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थेल्स ऑफ़ थेरेस ऑफ़ फर्स्ट, सेकंड और उदाहरण
पहला और दूसरा थेल्स ऑफ़ मिलेटस की प्रमेय वे अन्य समान (पहले प्रमेय) या परिधि (दूसरे प्रमेय) से त्रिकोण निर्धारित करने पर आधारित हैं। वे विभिन्न क्षेत्रों में बहुत उपयोगी रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहली प्रमेय बड़ी संरचनाओं को मापने के लिए बहुत उपयोगी साबित हुई जब कोई परिष्कृत माप उपकरण नहीं थे.
थेल्स ऑफ़ मिलेटस एक ग्रीक गणितज्ञ थे जिन्होंने ज्यामिति में महान योगदान दिया, जिनमें से ये दो प्रमेय बाहर खड़े हैं (कुछ ग्रंथों में वे इसे थेल्स के रूप में भी लिखते हैं) और उनके उपयोगी अनुप्रयोग। इन परिणामों का उपयोग पूरे इतिहास में किया गया है और कई प्रकार की ज्यामितीय समस्याओं को हल करने की अनुमति दी है.
सूची
- 1 किस्से की पहली प्रमेय
- 1.1 आवेदन
- 1.2 उदाहरण
- 2 कहानियों का दूसरा प्रमेय
- 2.1 आवेदन
- २.२ उदाहरण
- 3 संदर्भ
किस्सों का पहला प्रमेय
टेल्स का पहला प्रमेय एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है, जो अन्य बातों के अलावा, पहले से ज्ञात अन्य के समान एक त्रिकोण बनाने की अनुमति देता है। यहाँ से प्रमेय के विभिन्न संस्करण निकाले जाते हैं जिन्हें कई संदर्भों में लागू किया जा सकता है.
अपना वक्तव्य देने से पहले, त्रिकोणों की समानता की कुछ धारणाएँ याद रखें। अनिवार्य रूप से, दो त्रिकोण समान होते हैं यदि उनके कोण समरूप होते हैं (उनके पास एक ही उपाय है)। यह इस तथ्य को जन्म देता है कि, यदि दो त्रिभुज समान हैं, तो उनके संगत पक्ष (या समरूप) आनुपातिक हैं.
थेल्स की पहली प्रमेय में कहा गया है कि यदि किसी दिए गए त्रिकोण में एक सीधी रेखा उसके किसी भी पक्ष के समानांतर खींची गई है, तो प्राप्त नया त्रिकोण प्रारंभिक त्रिकोण के समान होगा।.
आप गठित कोणों के बीच एक संबंध भी प्राप्त करते हैं, जैसा कि निम्न आकृति में देखा गया है.
आवेदन
इसके कई अनुप्रयोगों में से एक विशेष रुचि से बाहर है और एक तरीके से है जिसमें माप प्राचीनता में बड़ी संरचनाओं से बने थे, जिस समय में थेल्स रहते थे और जिसमें आधुनिक माप उपकरण उपलब्ध नहीं थे। वे अब मौजूद हैं.
यह कहा जाता है कि यह कैसे थेल्स मिस्र, चेओप्स में उच्चतम पिरामिड को मापने में कामयाब रहा। इसके लिए, थेल्स का मानना था कि सौर किरणों के प्रतिबिंब जमीन को समानांतर रेखाओं से छूते हैं। इस धारणा के तहत, उन्होंने एक छड़ी या बेंत को जमीन में टिका दिया.
फिर उन्होंने दो परिणामी त्रिकोणों की समानता का उपयोग किया, एक पिरामिड की छाया की लंबाई (जो आसानी से गणना की जा सकती है) और पिरामिड की ऊंचाई (अज्ञात), और दूसरे की छाया की लंबाई के आधार पर बनाई गई और छड़ी की ऊंचाई (जिसे आसानी से गणना भी की जा सकती है).
