समबाहु त्रिभुज सुविधाएँ, गुण, सूत्र और क्षेत्र

एक समबाहु त्रिभुज यह तीन पक्षों के साथ एक बहुभुज है, जहां सभी समान हैं; यह है, वे एक ही उपाय है। उस विशेषता के लिए इसे समबाहु (समान पक्ष) का नाम दिया गया था.

त्रिकोण बहुभुज में सबसे सरल माने जाने वाले बहुभुज हैं, क्योंकि वे तीन भुजाओं, तीन कोणों और तीन सिरों से बनते हैं। समबाहु त्रिभुज के मामले में, समान पक्ष होने से तात्पर्य है कि इसके तीन कोण भी होंगे.

सूची

• 1 समबाहु त्रिकोण के लक्षण
  • 1.1 समान पक्ष
  • 1.2 घटक
• 2 गुण
  • २.१ आंतरिक कोण
  • २.२ बाह्य कोण
  • 2.3 पक्षों का योग
  • २.४ समवयस्क पक्ष
  • 2.5 समशीतोष्ण कोण
  • 2.6 द्विभाजक, माध्यिका और मीडिएट्रिक्स संयोग हैं
  • 2.7 द्विभाजक और ऊंचाई संयोग हैं
  • 2.8 ऑर्थोसेंटर, बैरीसेंटर, इनकेंटर और परिधि संयोग
• 3 परिधि की गणना कैसे करें?
• 4 ऊंचाई की गणना कैसे करें?
• 5 पक्षों की गणना कैसे करें?
• 6 क्षेत्र की गणना कैसे करें?
• 7 व्यायाम
  • 7.1 पहला व्यायाम
  • 7.2 दूसरा व्यायाम
  • 7.3 तीसरा अभ्यास
• 8 संदर्भ

समबाहु त्रिभुजों की विशेषताएँ

समान पक्ष

समबाहु त्रिकोण समतल और बंद आकृतियाँ हैं, जो सीधी रेखाओं के तीन खंडों से बनी हैं। त्रिकोण अपनी विशेषताओं द्वारा वर्गीकृत किए जाते हैं, अपने पक्षों और कोणों के संबंध में; समभुज को एक पैरामीटर के रूप में अपने पक्षों के माप का उपयोग करके वर्गीकृत किया गया था, क्योंकि ये बिल्कुल समान हैं, अर्थात, वे बधाई हैं.

समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज का एक विशेष मामला है क्योंकि इसके दो पक्ष सर्वांगसम हैं। इसीलिए सभी समबाहु त्रिकोण समद्विबाहु हैं, लेकिन सभी समद्विबाहु त्रिभुज समबाहु नहीं होंगे.

इस तरह समबाहु त्रिभुज में समद्विबाहु त्रिभुज के समान गुण होते हैं.

समबाहु त्रिभुज को उनके आंतरिक कोणों के आयाम द्वारा समबाहु त्रिभुज के रूप में भी वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसमें एक ही उपाय के साथ तीन पक्ष और तीन आंतरिक कोण हैं। कोण तेज होंगे, यानी वे 90 से कम होंगे^या.

घटकों

सामान्य रूप से त्रिकोण में कई पंक्तियाँ और बिंदु होते हैं जो इसकी रचना करते हैं। उनका उपयोग क्षेत्र, पक्ष, कोण, मध्य, द्विभाजक, लंब और ऊंचाई की गणना करने के लिए किया जाता है.

• मंझला: एक पंक्ति है जो एक तरफ के मध्य बिंदु से निकलती है और विपरीत शिखर पर पहुंचती है। तीनों माध्यक एक बिंदु पर केन्द्रक या केन्द्रक कहते हैं.
• द्विभाजक: एक किरण है जो कोणों के कोण को समान आकार के दो कोणों में विभाजित करती है, इसीलिए इसे समरूपता के अक्ष के रूप में जाना जाता है। समबाहु त्रिभुज में सममिति के तीन अक्ष होते हैं.

समबाहु त्रिभुज में द्विभाजक को एक कोण के शीर्ष से इसके विपरीत तरफ खींचा जाता है, इसे इसके मध्य बिंदु पर काट दिया जाता है। इन कॉन्सर्ट इन पॉइंट को इंसेंट्रो कहा जाता है.

• ध्यानाकर्षक: त्रिभुज के उस ओर एक खंड लंबवत है जो इसके मध्य में उत्पन्न होता है। एक त्रिभुज में तीन चिकित्साएँ होती हैं और वे एक बिंदु पर घूमती हैं जिसे सर्कुन्सेन्ट्रो कहते हैं.
• ऊँचाई: वह रेखा है जो शिखर से उस तरफ जाती है जो विपरीत है और यह रेखा उस तरफ से लंबवत है। सभी त्रिकोणों में तीन ऊंचाइयाँ होती हैं जो एक बिंदु पर होती हैं जिसे ऑर्थोसेंटर कहा जाता है.

