द्विपद प्रमेय प्रदर्शन और उदाहरण

द्विपद प्रमेय एक समीकरण है जो हमें बताता है कि फॉर्म की अभिव्यक्ति कैसे विकसित की जाए (a + b)ⁿ कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए एन। एक द्विपद दो तत्वों के योग से अधिक नहीं है, जैसे (+ बी)। यह हमें a द्वारा दिए गए पद के लिए भी जाने देता है^{कश्मीर}ख^{एन-कश्मीर} गुणांक जो इसके साथ जाता है.

इस प्रमेय को आमतौर पर अंग्रेजी आविष्कारक, भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ सर आइजैक न्यूटन को जिम्मेदार ठहराया जाता है; हालाँकि, कई अभिलेखों में पाया गया है कि मध्य पूर्व में इसका अस्तित्व पहले से ही ज्ञात था, वर्ष 1000 के आसपास.

सूची

• 1 दहनशील संख्या
• 2 प्रदर्शन
• 3 उदाहरण
  • ३.१ पहचान १
  • ३.२ पहचान २
• 4 एक और प्रदर्शन
  • 4.1 प्रेरण द्वारा प्रदर्शन
• 5 जिज्ञासाएँ
• 6 संदर्भ

संयुक्त संख्या

द्विपद प्रमेय हमें गणितीय रूप से निम्नलिखित बताता है:

इस अभिव्यक्ति में a और b वास्तविक संख्या हैं और n एक प्राकृतिक संख्या है.

प्रदर्शन देने से पहले, आइए कुछ बुनियादी अवधारणाओं को देखें जो आवश्यक हैं.

संयोजन संख्या या n में k का संयोजन निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:

यह प्रपत्र इस बात का मूल्य बताता है कि k तत्वों वाले कितने सबसेट को n तत्वों के समूह से चुना जा सकता है। इसकी बीजगणितीय अभिव्यक्ति इसके द्वारा दी गई है:

आइए एक उदाहरण देखें: मान लें कि हमारे पास सात गेंदों का एक समूह है, जिनमें से दो लाल हैं और बाकी नीले हैं.

हम जानना चाहते हैं कि हम उन्हें कितने तरीकों से ऑर्डर कर सकते हैं। एक तरीका यह हो सकता है कि पहले और दूसरे स्थान पर दो रेड रखे जाएं, और बाकी की बची हुई पोज़िशन में बाकी की गेंद.

पिछले मामले के समान, हम क्रमशः लाल गेंदों को पहली और अंतिम स्थिति दे सकते हैं, और नीली गेंदों के साथ दूसरों को कब्जा कर सकते हैं.

अब, गिनती करने के लिए एक प्रभावी तरीका है कि हम एक पंक्ति में गेंदों को कितने तरीकों से क्रमबद्ध कर सकते हैं जो कॉम्बिनेटरियल संख्याओं का उपयोग कर रहा है। हम प्रत्येक स्थिति को निम्नलिखित सेट के एक तत्व के रूप में देख सकते हैं:

इसके बाद केवल दो तत्वों का एक सबसेट चुनना आवश्यक है, जिसमें इन तत्वों में से प्रत्येक लाल गेंद पर कब्जा करने की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। हम इस विकल्प को दिए गए रिश्ते के अनुसार बना सकते हैं:

इस तरह, हमारे पास यह है कि ऐसी गेंदों को छांटने के 21 तरीके हैं.

इस उदाहरण का सामान्य विचार द्विपद प्रमेय के प्रदर्शन में बहुत उपयोगी होगा। आइए एक विशेष मामले को देखें: यदि n = 4, हमारे पास (a + b) है⁴, जो इससे अधिक कुछ नहीं है:

जब हम इस उत्पाद को विकसित करते हैं, तो हमारे पास चार कारकों में से प्रत्येक (ए + बी) के एक तत्व को गुणा करके प्राप्त शर्तों का योग होता है। इस प्रकार, हमारे पास ऐसे शब्द होंगे जो फॉर्म के होंगे:

अगर हम फॉर्म का पद प्राप्त करना चाहते थे⁴, बस निम्नलिखित तरीके से गुणा करें:

ध्यान दें कि इस तत्व को प्राप्त करने का केवल एक ही तरीका है; लेकिन क्या होता है अगर हम अब फॉर्म की अवधि की तलाश करते हैं²ख²? चूंकि "ए" और "बी" वास्तविक संख्या हैं और इसलिए, कम्यूटेटिव कानून वैध है, हमारे पास इस शब्द को प्राप्त करने का एक तरीका है सदस्यों के साथ गुणा करना है जैसा कि तीरों द्वारा इंगित किया गया है।.

इन सभी ऑपरेशनों को निष्पादित करना आमतौर पर कुछ थकाऊ होता है, लेकिन अगर हम "ए" शब्द को एक संयोजन के रूप में देखते हैं, जहां हम जानना चाहते हैं कि हम चार कारकों के सेट से कितने "दो" को चुन सकते हैं, हम पिछले उदाहरण के विचार का उपयोग कर सकते हैं। तो, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

तो, हम जानते हैं कि अभिव्यक्ति के अंतिम विकास में (a + b)⁴ हमारे पास ठीक 6a होगा²ख². अन्य तत्वों के लिए समान विचार का उपयोग करना, आपको निम्न करना होगा:

फिर हम पहले प्राप्त भावों को जोड़ते हैं और हमें निम्न करना होगा:

यह सामान्य मामले के लिए एक औपचारिक प्रदर्शन है जिसमें "n" कोई भी प्राकृतिक संख्या है.