इन लंबाई के बीच आनुपातिकता का उपयोग करके, आप पिरामिड की ऊंचाई को स्पष्ट और जान सकते हैं.
हालांकि माप की यह विधि ऊंचाई की सटीकता के संबंध में सन्निकटन की एक महत्वपूर्ण त्रुटि दे सकती है और यह सूर्य की किरणों की समानता पर निर्भर करता है (जो कि एक सटीक समय पर निर्भर करता है), हमें यह पहचानना चाहिए कि यह एक बहुत ही सरल विचार है और उस समय के लिए एक अच्छा माप विकल्प प्रदान किया.
उदाहरण
प्रत्येक मामले में x का मान ज्ञात करें:
समाधान
यहाँ हम दो लाइनों को दो समानांतर रेखाओं द्वारा काटते हैं। थेल्स के पहले प्रमेय के अनुसार, उनके संबंधित पक्ष आनुपातिक हैं। विशेष रूप से:
समाधान
यहां हमारे पास दो त्रिकोण हैं, इनमें से एक का गठन दूसरे के एक हिस्से के समानांतर एक खंड (ठीक लंबाई x के किनारे) है। किस्से की पहली प्रमेय आपके पास है:
दास्तां का दूसरा सिद्धांत
थेल्स का दूसरा प्रमेय एक सही त्रिकोण निर्धारित करता है जो उसी के प्रत्येक बिंदु में एक परिधि के लिए खुदा होता है.
एक परिधि में उत्कीर्ण एक त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसका परिधि परिधि पर होता है, इस प्रकार इसमें समाहित किया जाता है.
विशेष रूप से, थेल्स का दूसरा प्रमेय निम्नलिखित बताता है: केंद्र O और व्यास AC का एक वृत्त दिया गया है, परिधि के प्रत्येक बिंदु B (A और C के अलावा) एक समकोण त्रिभुज ABC निर्धारित करता है, समकोण औचित्य के अनुसार, ध्यान दें कि OA और OB और OC दोनों परिधि की त्रिज्या के अनुरूप हैं; इसलिए, उनके माप समान हैं। वहाँ से यह प्राप्त होता है कि त्रिकोण OAB और OCB समद्विबाहु हैं, जहाँ यह ज्ञात है कि एक त्रिकोण के कोणों का योग 180 sum के बराबर है। त्रिभुज ABC के साथ इसका उपयोग करना आपके लिए है: 2 बी + 2 ए = 180º. समान रूप से, हमारे पास वह b + a = 90 b और b + a = है ध्यान दें कि थेल्स दूसरी प्रमेय द्वारा प्रदान किया गया सही त्रिकोण ठीक है कि जिसका कर्ण परिधि के व्यास के बराबर है। इसलिए, यह पूरी तरह से अर्धवृत्त द्वारा निर्धारित किया जाता है जिसमें त्रिकोण के बिंदु होते हैं; इस मामले में, ऊपरी अर्धवृत्त. यह भी ध्यान दें कि थेल्स सेकंड प्रमेय के माध्यम से प्राप्त सही त्रिकोण में, कर्ण को OA और OC (त्रिज्या) द्वारा दो समान भागों में विभाजित किया गया है। बदले में, यह माप OB (त्रिज्या भी) खंड के बराबर है, जो B द्वारा त्रिभुज ABC के माध्यिका से मेल खाता है. दूसरे शब्दों में, शीर्ष B के ठीक समतल ABC ABC के मध्य की लंबाई पूरी तरह से कर्ण के आधे भाग से निर्धारित होती है। याद रखें कि एक त्रिभुज का माध्य खंड के एक कोने से विपरीत दिशा के मध्य बिंदु तक होता है; इस मामले में, बीओ खंड. थेल्स को दूसरा प्रमेय देखने का एक अन्य तरीका एक सही त्रिकोण के लिए परिचालित एक चक्र है. सामान्य तौर पर, एक बहुभुज के लिए परिचालित एक वृत्त परिधि में होता है जो