वेरिग्नन के प्रमेय उदाहरण और हल किए गए व्यायाम

वेरिग्नन की प्रमेय स्थापित करता है कि यदि किसी चतुर्भुज में किसी भी बिंदु को पक्षों में लगातार जोड़ा जाता है, तो एक समांतर चतुर्भुज उत्पन्न होता है। यह प्रमेय पियरे वरिगन द्वारा तैयार किया गया था और पुस्तक में 1731 में प्रकाशित हुआ था गणित के तत्व".

पुस्तक का प्रकाशन उनकी मृत्यु के वर्षों बाद हुआ। चूंकि वरिगॉन वह था जिसने इस प्रमेय को प्रस्तुत किया, उसके नाम पर समांतर चतुर्भुज का नाम दिया गया। प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति पर आधारित है और चतुर्भुज के ज्यामितीय संबंधों को प्रस्तुत करता है.

सूची

• 1 वरिगॉन की प्रमेय क्या है??
• 2 उदाहरण
  • २.१ पहला उदाहरण
  • २.२ दूसरा उदाहरण
• 3 व्यायाम हल किए
  • ३.१ व्यायाम १
  • ३.२ व्यायाम २
  • ३.३ व्यायाम ३
• 4 संदर्भ

Varignon का प्रमेय क्या है??

वरिगनोन ने दावा किया कि एक आकृति जो एक चतुर्भुज के मध्यबिंदु द्वारा परिभाषित की जाती है, उसका परिणाम हमेशा समांतर चतुर्भुज में होता है, और इसका क्षेत्रफल हमेशा समतल और उत्तल होने पर चतुर्भुज का आधा क्षेत्र होगा। उदाहरण के लिए:

आकृति में हम एक एक्स के साथ एक चतुर्भुज देख सकते हैं, जहां पक्षों के मध्य बिंदुओं का प्रतिनिधित्व ई, एफ, जी और एच द्वारा किया जाता है और, जब वे जुड़ जाते हैं, तो एक समांतरभुज बनाते हैं। चतुर्भुज का क्षेत्रफल बनने वाले त्रिभुजों के क्षेत्रों का योग होगा, और इसमें से आधे समांतरभुज के क्षेत्र से मेल खाते हैं.

चूंकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल चतुर्भुज का आधा क्षेत्र होता है, इसलिए उस समांतर चतुर्भुज की परिधि निर्धारित की जा सकती है.

इस प्रकार, परिधि चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई के योग के बराबर है; इसका कारण यह है कि चतुर्भुज का मध्य भाग समांतरभुज के विकर्ण होगा.

दूसरी ओर, यदि चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई बिल्कुल समान है, तो समांतर चतुर्भुज एक हीरा होगा। उदाहरण के लिए:

आंकड़े से यह देखा जा सकता है कि, चतुर्भुज के पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़कर, एक रोम्बस प्राप्त किया जाता है। दूसरी ओर, यदि चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत हैं, तो समांतर चतुर्भुज एक आयत होगा.

इसके अलावा समांतर चतुर्भुज एक वर्ग होगा जब चतुर्भुज समान लंबाई के साथ विकर्ण होते हैं और लंबवत भी होते हैं.

प्रमेय केवल समतल चतुर्भुज में पूरा नहीं होता है, यह स्थानिक ज्यामिति या बड़े आयामों में भी लागू किया जाता है; वह है, उन चतुर्भुजों में जो उत्तल नहीं हैं। इसका एक उदाहरण एक ऑक्टाहेड्रॉन हो सकता है, जहां मध्यबिंदु प्रत्येक चेहरे के केंद्रक होते हैं और एक समांतर रूप बनाते हैं.

इस तरह, विभिन्न आंकड़ों के मध्यबिंदुओं को जोड़कर, समांतर चतुर्भुज प्राप्त किए जा सकते हैं। यह सत्यापित करने का एक सरल तरीका है कि क्या यह वास्तव में सच है कि विपरीत पक्षों को विस्तारित होने पर समानांतर होना चाहिए.

उदाहरण

पहला उदाहरण

विपरीत पक्षों को दिखाने के लिए कि यह एक समांतर चतुर्भुज है:

दूसरा उदाहरण

हीरे के मध्य बिंदु से जुड़कर हम एक आयत प्राप्त करते हैं:

प्रमेय का उपयोग एक चतुर्भुज के किनारों के बीच में स्थित बिंदुओं के संघ में किया जाता है, और इसका उपयोग अन्य प्रकार के बिंदुओं के लिए भी किया जा सकता है, जैसे कि एक त्रिशूल, पेंटा-खंड, या यहां तक ​​कि अनंत संख्या में अनुभागों में () nth), किसी भी चतुर्भुज के पक्षों को खंडों में विभाजित करने के लिए जो आनुपातिक हैं.

