Moivre की प्रमेय पर क्या होते हैं, प्रदर्शन और हल किए गए व्यायाम

मोइवरे का प्रमेय बीजगणित की मूलभूत प्रक्रियाओं को लागू करता है, जैसे कि शक्तियाँ और जटिल संख्या में जड़ों की निकासी। प्रमेय को प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ अब्राहम डी मोइवर (1730) द्वारा सम्मानित किया गया था, जो त्रिकोणमिति से जटिल संख्या में जुड़े थे।.

अब्राहम मोइवर ने स्तन और कोसाइन के भावों के माध्यम से यह जुड़ाव बनाया। इस गणितज्ञ ने एक प्रकार का सूत्र उत्पन्न किया जिसके माध्यम से एक जटिल संख्या z को पावर n में उठाना संभव है, जो कि 1 से अधिक या उसके बराबर एक सकारात्मक पूर्णांक है.

सूची

• 1 मोइवर प्रमेय क्या है??
• 2 प्रदर्शन
  • २.१ प्रेरक आधार
  • २.२ प्रेरक परिकल्पना
  • 2.3 जाँच करना
  • 2.4 नकारात्मक पूर्णांक
• 3 व्यायाम हल किए
  • 3.1 सकारात्मक शक्तियों की गणना
  • 3.2 नकारात्मक शक्तियों की गणना
• 4 संदर्भ

मोइवर प्रमेय क्या है??

मोइवरे का प्रमेय निम्नलिखित बताता है:

यदि आपके पास ध्रुवीय रूप z = r में एक जटिल संख्या है_ɵ, जहाँ r जटिल संख्या z का मॉड्यूल है, और कोण called 0 Ɵ 0 2π के साथ किसी भी जटिल संख्या के आयाम या तर्क को कहा जाता है, इसकी nth शक्ति की गणना करने के लिए इसे n-times से गुणा करना आवश्यक नहीं होगा; अर्थात्, निम्नलिखित उत्पाद बनाना आवश्यक नहीं है:

जेडⁿ = z _* z _* z_{* * *} z = आर_{Ɵ *} आर_{Ɵ *} आर_{Ɵ * ... *} आर_ɵ   एन-बार.

इसके विपरीत, प्रमेय कहता है कि जब अपने त्रिकोणमितीय रूप में z लिखते हैं, तो nth शक्ति की गणना करने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

अगर z = r (cos Ɵ + i _* sin sin) तो zⁿ = आरⁿ (cos n * cos + i _* पाप n * Ɵ).

उदाहरण के लिए, यदि n = 2 है, तो z² = आर²[cos 2 (cos) + i sin 2 (])]। यदि आपके पास वह n = 3 है, तो z³ = z² _* जेड। इसके अलावा:

z³ = आर²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (])] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (])] = r³[cos 3 (cos) + i sin 3 (])].

इस तरह, साइन और कोसाइन के त्रिकोणमितीय अनुपात एक कोण के गुणकों के लिए प्राप्त किए जा सकते हैं, जब तक कि कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात होते हैं।.

उसी तरह इसका उपयोग किसी जटिल संख्या z की nth रूट के लिए अधिक सटीक और कम भ्रमित करने वाले भावों को खोजने के लिए किया जा सकता है, ताकि zⁿ = 1.

Moivre के प्रमेय को प्रदर्शित करने के लिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है: यदि पूर्णांक "a" के पास "P" गुण है, और यदि किसी पूर्णांक संख्या के लिए "n" "a" से अधिक है जिसका गुण "P" है संतुष्ट है कि n + 1 में भी संपत्ति "P" है, तो सभी पूर्णांकों के पास "a" के पास "P" के बराबर या उससे अधिक है।.

प्रदर्शन

इस प्रकार, प्रमेय का प्रमाण निम्नलिखित चरणों के साथ किया जाता है:

आगमनात्मक आधार

पहले n = 1 की जांच करें.

जैसे z¹ = (r (cos (+ i) _* सेन sen))¹ = आर¹ (cos Ɵ + i _* सेन Ɵ)¹ = आर¹ [कॉस (1)_* I) + i _* सेन (१_* Ɵ)], हमारे पास n = 1 के लिए प्रमेय पूरा हो गया है.

