उदाहरण x ^ 2 + bx + c का उदाहरण

हल करने के लिए सीखने से पहले प्रपत्र x ^ 2 + bx + c की त्रिनोमिअल, और ट्रिनोमियल की अवधारणा को जानने से पहले भी, दो आवश्यक धारणाओं को जानना महत्वपूर्ण है; अर्थात्, मोनोमियल और बहुपद की अवधारणाएं। एक मोनोमियल एक प्रकार की अभिव्यक्ति है * xⁿ, जहां एक परिमेय संख्या है, n एक प्राकृतिक संख्या है और x एक चर है.

एक बहुपद के रूप का एक रैखिक संयोजन है a_n* एक्सⁿ+को_n-1* एक्स^n-1+... + क₂* एक्स²+को₁* x + ए₀, जहां प्रत्येक_मैं, i = 0, ..., n के साथ, एक परिमेय संख्या है, n एक प्राकृतिक संख्या है और a_n नॉनजरो है। इस मामले में यह कहा जाता है कि बहुपद की डिग्री n है.

अलग-अलग डिग्री के केवल दो पदों (दो मोनोमियल) के योग से बनने वाली बहुपद को द्विपद के रूप में जाना जाता है.

सूची

• 1 त्रिनोमिअल्स
  • १.१ पूर्ण वर्ग त्रिनोमियल
• ग्रेड 2 ट्रिनोमिअल्स के 2 लक्षण
  • २.१ परिपूर्ण वर्ग
  • २.२ सॉल्वेंट सूत्र
  • 2.3 ज्यामितीय व्याख्या
  • 2.4 ट्रिनोमिअल्स की फैक्टरिंग
• 3 उदाहरण
  • ३.१ उदाहरण १
  • ३.२ उदाहरण २
• 4 संदर्भ

trinomials

अलग-अलग डिग्री के केवल तीन शब्दों (तीन मोनोमियल) के योग से बनने वाली बहुपद को ट्रिनोमियल के रूप में जाना जाता है। त्रिनोमियल के उदाहरण निम्नलिखित हैं:

• एक्स³+एक्स²+5x
• 2x⁴-एक्स³+5
• एक्स²+6x + 3

ट्रिनोमिलेस कई प्रकार के होते हैं। इनमें से सही वर्ग त्रिनोमियल पर प्रकाश डाला गया है.

बिल्कुल सही वर्ग ट्रिनोमियल

एक पूर्ण वर्ग ट्रिनोमियल एक द्विपद वर्ग बढ़ाने का परिणाम है। उदाहरण के लिए:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+वाई)²= 4x⁶+4x³य + य²
• (4x²-2y⁴)²= 16x⁴-16x²और⁴+4y⁸
• 1 / 16x²और⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy)⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-जेड)²

ग्रेड 2 ट्रिनोमिअल्स के लक्षण

एकदम चौकोर

सामान्य तौर पर, फार्म कुल्हाड़ी के एक त्रिनोमियल²+bx + c एक पूर्ण वर्ग है यदि इसका विभेदक शून्य के बराबर है; वह है, अगर बी²-4ac = 0, क्योंकि इस मामले में इसकी केवल एक जड़ होगी और इसे एक्स (d) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है²= (√a (x-d))², जहाँ d पहले से ही उल्लेख किया गया है.

बहुपद की एक संख्या एक संख्या है जिसमें बहुपद शून्य हो जाता है; दूसरे शब्दों में, एक संख्या जो बहुपद की अभिव्यक्ति में x में प्रतिस्थापित करके, शून्य में परिणाम करती है.

विलायक सूत्र

फार्म कुल्हाड़ी के दूसरे डिग्री के एक बहुपद की जड़ों की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र²+bx + c रिज़ॉल्वर का सूत्र है, जो बताता है कि ये जड़ें (-b the the / b द्वारा दी गई हैं)²-4ac)) / 2 ए, जहां बी²-4ac को विवेचक के रूप में जाना जाता है और इसे आमतौर पर the द्वारा निरूपित किया जाता है। इस सूत्र से यह उस कुल्हाड़ी का अनुसरण करता है²+bx + c में है:

- दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें अगर 0> 0.

- एक वास्तविक जड़ अगर Δ = 0 है.

- इसकी कोई वास्तविक जड़ नहीं है अगर if<0.

निम्नलिखित में हम केवल एक्स के ट्रिनोमलायस पर विचार करेंगे²+bx + c, जहां स्पष्ट रूप से c एक गैर-शून्य संख्या होनी चाहिए (अन्यथा यह एक द्विपद होगा)। फैक्टरिंग और उनके साथ काम करने पर इस तरह के ट्रिनोमिअल्स के कुछ फायदे हैं.

