45)^या हर एक)
• समद्विबाहु कोण त्रिभुज: इसके दो पहलू बराबर हैं। इसका एक कोण ओबट्यूज़ (> 90) है^या).
• समद्विबाहु तीव्र कोण त्रिभुज: इसके दो पहलू बराबर हैं। इसके सभी कोण तीखे हैं (< 90^या), जहां दो का माप समान है.

घटकों

• मंझला: एक पंक्ति है जो एक तरफ के मध्य बिंदु से निकलती है और विपरीत शिखर पर पहुंचती है। तीनों माध्यक एक बिंदु पर केन्द्रक या केन्द्रक कहते हैं.
• द्विभाजक: एक किरण है जो प्रत्येक शीर्ष के कोण को समान आकार के दो कोणों में विभाजित करती है। यही कारण है कि इसे समरूपता की धुरी के रूप में जाना जाता है और इस प्रकार के त्रिकोणों में केवल एक है.
• ध्यानाकर्षक: त्रिभुज की ओर लंबवत एक खंड है, जो इसके मध्य में उत्पन्न होता है। एक त्रिभुज में तीन चिकित्साएँ होती हैं और वे एक बिंदु पर घूमती हैं जिसे सर्कुन्सेन्ट्रो कहा जाता है.
• ऊँचाई: वह रेखा है जो शिखर से उस तरफ जाती है जो विपरीत है और यह रेखा उस तरफ से लंबवत है। सभी त्रिभुजों की तीन ऊँचाइयाँ होती हैं, जो एक बिंदु पर होती हैं जिसे ऑर्थोसेंटर कहा जाता है.

गुण

समद्विबाहु त्रिकोण परिभाषित या पहचाने जाते हैं क्योंकि उनके पास कई गुण हैं जो उनका प्रतिनिधित्व करते हैं, महान गणितज्ञों द्वारा प्रस्तावित प्रमेयों से उत्पन्न हुए हैं:

आंतरिक कोण

आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 के बराबर होता है^या.

भुजाओं का योग

दो पक्षों के उपायों का योग हमेशा तीसरे पक्ष, a + b> c के माप से अधिक होना चाहिए.

समीपवर्ती पक्ष

समद्विबाहु त्रिकोण में एक ही माप या लंबाई के साथ दो पक्ष होते हैं; वह है, वे सर्वांगसम हैं और तीसरा पक्ष इन सबसे अलग है.

समतल कोण

समद्विबाहु त्रिभुज को आइसो-कोण त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि उनके दो कोण हैं जिनका माप समान है (बधाई)। ये त्रिभुज के आधार पर स्थित होते हैं, पक्षों के विपरीत जिनकी लंबाई समान होती है.

इस वजह से, जो प्रमेय स्थापित करता है:

"यदि किसी त्रिभुज के दो सर्वांगसम भुजाएँ हैं, तो उन भुजाओं के विपरीत कोण भी अभिन्न होंगे।" इसलिए, यदि कोई त्रिभुज समद्विबाहु है, तो उसके आधारों के कोण सम्‍मिलित हैं.

उदाहरण:

निम्नलिखित आंकड़ा एक त्रिकोण एबीसी दिखाता है। एंगल बी के शीर्ष से आधार तक इसके द्विभाजक को ट्रेस करके, त्रिभुज को दो त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है BDA और BDC:

इस प्रकार, शीर्ष B के कोण को भी दो समान कोणों में विभाजित किया गया था। द्विभाजक अब उन दो नए त्रिभुजों के बीच का पक्ष (BD) आम है, जबकि AB और BC पक्षों के अभिनंदन पक्ष हैं। तो आपके पास सर्वांगसमता, कोण, पक्ष (LAL) का मामला है.

इससे पता चलता है कि कोण ए और सी के कोणों का माप एक जैसा है, ठीक उसी तरह यह भी दिखाया जा सकता है कि चूंकि त्रिकोण बीडीए और बीडीसी बधाई हैं, इसलिए एडी और डीसी पक्ष भी बधाई हैं।.

ऊंचाई, माध्यिका, द्विभाजक और द्विभाजक संयोग हैं

समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के मध्य बिंदु के आधार के विपरीत शीर्ष से जो रेखा खींची जाती है, वह ऊंचाई, मध्य और द्विभाजक के साथ-साथ आधार के विपरीत कोण के सापेक्ष द्विभाजक होती है।.

ये सभी खंड एक में मेल खाते हैं जो उनका प्रतिनिधित्व करता है.

उदाहरण:

निम्नलिखित आंकड़ा त्रिकोण एबीसी को एक मध्य बिंदु एम के साथ दिखाता है जो आधार को दो खंडों बीएम और सीएम में विभाजित करता है.