गुण

समबाहु त्रिकोणों की मुख्य संपत्ति यह है कि वे हमेशा समद्विबाहु त्रिभुज होंगे, क्योंकि समद्विबाहु दो सर्वांगसम पक्षों और समबाहु तीनों द्वारा निर्मित होते हैं।.

इस तरह, समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज के सभी गुणों को विरासत में मिला:

आंतरिक कोण

आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 के बराबर होता है^या, और जब से इसके सभी कोण सम्‍मिलित हैं, तब इनमें से हर एक 60 को मापेगा^या.

बाहरी कोण

बाहरी कोणों का योग हमेशा 360 के बराबर होगा^या, इसलिए प्रत्येक बाहरी कोण 120 को मापेगा^या. ऐसा इसलिए है क्योंकि आंतरिक और बाहरी कोण पूरक हैं, अर्थात्, उन्हें जोड़ना हमेशा 180 के बराबर होगा^या.

भुजाओं का योग

दो पक्षों के उपायों का योग हमेशा तीसरे पक्ष के माप से अधिक होना चाहिए, अर्थात, a + b> c, जहां a, b और c प्रत्येक पक्ष के माप हैं.

समीपवर्ती पक्ष

समबाहु त्रिभुज एक ही माप या लंबाई के साथ अपने तीन पक्ष हैं; यही है, वे बधाई हैं। इसलिए, पिछले आइटम में हमारे पास एक = बी = सी है.

समतल कोण

समबाहु त्रिभुज को समभुज त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि उनके तीन आंतरिक कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसके सभी पक्षों का माप भी समान है.

बाइसेक्टर, माध्यिका और मेडिएट्रिक्स संयोग हैं

द्विभाजक त्रिभुज की भुजा को दो भागों में विभाजित करता है। समबाहु त्रिभुजों में उस भुजा को दो समान भागों में विभाजित किया जाएगा, अर्थात त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित किया जाएगा।.

इस प्रकार, समबाहु त्रिभुज के किसी भी कोण से खींचा गया द्विभाजक मध्यरेखा और उस कोण के विपरीत पक्ष के द्विभाजक से मेल खाता है.

उदाहरण:

निम्नलिखित आंकड़ा त्रिकोण एबीसी को एक मिडपॉइंट डी के साथ दिखाता है जो अपने एक पक्ष को दो खंडों एडी और बीडी में विभाजित करता है.

जब आप बिंदु D से विपरीत शिखर तक एक रेखा खींचते हैं, तो परिभाषा के अनुसार आपको माध्यिका CD मिलती है, जो कि C और AB के किनारे के सापेक्ष होती है।.

चूंकि सीडी खंड, त्रिभुज ABC को CDB और CDA के बराबर दो त्रिकोणों में विभाजित करता है, इसका मतलब है कि हमारे पास अनुरूपता का मामला होगा: पक्ष, कोण, पक्ष और इसलिए सीडी भी BCD का द्विभाजक होगा.

सीडी सेगमेंट खींचते समय, वर्टेक्स एंगल को 30 के दो बराबर कोणों में विभाजित करें^या, वर्टेक्स ए का कोण 60 को मापता है^या और सीधी सीडी 90 का कोण बनाती है^या मिडपॉइंट डी के संबंध में.

सेगमेंट सीडी ऐसे कोण बनाती है जिनका त्रिभुज ADC और BDC के लिए समान माप है, अर्थात वे इस तरह से पूरक हैं कि प्रत्येक का माप होगा:

मेड। (ADB) + मेड। (ADC) = 180^या

2 _* मेड। (ADC) = 180^या

मेड। (ADC) = 180^या ÷ २

मेड। (ADC) = 90^या.

और इसलिए, आपके पास यह है कि सीडी खंड एबी पक्ष का द्विभाजक भी है.

द्विभाजक और ऊंचाई संयोग हैं

जब आप कोण के शीर्ष से द्विभाजक को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु तक खींचते हैं, तो यह समबाहु त्रिभुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है.

इस तरह से कि 90 का कोण बनता है^या (सीधे)। यह इंगित करता है कि यह रेखा खंड उस तरफ पूरी तरह से लंबवत है, और परिभाषा के अनुसार वह रेखा ऊंचाई होगी.

इस तरह, समबाहु त्रिभुज के किसी भी कोण का द्विभाजक उस कोण के विपरीत दिशा में सापेक्ष ऊँचाई से मेल खाता है.