ज्यामितीय व्याख्या

ज्यामितीय रूप से, ट्रिनोमियल एक्स²+bx + c एक परवल है जो ऊपर की तरफ खुलता है और बिंदु (-b / 2, -b) पर शीर्ष होता है²कार्टेसियन विमान का / 4 + c) क्योंकि x²+bx + c = (x + b / 2)²-ख²/ 4 + सी.

यह पेराबोला बिंदु पर वाई अक्ष (0, c) और X अक्ष को बिंदुओं (d) पर काटता है₁,0) और (d)₂,0); फिर, डी₁ और डी₂ वे ट्रिनोमियल की जड़ें हैं। ऐसा हो सकता है कि ट्रिनोमियल में एक ही जड़ d है, जिस स्थिति में X अक्ष के साथ एकमात्र कट होगा (d, 0).

यह भी हो सकता है कि ट्रिनोमियल के पास कोई वास्तविक जड़ नहीं है, जिस स्थिति में यह किसी भी बिंदु पर एक्स अक्ष में कटौती नहीं करेगा.

उदाहरण के लिए, एक्स²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² (-3,0) में शीर्ष के साथ परबोला है, जो (0,9) में वाई अक्ष और (-3,0) में एक्स अक्ष को काटता है.

त्रिगुणात्मक कारक

बहुपद के साथ काम करते समय एक बहुत ही उपयोगी उपकरण फैक्टरिंग है, जो कि कारकों के एक उत्पाद के रूप में एक बहुपद को व्यक्त करना है। सामान्य तौर पर, प्रपत्र x का ट्रिनोमियल दिया जाता है²+bx + c, यदि इसमें दो अलग-अलग जड़ें हैं d₁ और डी₂, इसे (x-d) के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है₁) (एक्स-डी)₂).

यदि आपके पास केवल एक रूट d है, तो आप इसे (x-d) (x-d) = (x-d) के रूप में लिख सकते हैं।², और यदि इसकी कोई वास्तविक जड़ नहीं है, तो इसे वही छोड़ दिया जाता है; इस मामले में यह स्वयं के अलावा अन्य कारकों के उत्पाद के रूप में एक कारक का समर्थन नहीं करता है.

इसका मतलब यह है कि, पहले से ही स्थापित फार्म के एक ट्रिनोमियल की जड़ों को जानने के बाद, इसके कारक को आसानी से व्यक्त किया जा सकता है, और जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, इन जड़ों को हमेशा रिज़ॉल्वेंट का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है.

हालांकि, इस प्रकार की ट्रिनोमियों की एक महत्वपूर्ण मात्रा है जो कि उनकी जड़ों को पहले से जानने के बिना फैक्टर किया जा सकता है, जो काम को सरल करता है.

रिज़ॉल्वर के सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को सीधे कारककरण से निर्धारित किया जा सकता है; ये फॉर्म एक्स के बहुपद हैं² +(a + b) x + ab इस मामले में आपके पास:

एक्स²+(a + b) x + ab = x²+ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

यहां से यह आसानी से देखा जा सकता है कि जड़ें -ए और -बी हैं.

दूसरे शब्दों में, एक ट्रिनोमियल x दिया जाता है²+bx + c, अगर दो संख्याएँ हैं u और v ऐसी कि c = uv और b = u + v, तो x²+bx + c = (x + u) (x + v).

यही है, एक ट्रिनोमियल एक्स दिया जाता है²+bx + c, पहले सत्यापित करें कि क्या दो संख्याएँ हैं जो गुणा से स्वतंत्र शब्द (c) और जोड़ा (या घटाया गया है, मामले पर निर्भर करता है), x (b) के साथ आने वाले शब्द को दें.

इस तरह से सभी ट्रिनोमिअल्स के साथ नहीं इस विधि को लागू किया जा सकता है; जहाँ आप नहीं कर सकते हैं, आप रिजॉल्व में जाते हैं और उपर्युक्त आवेदन करते हैं.

उदाहरण

उदाहरण 1

निम्नलिखित ट्रिनोमियल x को कारक करने के लिए²+3x + 2 हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

आपको दो नंबर खोजने होंगे जैसे कि जब आप उन्हें जोड़ते हैं, तो परिणाम 3 होता है, और जब आप उन्हें गुणा करते हैं, तो परिणाम 2 होता है.

एक निरीक्षण करने के बाद यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि मांगी गई संख्याएं हैं: 2 और 1. इसलिए, एक्स²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

उदाहरण 2

ट्रिनोमियल एक्स को कारक करने के लिए²-5x + 6 हम दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका योग -5 है और इसका गुणनफल 6. इन दो स्थितियों को पूरा करने वाली संख्याएँ -3 और -2 हैं। इसलिए, दिए गए ट्रिनोमियल का गुणन x है²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

संदर्भ

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