हल किए गए अभ्यास

व्यायाम 1

हमारे पास क्षेत्र Z का एक चतुर्भुज ABCD है, जहां इसके पक्षों के मध्य बिंदु PQSR हैं। जाँच करें कि वर्गनोन का एक समांतरभुज बनता है.

समाधान

यह सत्यापित किया जा सकता है कि जब PQSR पॉइंट्स जुड़ते हैं, तो Varignon का एक समांतर चतुर्भुज बनता है, ठीक है क्योंकि कथन में एक चतुर्भुज के मध्यबिंदु दिए गए हैं.

इसे प्रदर्शित करने के लिए, मध्यबिंदु PQSR एकजुट होते हैं, इसलिए यह देखा जा सकता है कि एक और चतुर्भुज बनता है। यह दिखाने के लिए कि यह एक समांतर चतुर्भुज है, आपको बस बिंदु C से बिंदु A तक एक सीधी रेखा खींचनी है, ताकि आप देख सकें कि CA PQ और RS के समानांतर है.

इसी तरह, PQRS पक्षों का विस्तार करके यह ध्यान दिया जा सकता है कि PQ और RS समानांतर हैं, जैसा कि निम्नलिखित छवि में दिखाया गया है:

व्यायाम २

इसकी एक आयत ऐसी है कि इसके सभी पक्षों की लंबाई बराबर है। इन पक्षों के मध्य बिंदु में शामिल होने पर, एक रोम्बस एबीसीडी बनता है, जिसे दो विकर्ण एसी = 7 सेमी और बीडी = 10 सेमी से विभाजित किया जाता है, जो आयत के किनारों के माप के साथ मेल खाता है। हीरे और आयत क्षेत्रों का निर्धारण करें.

समाधान

यह याद रखते हुए कि परिणामी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधा चतुर्भुज है, आप इनका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं कि विकर्ण का माप आयत के किनारों से मेल खाता है। तो आपको निम्न करना होगा:

एबी = डी

सीडी = डी

एक_आयत = (एबी _* सीडी) = (10 सेमी _* 7 सेमी) = 70 सेमी²

एक_{विषमकोण} = ए _आयत / २

एक_{विषमकोण} = 70 सेमी² / 2 = 35 सेमी²

व्यायाम ३

हमारे पास एक चतुर्भुज है जिसमें ईएफजीएच बिंदुओं का संघ है, खंडों की लंबाई दी गई है। निर्धारित करें कि क्या EFGH का बंधन एक समांतर चतुर्भुज है.

एबी = 2.4 सीजी = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

एफसी = 3.94 हा = 2.77

समाधान

खंडों की लंबाई को देखते हुए, यह सत्यापित करना संभव है कि क्या खंडों के बीच आनुपातिकता है; यह है कि, हम जान सकते हैं कि ये समानांतर हैं, निम्न तरीके से चतुर्भुज के खंडों से संबंधित हैं:

- एई / ईबी = 2.4 / 1.75 = 1.37

- एएच / एचडी = 2.77 / 2.02 = 1.37

- सीएफ / एफबी = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

फिर आनुपातिकता की जाँच की जाती है:

एई / ईबी = एएच / एचडी = सीएफ / एफबी = सीजी / जीडी

इसी प्रकार, जब बिंदु B से बिंदु D तक एक रेखा की साजिश रचते हैं, तो हम देख सकते हैं कि EH BD के समानांतर है, जैसे BD FG के समानांतर है। दूसरी ओर, ईएफ जीएच के समानांतर है.

इस तरह यह निर्धारित किया जा सकता है कि ईएफजीएच एक समांतर चतुर्भुज है, क्योंकि विपरीत पक्ष समानांतर हैं.

संदर्भ

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2. बारबोसा, जे। एल। (2006). फ्लैट यूक्लिडियन ज्यामिति। एसबीएम. रियो डी जनेरियो.
3. हॉवर, ई। (1969). ज्यामिति का अध्ययन. मेक्सिको: हिस्पैनिक - अमेरिकी.
4. रेमो, जी। पी। (1998). Fermat-Torricelli की समस्याओं का अज्ञात समाधान. आईएसबीएन - स्वतंत्र काम.
5. वेरा, एफ। (1943). ज्यामिति के तत्व. बोगोटा.
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