स्केल त्रिकोण सुविधाओं, सूत्र और क्षेत्रों, गणना

एक स्केलीन त्रिकोण यह एक तीन-तरफा बहुभुज है, जहां सभी के पास अलग-अलग माप या लंबाई है; उस कारण से इसे स्केलीन नाम दिया गया है, जिसका लैटिन में अर्थ है चढ़ाई.

त्रिकोण बहुभुज में सबसे सरल माने जाने वाले बहुभुज हैं, क्योंकि वे तीन भुजाओं, तीन कोणों और तीन सिरों से बनते हैं। स्केलीन त्रिकोण के मामले में, क्योंकि इसमें सभी अलग-अलग पक्ष हैं, इसका मतलब है कि इसके तीन कोण भी अलग-अलग होंगे।.

सूची

• 1 स्केलीन त्रिकोण के लक्षण
  • 1.1 घटक
• 2 गुण
  • २.१ आंतरिक कोण
  • २.२ भुजाओं का योग
  • 2.3 असंगत पक्ष
  • २.४ अविभाज्य कोण
  • 2.5 ऊँचाई, माध्यिका, द्विभाजक और द्विभाजक संयोग नहीं हैं
  • 2.6 ऑर्थोसेंटर, बायरीकेंटर, इनकेंटर और परिधि संयोग नहीं हैं
  • 2.7 सापेक्ष ऊंचाइयां
• 3 परिधि की गणना कैसे करें?
• 4 क्षेत्र की गणना कैसे करें?
• 5 ऊंचाई की गणना कैसे करें?
• 6 पक्षों की गणना कैसे करें?
• 7 व्यायाम
  • 7.1 पहला व्यायाम
  • 7.2 दूसरा व्यायाम
  • 7.3 तीसरा अभ्यास
• 8 संदर्भ

खोपड़ी के त्रिकोण के लक्षण

स्केल त्रिकोण सरल बहुभुज होते हैं क्योंकि उनके किनारों या कोणों में से कोई भी एक ही माप नहीं होता है, समद्विबाहु और समबाहु त्रिकोण के विपरीत.

क्योंकि इसके सभी पक्षों और कोणों के माप अलग-अलग हैं, इन त्रिकोणों को अनियमित उत्तल बहुभुज माना जाता है.

आंतरिक कोणों के आयाम के अनुसार, स्केलन त्रिकोण को इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है:

• स्केल आयत त्रिकोण: इसके सभी पक्ष अलग-अलग हैं। इसका एक कोण सीधा है (90)^या) और अन्य तेज और विभिन्न उपायों के साथ हैं.
• स्केल obtuse कोण त्रिकोण: इसके सभी पक्ष अलग-अलग हैं और इसका एक कोण ओबट्यूज़ (> 90) है^या).
• स्केल अकुट कोण त्रिकोण: इसके सभी पक्ष अलग-अलग हैं। इसके सभी कोण तीखे हैं (< 90^या), विभिन्न उपायों के साथ.

स्केलन त्रिकोणों की एक और विशेषता यह है कि उनके पक्षों और कोणों की असंगति के कारण, उनके पास समरूपता का अक्ष नहीं है.

घटकों

मंझला: एक पंक्ति है जो एक तरफ के मध्य बिंदु से निकलती है और विपरीत शिखर पर पहुंचती है। तीनों माध्यक एक बिंदु पर केन्द्रक या केन्द्रक कहते हैं.

द्विभाजक: एक किरण है जो प्रत्येक कोण को समान आकार के दो कोणों में विभाजित करती है। बिंदु में एक त्रिभुज संघनित्र के द्विभाजक को प्रोत्साहन कहा जाता है.

ध्यानाकर्षक: त्रिभुज की ओर लंबवत एक खंड है, जो इसके मध्य में उत्पन्न होता है। एक त्रिभुज में तीन मेडियाट्रिक्ट हैं और एक बिंदु में परिधि कहा जाता है.

ऊँचाई: वह रेखा है जो शिखर से उस तरफ जाती है जो विपरीत है और यह रेखा उस तरफ से लंबवत है। सभी त्रिकोणों में तीन ऊंचाइयाँ होती हैं जो एक बिंदु पर होती हैं जिसे ऑर्थोसेंटर कहा जाता है.

गुण

स्केल त्रिकोण परिभाषित या पहचाने जाते हैं क्योंकि उनके पास कई गुण हैं जो उनका प्रतिनिधित्व करते हैं, जो महान गणितज्ञों द्वारा प्रस्तावित प्रमेयों से उत्पन्न हुए हैं। वे हैं:

आंतरिक कोण

आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 के बराबर होता है^या.