ऑर्थोसेंटर, बायरीकेंटर, इनकेंटर और परिधि संयोग

जैसा कि ऊँचाई, माध्यिका, द्विभाजक और द्विभाजक को एक ही खंड द्वारा एक समबाहु त्रिभुज में दर्शाया जाता है, एक समबाहु त्रिभुज में इन खंडों की बैठक के बिंदु हैं- orthocenter, barycenter, incenter और circumcenter-, एक ही बिंदु में होंगे:

परिधि की गणना कैसे करें?

बहुभुज की परिधि की गणना पक्षों के योग से की जाती है। चूंकि इस मामले में समबाहु त्रिभुज के सभी पक्ष एक ही माप के होते हैं, इसलिए इसकी परिधि की गणना निम्न सूत्र से की जाती है:

पी = ३ _* पक्ष.

ऊंचाई की गणना कैसे करें?

चूँकि ऊँचाई आधार के लिए लंबवत होती है, इसलिए यह इसे दो समान भागों में विभाजित करती है, जो विपरीत शीर्ष पर फैली होती है। इस प्रकार दो बराबर दाएं त्रिकोण बनते हैं.

ऊंचाई (एच) विपरीत पक्ष (ए) का प्रतिनिधित्व करती है, बगल के एसी का आधा हिस्सा बगल की तरफ (बी) और साइड बीसी कर्ण का प्रतिनिधित्व करता है (सी).

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके, आप ऊंचाई का मान निर्धारित कर सकते हैं:

को² + ख²= सी²

जहां:

को² = ऊंचाई (एच).

ख² = साइड बी / २.

ग² = पक्ष ए.

पाइथागोरस प्रमेय में इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करना, और हमारे पास ऊँचाई को साफ़ करना:

ज² + ( एल / 2)² = एल²

ज² +  एल²/ 4 = एल²

ज² = एल²  -  एल²/ 4

ज² = (४)_*एल² -  एल²) / 4

ज² =  3_*एल²/4

√ज² = 3 (3)_*एल²/4)

यदि सर्वांगसम पक्षों द्वारा निर्मित कोण ज्ञात है, तो त्रिकोणमितीय अनुपातों को लागू करके ऊंचाई (एक पैर द्वारा दर्शाई गई) की गणना की जा सकती है.

संदर्भ के रूप में लिए गए कोण के आधार पर पैरों को विपरीत या आसन्न कहा जाता है.

उदाहरण के लिए, पिछले आंकड़े में कैथेट एच कोण सी के लिए विपरीत होगा, लेकिन कोण बी के निकट:

इस प्रकार, ऊंचाई की गणना निम्न के साथ की जा सकती है:

पक्षों की गणना कैसे करें?

ऐसे मामले हैं जहां त्रिभुज की भुजाओं का माप ज्ञात नहीं है, लेकिन उनकी ऊँचाई और कोण कोणों में बनते हैं.

इन मामलों में क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात को लागू करना आवश्यक है.

इसके एक कोने के कोण को जानने के बाद, पैरों की पहचान की जाती है और इसी त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग किया जाता है:

इस प्रकार, पैर एबी, कोण सी के विपरीत होगा, लेकिन कोण ए के बगल में या ऊंचाई के आधार पर पैर या पैर के आधार पर, दूसरे पक्ष को इसके मूल्य प्राप्त करने के लिए मंजूरी दे दी गई है, यह जानकर कि एक समभुज त्रिभुज में तीन पक्षों का आकार हमेशा एक जैसा होगा.

क्षेत्र की गणना कैसे करें?

त्रिकोण के क्षेत्र को हमेशा एक ही सूत्र के साथ गणना की जाती है, आधार को ऊंचाई से गुणा करके और दो से विभाजित करें:

क्षेत्र = (बी) _* ज) ÷ २

यह जानकर कि ऊंचाई सूत्र द्वारा दी गई है:

ट्रेनिंग

पहला व्यायाम

एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजाएँ प्रत्येक 20 सेमी मापती हैं। उस बहुभुज की ऊंचाई और क्षेत्रफल की गणना करें.

समाधान

उस समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल को निर्धारित करने के लिए ऊँचाई की गणना करना आवश्यक है, यह जानते हुए कि इसे बनाते समय, यह त्रिभुज को दो बराबर दाएं त्रिभुजों में विभाजित करता है।.

इस तरह पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग इसे खोजने के लिए किया जा सकता है:

को² + ख²= सी²

जहां:

a = 20/2 = 10 सेमी.

बी = ऊंचाई.

सी = 20 सेमी.

प्रमेय में डेटा को बदल दिया गया है:

10² + ख² = 20²

100 से.मी. + ख² = 400 से.मी.