जब आप बिंदु M से विपरीत कगार पर एक खंड खींचते हैं, तो परिभाषा के अनुसार आप माध्य AM प्राप्त करते हैं, जो कि A और BC पक्ष के सापेक्ष होता है।.

चूंकि एएम खंड त्रिकोण एबीसी को दो समान त्रिकोण एएमबी और एएमसी में विभाजित करता है, इसका मतलब है कि साइड, एंगल, साइड कंग्रेंस का मामला लिया जाएगा और इसलिए एएम भी BectorC का द्विभाजक होगा.

यही कारण है कि द्विभाजक हमेशा माध्यिका और इसके विपरीत के बराबर होगा.

एएम खंड एंगल बनाता है जिसमें एएमबी और एएमसी त्रिकोण के लिए एक ही माप होता है; अर्थात्, वे इस तरह से पूरक हैं कि प्रत्येक की माप होगी:

मेड। (AMB) + मेड। (AMC) = 180^या

2 _* मेड। (एएमसी) = 180^या

मेड। (एएमसी) = 180^या ÷ २

मेड। (एएमसी) = 90^या

यह ज्ञात हो सकता है कि एएम सेगमेंट द्वारा त्रिभुज के आधार के संबंध में बनाए गए कोण सीधे हैं, जो इंगित करता है कि यह खंड पूरी तरह से आधार के लंबवत है.

इसलिए यह ऊंचाई और द्विभाजक का प्रतिनिधित्व करता है, यह जानते हुए कि एम मिडपॉइंट है.

इसलिए सीधी रेखा AM:

• बीसी की ऊंचाई का प्रतिनिधित्व करता है.
• यह माध्यम है.
• यह ई.पू. के मीडिएट्रिक्स में निहित है.
• यह शीर्ष कोण का द्विभाजक है ector

सापेक्ष ऊंचाइयां

समान ऊँचाइयों के सापेक्ष जो ऊँचाइयाँ होती हैं, उनका माप भी समान होता है.

चूंकि समद्विबाहु त्रिभुज में दो समान भुजाएँ होती हैं, इसलिए उनकी दो संबंधित ऊँचाइयाँ भी समान होंगी.

ऑर्थोसेंटर, बायरीकेंटर, इनकेंटर और परिधि संयोग

आधार के सापेक्ष ऊंचाई, मंझला, द्विभाजक और द्विभाजक, एक ही खंड द्वारा एक ही समय में दर्शाए जाते हैं, ऑर्थोसेंटर, सेंट्रोसेन्ट्रिक इनकेंटर और परिधि के समतुल्य बिंदु होंगे, यानी वे एक ही रेखा पर होंगे:

परिधि की गणना कैसे करें?

बहुभुज की परिधि की गणना पक्षों के योग से की जाती है.

जैसा कि इस मामले में समद्विबाहु त्रिभुज में एक ही माप के दो पक्ष हैं, इसकी परिधि की गणना निम्न सूत्र से की जाती है:

पी = २_*(साइड ए) + (साइड बी).

ऊंचाई की गणना कैसे करें?

ऊंचाई आधार के लिए लंबवत है, त्रिकोण को दो समान भागों में विभाजित करती है, जो विपरीत शीर्ष पर फैली हुई है.

ऊंचाई विपरीत पैर (ए), आसन्न पैर के आधार (बी / 2) का आधा और "ए" पक्ष कर्ण का प्रतिनिधित्व करती है.

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके, आप ऊंचाई का मान निर्धारित कर सकते हैं:

को² + ख² = ग²

जहां:

को² = ऊंचाई (एच).

ख² = बी / २.

ग² = पक्ष ए.

पाइथागोरस प्रमेय में इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करना, और हमारे पास ऊँचाई को साफ़ करना:

ज² + (ख /)² = को²

ज² + ख² / 4 = को²

ज² = को² - ख² / ४

ज = √ (को² - ख² /).

यदि सर्वांगसम पक्षों द्वारा निर्मित कोण ज्ञात हो, तो ऊँचाई की गणना निम्न सूत्र से की जा सकती है:

क्षेत्र की गणना कैसे करें?

त्रिकोण के क्षेत्र को हमेशा एक ही सूत्र के साथ गणना की जाती है, आधार को ऊंचाई से गुणा करके और दो से विभाजित करें:

ऐसे मामले हैं जहां त्रिकोण के केवल दो पक्षों के माप और उनके बीच बने कोण ज्ञात हैं। इस मामले में, उस क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात को लागू करना आवश्यक है:

त्रिकोण के आधार की गणना कैसे करें?