भुजाओं का योग

दो पक्षों के उपायों का योग हमेशा तीसरे पक्ष, a + b> c के माप से अधिक होना चाहिए.

असंगत पक्ष

स्केलन त्रिकोण के सभी पक्षों के अलग-अलग उपाय या लंबाई हैं; यही कारण है कि वे असंगत हैं.

असंगत कोण

चूंकि स्कैलीन त्रिकोण के सभी पक्ष अलग-अलग हैं, इसलिए उनके कोण भी अलग-अलग होंगे। हालांकि, आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 and के बराबर होगा, और कुछ मामलों में, इसके कोणों में से एक को आपत्तिजनक या सीधा किया जा सकता है, जबकि अन्य में इसके सभी कोण तीव्र होंगे.

ऊंचाई, माध्यिका, द्विभाजक और द्विभाजक संयोग नहीं हैं

किसी भी त्रिभुज की तरह, स्कैलीन में सीधी रेखाओं के कई खंड होते हैं, जो इसकी रचना करते हैं, जैसे: ऊंचाई, मध्य, द्विभाजक और द्विभाजक.

अपने पक्षों की ख़ासियत के कारण, इस तरह के त्रिभुज में इनमें से कोई भी रेखा एकल में संयोग नहीं करेगी.

ऑर्थोसेंटर, बायरीकेंटर, इनकेंटर और परिधि संयोग नहीं हैं

ऊंचाई, मंझला, द्विभाजक और द्विभाजक के रूप में, सीधी रेखाओं के विभिन्न खंडों द्वारा दर्शाया जाता है, एक स्केलीन त्रिभुज में बैठक बिंदु - ऑर्थोसेंटर, सेंट्रोकेन्ट, इंसेंटर और परिधि - अलग-अलग बिंदुओं में पाए जाएंगे (वे संयोग नहीं करते हैं).

त्रिभुज तीव्र, आयताकार या टेढ़ा है, इस पर निर्भर करता है कि ऑर्थोसेंटर के अलग-अलग स्थान हैं:

एक। यदि त्रिकोण तीव्र है, तो ऑर्थोसेंटर त्रिकोण के अंदर होगा.

ख। यदि त्रिकोण एक आयत है, तो ऑर्थोसेंटर सीधे पक्ष के शीर्ष के साथ मेल खाएगा.

सी। यदि त्रिभुज आपत्तिजनक है, तो ऑर्थोसेंटर त्रिभुज के बाहर होगा.

सापेक्ष ऊंचाइयां

हाइट्स पक्षों के सापेक्ष हैं.

स्केलीन त्रिकोण के मामले में इन ऊंचाइयों में अलग-अलग माप होंगे। हर त्रिभुज की तीन सापेक्ष ऊँचाइयाँ होती हैं और उनकी गणना करने के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग किया जाता है.

परिधि की गणना कैसे करें?

बहुभुज की परिधि की गणना पक्षों के योग से की जाती है.

जैसा कि इस मामले में स्केलीन त्रिकोण के सभी पक्ष अलग-अलग माप के हैं, इसकी परिधि निम्न होगी:

पी = साइड ए + साइड बी + साइड सी.

क्षेत्र की गणना कैसे करें?

त्रिकोण के क्षेत्र को हमेशा एक ही सूत्र के साथ गणना की जाती है, आधार को ऊंचाई से गुणा करके और दो से विभाजित करें:

क्षेत्र = (आधार _* ज) ÷ २

कुछ मामलों में स्केलीन त्रिभुज की ऊंचाई ज्ञात नहीं है, लेकिन एक सूत्र है जो गणितज्ञ हेरोन द्वारा प्रस्तावित किया गया था, एक त्रिकोण के तीन पक्षों की माप जानने वाले क्षेत्र की गणना करने के लिए।.

जहां:

• a, b और c, त्रिभुज की भुजाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं.
• सपा, त्रिभुज के अर्धवृत्त से मेल खाती है, अर्थात परिधि का आधा भाग:

sp = (a + b + c) b 2

इस मामले में कि आपके पास केवल त्रिभुज के दो पक्षों का माप है और उनके बीच जो कोण बनता है, उस क्षेत्र की गणना त्रिकोणमितीय अनुपातों को लागू करके की जा सकती है। तो आपको निम्न करना होगा:

क्षेत्र = (पक्ष _* ज) ÷ २

जहाँ ऊँचाई (h) विपरीत कोण के साइन द्वारा एक तरफ का उत्पाद है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक पक्ष के लिए, क्षेत्र होगा:

• क्षेत्र = (बी) _* ग _* सेन ए) ÷ 2
• क्षेत्र = (ए _* ग _* सेन B) ÷ 2.
• क्षेत्र = (ए _* ख _* सेन ग) ÷ २

ऊंचाई की गणना कैसे करें?