ख² = (400 - 100) सेमी

ख² = 300 से.मी.

b = cm300 सेमी

b = 17.32 सेमी.

यही है, त्रिकोण की ऊंचाई 17.32 सेमी के बराबर है। अब सूत्र में प्रतिस्थापित करके दिए गए त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करना संभव है:

क्षेत्र = (बी) _* ज) ÷ २

क्षेत्र = (20 सेमी _* 17.32 सेमी) ÷ 2

क्षेत्र = 346,40 सेमी² ÷ २

क्षेत्र = 173.20 सेमी².

अभ्यास को हल करने का एक और सरल तरीका डेटा को क्षेत्र के प्रत्यक्ष सूत्र में स्थानापन्न करना है, जहां ऊंचाई का मूल्य भी अनुमानित है:

दूसरा व्यायाम

एक ऐसी भूमि जिसमें एक समबाहु त्रिभुज आकार होता है, फूल लगाए जाएंगे। यदि उस भूमि की परिधि 450 मीटर के बराबर होती है, तो फूलों के कब्जे वाले वर्ग मीटर की संख्या की गणना करें.

समाधान

यह जानते हुए कि किसी त्रिभुज की परिधि उसके तीन भुजाओं के योग से मेल खाती है और जैसे-जैसे भू-भाग में समबाहु त्रिभुज का आकार होता है, इस त्रिभुज के तीन भुजाओं का माप भी उतना ही होगा या लंबाई:

पी = साइड + साइड + साइड = 3 _* एल

3 _* एल = 450 मी.

ल = 450 मी ÷ 3

ल = 150 मी.

अब केवल उस त्रिकोण की ऊंचाई की गणना करना आवश्यक है.

ऊँचाई त्रिभुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करती है, जहाँ एक पैर ऊँचाई और दूसरा आधा आधार का प्रतिनिधित्व करता है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, ऊंचाई निर्धारित की जा सकती है:

को² + ख²= सी²

जहां:

को = 150 मीटर 150 2 = 75 मीटर.

ग = 150 मीटर.

ख = ऊंचाई

प्रमेय में डेटा को बदल दिया गया है:

(75 मीटर)²+ ख² = (150 मीटर)²

5,625 मी + ख² = 22,500 मी

ख² = 22,500 मीटर - 5,625 मीटर

ख² = 16,875 मी

ख = 7516,875 मी

ख = 129.90 मीटर.

तो फूलों पर कब्जा करने वाला क्षेत्र होगा:

क्षेत्र = बी * एच ÷ 2

क्षेत्र = (150 मीटर _* 129.9 मीटर) ÷ 2

क्षेत्र = (19,485 मी²) ÷ २

क्षेत्र = 9,742.5 मी²

तीसरा व्यायाम

समबाहु त्रिभुज ABC को एक खंड खंड द्वारा विभाजित किया गया है जो इसके शीर्ष C से मध्य बिंदु D तक जाता है, जो विपरीत दिशा (AB) पर स्थित है। यह खंड 62 मीटर की दूरी पर है। उस समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिधि की गणना करें.

समाधान

यह जानते हुए कि समबाहु त्रिभुज एक खंड खंड से विभाजित है जो ऊंचाई से मेल खाती है, इस प्रकार दो सर्वांगसम त्रिभुज बनाते हैं, यह बदले में शीर्ष C के कोण को भी समान माप के साथ दो कोणों में विभाजित करता है।^या हर एक.

ऊंचाई 90 का कोण बनाती है^या खंड AB के संबंध में, और शीर्ष A का कोण 60 मापेगा^या.

फिर 30 के कोण के संदर्भ के रूप में उपयोग करना^या, ऊंचाई सीडी कोण और बीसी से सटे पैर के रूप में कर्ण के रूप में स्थापित है.

इन आंकड़ों से त्रिकोण के किसी एक पक्ष का मान त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

जैसा कि समबाहु त्रिभुज में सभी पक्षों पर एक समान माप या लंबाई होती है, इसका मतलब है कि समबाहु त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा 71.6 मीटर के बराबर है। यह जानते हुए कि, आपके क्षेत्र को निर्धारित करना संभव है:

क्षेत्र = बी * एच ÷ 2

क्षेत्रफल = (71.6 मी।) _* 62 मीटर) ÷ 2

क्षेत्रफल = 4,438.6 मी² ÷ २

क्षेत्रफल = 2,219.3 मी²

परिधि इसके तीन पक्षों के योग से दी गई है:

पी = साइड + साइड + साइड = 3 _* एल

पी = ३_*एल

पी = ३ _* 71.6 मी

पी = 214.8 मीटर.

संदर्भ

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