इसके प्रत्येक कोने से होकर गुजरता है, जब भी इसे बनाना संभव होता है. थेल्स की दूसरी प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक सही त्रिकोण दिया गया, हम हमेशा इस तक एक परिधि का निर्माण कर सकते हैं, जिसमें त्रिज्या आधे कर्ण और परिधि (परिधि के केंद्र) के बराबर है, जो कर्ण के मध्य बिंदु के बराबर है. टेल्स की दूसरी प्रमेय का एक बहुत ही महत्वपूर्ण अनुप्रयोग, और शायद सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाता है, एक दिए गए परिधि के स्पर्शरेखा रेखाओं को खोजने के लिए, इस बिंदु P बाहरी द्वारा (ज्ञात). ध्यान दें कि एक परिधि (नीचे की आकृति में नीले रंग में खींची गई) और एक बाहरी बिंदु P, परिधि की दो रेखाएं हैं जो P. Let T और T से होकर गुजरती हैं, स्पर्शरेखा के बिंदु हो, परिधि के त्रिज्या को r या केंद्र. यह ज्ञात है कि जो खंड एक वृत्त के केंद्र से उस बिंदु की स्पर्शरेखा तक जाता है, वह इस स्पर्श रेखा के लंबवत है। फिर, OTP कोण सीधा है. हमने थेल्स के पहले प्रमेय और इसके विभिन्न संस्करणों में पहले जो देखा था, उससे हम देखते हैं कि ओटीपी त्रिकोण को एक और परिधि में (लाल में) अंकित करना संभव है. एनालॉग रूप से यह प्राप्त होता है कि OT'P त्रिकोण को उसी पिछले परिधि के भीतर अंकित किया जा सकता है. थेल्स के दूसरे प्रमेय से हमें यह भी पता चलता है कि इस नई परिधि का व्यास ठीक त्रिभुज OTP (जो त्रिभुज OT'P के कर्ण के बराबर है) का कर्ण है, और केंद्र इस कर्ण का मध्य बिंदु है. नई परिधि के केंद्र की गणना करने के लिए, केंद्र के मध्य बिंदु की गणना करने के लिए यह पर्याप्त है - प्रारंभिक परिधि के एम - कहते हैं (जिसे हम पहले से जानते हैं) और बिंदु पी (जिसे हम भी जानते हैं)। फिर, त्रिज्या इस बिंदु M और P के बीच की दूरी होगी. त्रिज्या और लाल वृत्त के केंद्र के साथ हम इसके कार्टेशियन समीकरण को पा सकते हैं, जिसे हम याद करते हैं (x-h)2 + (वाई-ट)2 = सी2, जहाँ c त्रिज्या है और बिंदु (h, k) वृत्त का केंद्र है. अब दोनों परिधिओं के समीकरणों को जानकर, हम उनके द्वारा गठित समीकरणों की प्रणाली को हल करके, और इस प्रकार स्पर्शरेखा T और T के अंक प्राप्त कर सकते हैं। अंत में, वांछित स्पर्शरेखा रेखाओं को जानने के लिए, यह T और P से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के समीकरण को खोजने के लिए पर्याप्त है, और 'और P' द्वारा. व्यास एसी, केंद्र O और त्रिज्या 1 सेमी की परिधि पर विचार करें। आज्ञा देना बी एक बिंदु पर परिधि ऐसी है कि एबी = एसी। AB कितना मापता है? थेल्स के दूसरे प्रमेय से हमारे पास यह है कि त्रिभुज एबीसी एक आयत है और कर्ण व्यास से मेल खाती है, जो इस मामले में 2 सेमी (त्रिज्या 1 सेमी) को मापता है। फिर, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हमें निम्न करना होगा:
परिधि परिधि
आवेदन
उदाहरण
समाधान
संदर्भ