चूंकि स्केलीन त्रिकोण के सभी पक्ष अलग-अलग हैं, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के साथ ऊंचाई की गणना करना संभव नहीं है.

हेरोन के सूत्र से, जो एक त्रिभुज के तीन पक्षों की माप पर आधारित है, क्षेत्र की गणना की जा सकती है.

ऊंचाई को क्षेत्र के सामान्य सूत्र से साफ किया जा सकता है:

पक्ष को ए, बी या सी के माप से बदल दिया जाता है.

कोणों में से किसी एक का मान ज्ञात होने पर ऊंचाई की गणना करने का दूसरा तरीका त्रिकोणमितीय अनुपात को लागू करना है, जहां ऊंचाई त्रिकोण के एक पैर का प्रतिनिधित्व करेगी।.

उदाहरण के लिए, जब ऊंचाई के विपरीत कोण को ज्ञात किया जाता है, तो यह साइन द्वारा निर्धारित किया जाएगा:

पक्षों की गणना कैसे करें?

जब आपके पास दो भुजाओं का माप और इनके विपरीत कोण होता है, तो कोसाइन के प्रमेय को लागू करके तीसरे पक्ष को निर्धारित करना संभव है.

उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज AB में, खंड AC के सापेक्ष ऊँचाई को प्लॉट किया जाता है। इस तरह त्रिभुज को दो दाहिने त्रिकोणों में विभाजित किया जाता है.

सी-साइड (खंड एबी) की गणना करने के लिए, पायथागॉरियन प्रमेय को प्रत्येक त्रिकोण के लिए लागू किया जाता है:

• नीले त्रिकोण के लिए आपको निम्न करना होगा:

ग² = एच² + मीटर²

जैसा कि m = b - n, इसे प्रतिस्थापित किया गया है:

ग² = एच² + ख² (बी - एन)²

ग² = एच² + ख² - 2bn + एन².

• गुलाबी त्रिकोण के लिए आपको निम्न करना होगा:

ज² = ए² - n²

इसे पिछले समीकरण में बदल दिया गया है:

ग² = ए² - n² + ख² - 2bn + एन²

ग² = ए² + ख² - 2bn.

यह जानकर कि एन = ए _* cos C, पिछले समीकरण में बदल दिया गया है और पक्ष c का मान प्राप्त किया गया है:

ग² = ए² + ख² - 2 बी_* को _* कॉस सी.

कोसिन के नियम से, पक्षों की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

• को² = बी² + ग² - 2 बी_* ग _* कॉस ए.
• ख² = ए² + ग² - 2_* ग _* cos B.
• ग² = ए² + ख² - 2 बी_* को _* कॉस सी.

ऐसे मामले हैं जहां त्रिभुज की भुजाओं का माप ज्ञात नहीं है, लेकिन उनकी ऊँचाई और कोण जो कोणों में बनते हैं। इन मामलों में क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात को लागू करना आवश्यक है.

इसके एक कोने के कोण को जानने के बाद, पैरों की पहचान की जाती है और इसी त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग किया जाता है:

उदाहरण के लिए, कैथेट एबी कोण सी के लिए विपरीत होगा, लेकिन कोण ए के निकट होगा। ऊंचाई के आधार पर पक्ष या कैथेट के आधार पर, दूसरे पक्ष को इसका मान प्राप्त करने के लिए मंजूरी दे दी गई है.

ट्रेनिंग

पहला व्यायाम

क्षेत्र और ऊंचाई त्रिभुज ABC की ऊंचाई की गणना करें, यह जानते हुए कि इसके पक्ष हैं:

a = 8 सेमी.

बी = 12 सेमी.

सी = 16 सेमी.

समाधान

जैसा कि डेटा को स्केलीन त्रिकोण के तीन पक्षों का माप दिया जाता है.

क्योंकि आपके पास ऊँचाई का मान नहीं है, आप हेरॉन सूत्र को लागू करके क्षेत्र निर्धारित कर सकते हैं.

सबसे पहले सेमीपाइमीटर की गणना की जाती है:

sp = (a + b + c) b 2

sp = (8 सेमी + 12 सेमी + 16 सेमी) + 2

एसपी = 36 सेमी। 2

एसपी = 18 सेमी.