जैसा कि समद्विबाहु त्रिभुज के दो समान पक्ष हैं, इसके आधार का मान निर्धारित करने के लिए किसी को ऊंचाई या उसके कोण के कम से कम एक उपाय को जानना होगा।.

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग ऊंचाई को जानने के लिए किया जाता है:

को² + ख² = सी²

जहां:

को² = ऊंचाई (एच).

ग² = पक्ष ए.

ख² = बी / 2, अज्ञात है.

हमने बी क्लियर किया² सूत्र और हमें निम्न करना है:

ख² = ए² - ग²

बी = √ ए² - ग²

चूंकि यह मान आधार के आधे हिस्से से मेल खाता है, इसे समद्विबाहु त्रिभुज के आधार का पूरा माप प्राप्त करने के लिए दो से गुणा करना चाहिए:

बी = २ _* (√ ए² - ग²)

इस मामले में कि केवल उसके समान भुजाओं का मान और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, त्रिकोणमिति लागू की जाती है, शीर्ष से एक रेखा को आधार तक ट्रेस करते हुए जो समद्विबाहु त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है।.

इस तरह, आधे आधार की गणना इस प्रकार की जाती है:

यह भी संभव है कि आधार के विपरीत केवल शीर्ष की ऊंचाई और कोण का मूल्य ज्ञात हो। त्रिकोणमिति द्वारा उस स्थिति में आधार को निर्धारित किया जा सकता है:

ट्रेनिंग

पहला व्यायाम

समद्विबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि इसके दो पक्ष 10 सेमी और तीसरे पक्ष के माप 12 सेमी हैं.

समाधान

त्रिकोण के क्षेत्र को खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय से संबंधित क्षेत्र के सूत्र का उपयोग करके ऊंचाई की गणना करना आवश्यक है, क्योंकि बराबर पक्षों के बीच बने कोण का मूल्य ज्ञात नहीं है.

हमारे पास समद्विबाहु त्रिभुज का निम्नलिखित डेटा है:

• समान पक्ष (ए) = 10 सेमी.
• आधार (b) = 12 सेमी.

सूत्र में दिए गए मान बदले गए हैं:

दूसरा व्यायाम

समद्विबाहु त्रिभुज के दो समान पक्षों की लंबाई 42 सेमी मापती है, इन पक्षों का संघ 130 का कोण बनाता है^या. तीसरे पक्ष का मान, उस त्रिभुज का क्षेत्रफल और परिधि निर्धारित करें.

समाधान

इस मामले में पक्षों और इन के बीच के कोण के माप ज्ञात हैं.

लापता पक्ष के मान को जानने के लिए, उस त्रिभुज का आधार, एक रेखा उसके लिए लंबवत खींची जाती है, कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करते हुए, प्रत्येक दाहिने त्रिभुज के लिए एक जो बनता है.

• समान पक्ष (ए) = 42 सेमी.
• कोण (Ɵ) = 130^या

अब त्रिकोणमिति द्वारा आधार के आधे भाग के मान की गणना की जाती है, जो कर्ण के आधे भाग से मेल खाता है:

उस क्षेत्र की गणना करने के लिए उस त्रिकोण की ऊंचाई जानना आवश्यक है जिसे त्रिकोणमिति या पाइथागोरस प्रमेय द्वारा गणना की जा सकती है, अब आधार का मूल्य पहले से निर्धारित किया गया है.

त्रिकोणमिति द्वारा यह होगा:

परिधि की गणना की जाती है:

पी = २_*(साइड ए) + (साइड बी).

पी = २_* (42 सेमी) + (76 सेमी)

पी = 84 सेमी + 76 सेमी

पी = 160 सेमी.

तीसरा व्यायाम

समद्विबाहु त्रिभुज के आंतरिक कोणों की गणना करें, यह जानते हुए कि आधार का कोण Â = 55 है^या

समाधान

दो लापता कोणों (Ê और ang) को खोजने के लिए त्रिकोण के दो गुणों को याद रखना आवश्यक है:

• हर त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा = 180 होगा^या:

 + Ê + Ô = 180 ^या

• समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार के कोण सदैव सर्वांगसम होते हैं, अर्थात्, उनका माप समान होता है, इसलिए:

Ô = Ô

Ê = 55^या

कोण To के मान को निर्धारित करने के लिए, पहले नियम और स्पष्ट the में अन्य कोणों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें:

55^या + 55^या + Ô = 180 ^या

110 ^या + Ô = 180 ^या

Ô = 180 ^या - 110 ^या

Ô = 70 ^या.

संदर्भ

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2. अल्वारो रेंडन, ए। आर। (2004)। तकनीकी ड्राइंग: गतिविधियों नोटबुक.
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