प्रदर्शन

ध्यान दें कि विकसित होने के दौरान जो शब्द हैं (a + b)ⁿ के फार्म के हैं^{कश्मीर}ख^{एन-कश्मीर}, जहाँ k = 0,1, ..., n। पिछले उदाहरण के विचार का उपयोग करते हुए, हमारे पास "n" कारकों से "k" चर "a" चुनने का तरीका है:

इस तरह से चयन करके, हम स्वचालित रूप से n-k वेरिएबल "b" चुन रहे हैं। इस से यह इस प्रकार है कि:

उदाहरण

ध्यान में रखते हुए (a + b)⁵, इसका विकास क्या होगा?

द्विपद प्रमेय द्वारा हमें निम्न करना है:

द्विपद प्रमेय बहुत उपयोगी है अगर हमारे पास एक अभिव्यक्ति है जिसमें हम यह जानना चाहते हैं कि एक विशिष्ट शब्द का गुणांक पूर्ण विकास करने के बिना क्या है। एक उदाहरण के रूप में हम निम्नलिखित प्रश्न ले सकते हैं: x का गुणांक क्या है⁷और⁹ (x + y) के विकास में¹⁶?

द्विपद प्रमेय द्वारा, हमारे पास गुणांक है:

एक और उदाहरण होगा: x का गुणांक क्या है⁵और⁸ (3x-7y) के विकास में¹³?

पहले हम अभिव्यक्ति को सुविधाजनक तरीके से लिखते हैं; यह है:

फिर, द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास यह है कि वांछित गुणांक तब है जब हमारे पास k = 5 है

इस प्रमेय के उपयोग का एक और उदाहरण कुछ सामान्य पहचान के प्रदर्शन में है, जैसे कि नीचे उल्लेखित हैं.

पहचान १

यदि "n" एक प्राकृतिक संख्या है, तो हमें निम्न करना होगा:

प्रदर्शन के लिए हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हैं, जहां "a" और "b" दोनों का मान होता है। 1. फिर हमारे पास है:

इस तरह हमने पहली पहचान साबित की है.

पहचान २

यदि "n" एक प्राकृतिक संख्या है, तो

द्विपद प्रमेय द्वारा हमें निम्न करना है:

एक और प्रदर्शन

हम आगमनात्मक विधि और पास्कल पहचान का उपयोग करके द्विपद प्रमेय के लिए एक अलग प्रदर्शन कर सकते हैं, जो हमें बताता है कि यदि "n" और "k" सकारात्मक पूर्णांक हैं जो n, k से मिलते हैं, तो

प्रेरण द्वारा प्रदर्शन

पहले देखते हैं कि आगमनात्मक आधार पूरा हो गया है। यदि n = 1 है, तो हमें निम्न करना होगा:

वास्तव में, हम देखते हैं कि यह पूरा हो गया है। अब, n = j को ऐसे पूरा करें कि यह पूरा हो जाए:

हम देखना चाहते हैं कि n = j + 1 के लिए यह पूरा हो गया है:

तो, हमारे पास है:

परिकल्पना द्वारा हम जानते हैं कि:

फिर, वितरण संपत्ति का उपयोग कर:

इसके बाद, हमारे पास मौजूद प्रत्येक राशि को विकसित करना:

अब, यदि हम एक सुविधाजनक तरीके से एक साथ समूह बनाते हैं, तो हमें निम्न करना होगा

पास्कल की पहचान का उपयोग, हम करने के लिए है:

अंत में, ध्यान दें कि:

इसलिए, हम देखते हैं कि द्विपद प्रमेय प्राकृतिक संख्या से संबंधित सभी "एन" के लिए पूरा हो गया है, और इसके साथ परीक्षण समाप्त होता है.

अनोखी

दहनशील संख्या (एनके) को द्विपद गुणांक भी कहा जाता है क्योंकि यह ठीक गुणांक है जो द्विपद (+ a + b) के विकास में प्रकट होता हैⁿ.

आइजैक न्यूटन ने इस प्रमेय का एक सामान्यीकरण दिया उस मामले के लिए जिसमें प्रतिपादक एक वास्तविक संख्या है; इस प्रमेय को न्यूटन के द्विपद प्रमेय के रूप में जाना जाता है.

पुरातनता में पहले से ही यह परिणाम उस विशेष मामले के लिए जाना जाता था जिसमें n = 2। इस मामले में उल्लेख किया गया है तत्वों यूक्लिड्स की.

संदर्भ

1. जॉनसनबाग रिचर्ड। असतत गणित PHH
2. Kenneth.H। Rosen। असतत गणित और उसके अनुप्रयोग। S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPA .A.
3. सीमोर लिप्सचुट्ज़ पीएचडी और मार्क लिप्सन। असतत गणित। मैकग्रा-हिल.
4. राल्फ पी। ग्रिमाल्डी। असतत और संयुक्त गणित। एडिसन-वेस्ले इबेरोमेरिकाना
5. वर्डे स्टार लुइस ... डिसक्रीट मैथमेटिक्स एंड कॉम्बिनेटरिया.अंथ्रोपोस