अब हेरॉन के फार्मूले के मूल्यों को बदल दिया गया है:

क्षेत्र को जानने के पक्ष बी पर सापेक्ष ऊंचाई की गणना की जा सकती है। सामान्य सूत्र से, इसे साफ़ करना आपके पास है:

क्षेत्र = (पक्ष _* ज) ÷ २

46, 47 सेमी² = (12 सेमी _* ज) ÷ २

ज = (२) _* 46.47 सेमी²) Cm 12 सेमी

एच = 92.94 सेमी² ÷ 12 सेमी

एच = 7.75 सेमी.

दूसरा व्यायाम

स्केलिन त्रिभुज ABC को देखते हुए, जिनके उपाय हैं:

• खंड एबी = 25 मीटर.
• खंड ईसा पूर्व = 15 मीटर.

शीर्ष B पर 50 ° का कोण बनता है। उस त्रिकोण के साइड सी, परिधि और क्षेत्र के सापेक्ष ऊंचाई की गणना करें.

समाधान

इस मामले में आपके पास दो पक्षों के उपाय हैं। ऊँचाई निर्धारित करने के लिए तीसरे पक्ष के माप की गणना करना आवश्यक है.

चूंकि दिए गए पक्षों के विपरीत कोण दिया गया है, इसलिए एसी पक्ष (ख) का माप निर्धारित करने के लिए कोजाइन के नियम को लागू करना संभव है:

ख² = ए² + ग² - 2_*ग _* cos B

जहां:

a = BC = 15 मी.

सी = एबी = 25 मीटर.

बी = एसी.

बी = ५०^या.

डेटा प्रतिस्थापित किया गया है:

ख² = (15)² + (25)² - 2_*(15)_*(25) _* cos 50

ख² = (225) + (625) - (750) _* 0.6427

ख² = (225) + (625) - (482,025)

ख² = 367,985

b = √367,985

b = 19.18 मीटर.

जैसा कि आपके पास पहले से ही तीन पक्षों का मूल्य है, उस त्रिकोण की परिधि की गणना करें:

पी = साइड ए + साइड बी + साइड सी

पी = 15 मीटर + 25 मीटर + 19, 18 मीटर

पी = 59.18 मीटर

अब हेरॉन सूत्र को लागू करके क्षेत्र को निर्धारित करना संभव है, लेकिन पहले सेमीपाइमीटर की गणना की जानी चाहिए:

sp = P ÷ 2

sp = 59.18 m। 2

sp = 29.59 मी.

पक्षों और सेमीपाइमीटर की माप को हेरॉन सूत्र में बदल दिया जाता है:

अंत में, क्षेत्र को जानते हुए, साइड सी पर सापेक्ष ऊंचाई की गणना की जा सकती है। सामान्य सूत्र से, आपको इसे साफ़ करना होगा:

क्षेत्र = (पक्ष _* ज) ÷ २

143,63 मी² = (25 मी।) _* ज) ÷ २

ज = (२) _* 143,63 मी²) M 25 मीटर

h = 287.3 मी² ÷ 25 मीटर

ज = ११.५ मी.

तीसरा व्यायाम

स्केलीन त्रिभुज ABC में भुजा b 40 सेमी, पक्ष c 22 सेमी मापता है, और शीर्ष A में 90 का कोण बनता है^या. उस त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें.

समाधान

इस मामले में स्केलीन त्रिभुज ABC के दो भुजाओं के माप दिए गए हैं, साथ ही शीर्ष A में जो कोण बनता है.

उस क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, पक्ष के माप की गणना करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि त्रिकोणमितीय अनुपात के माध्यम से कोण का उपयोग किया जाता है।.

चूँकि ऊंचाई के विपरीत कोण को ज्ञात किया जाता है, इसलिए यह एक तरफ उत्पाद और कोण की साइन द्वारा निर्धारित किया जाएगा.

उस क्षेत्र के सूत्र में प्रतिस्थापित करना जो आपके पास है:

• क्षेत्र = (पक्ष _* ज) ÷ २
• ज = स _* सेन ए

क्षेत्र = (बी) _* ग _* सेन ए) ÷ 2

क्षेत्र = (40 सेमी _* 22 से.मी. _* सेन 90) ÷ 2

क्षेत्र = (40 सेमी _* 22 से.मी. _* १) ÷ २

क्षेत्रफल = 880 सेमी² ÷ २

क्षेत्र = 440 सेमी².

संदर्भ

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