आगमनात्मक परिकल्पना

यह माना जाता है कि सूत्र कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए सही है, अर्थात n = k.

z^{कश्मीर} = (r (cos (+ i) _* सेन sen))^{कश्मीर}  = आर^{कश्मीर} (cos k Ɵ + i _* सेन के k).

परीक्षण

यह n = k + 1 के लिए सही साबित होता है.

जैसे z^{के + १}= z^{कश्मीर} _* z, तब z^{के + १} = (r (cos (+ i) _* सेन sen))^{के + १} = आर^{कश्मीर} (cos kƟ + i _* सेन k sen) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

फिर भाव कई गुना:

z^{के + १} = आर^{के + १}((cos kƟ)_*(cos () + (cos kƟ)_*(i_*sen) + (i) _* सेन k sen)_*(cos () + (i) _* सेन k sen)_*(i_* senƟ)).

एक पल के लिए r फैक्टर को नजरअंदाज कर दिया जाता है^{के + १},  और आम कारक जिसे मैंने हटा दिया है:

(cos kƟ)_*(cos () + i (cos kƟ)_*(sin () + i (सेन kƟ)_*(cos () + i²(सेन कोƟ)_*(SenƟ).

मैं कैसे?² = -1, हम इसे अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं और हमें मिलता है:

(cos kƟ)_*(cos () + i (cos kƟ)_*(sin () + i (सेन kƟ)_*(cos () - (सेन कƟ)_*(SenƟ).

अब वास्तविक और काल्पनिक भाग का आदेश दिया गया है:

(cos kƟ)_*(cos () - (सेन कƟ)_*(sin () + i [(सेन kƟ)_*(cos () + (cos kƟ)_*(SenƟ)].

अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, कोसाइन और साइन के कोणों के त्रिकोणमितीय पहचान को लागू किया जाता है, जो हैं:

cos (A + B) = cos A _* cos B - सेन ए _* सेन बी.

सेन (ए + बी) = पाप ए _* cos B - कॉस ए _* cos B.

इस मामले में, चर कोण Ɵ और k vari हैं। त्रिकोणमितीय पहचानों को लागू करना, हमारे पास है:

cos k cos _* cosƟ -  सेन k sen _* sen = cos (kƟ + Ɵ)

सेन k sen _* cos + cos kƟ _* sen = सेन (kƟ + Ɵ)

इस तरह, अभिव्यक्ति बनी हुई है:

z^{के + १} = आर^{के + १} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* सेन (kƟ + Ɵ))

z^{के + १} = आर^{के + १}(cos [(k +1) +1] + i _* सेन [(k +1))]).

इस प्रकार यह दिखाया जा सकता है कि परिणाम n = k + 1 के लिए सही है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि परिणाम सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए सही है; वह है, एन ≥ 1.

पूर्णांक नकारात्मक

Moivre का प्रमेय भी तब लागू होता है जब n a 0. एक नकारात्मक पूर्णांक "n" पर विचार करें; फिर "n" को "-m" के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि n = -m है, जहां "m" एक सकारात्मक पूर्णांक है। इसलिए:

(cos Ɵ + i _* सेन Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* सेन Ɵ) ^{-मीटर}

प्रतिपादक "एम" को सकारात्मक तरीके से प्राप्त करने के लिए, अभिव्यक्ति विपरीत रूप से लिखी गई है:

(cos Ɵ + i _* सेन Ɵ)ⁿ = 1 cos (cos Ɵ + i _* सेन Ɵ) ^मीटर

(cos Ɵ + i _* सेन Ɵ)ⁿ = 1 cos (cos mƟ + i) _* सेन m sen)

अब, यह प्रयोग किया जाता है कि यदि z = a + b * i एक जटिल संख्या है, तो 1 = z = a-b * i। इसलिए:

(cos Ɵ + i _* सेन Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* सेन (mƟ).

Cos (x) = cos (-x) और that -sen (x) = sin (-x) का उपयोग करते हुए, हमें निम्न करना होगा:

(cos Ɵ + i _* सेन Ɵ)ⁿ = [cos (m [) - i _* सेन (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* सेन Ɵ)ⁿ = cos (- m cos) + i _* सेन (-मƟ)

(cos Ɵ + i _* सेन Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* सेन (nƟ).

इस तरह, हम कह सकते हैं कि प्रमेय "एन" के सभी पूर्णांक मानों पर लागू होता है.

हल किए गए अभ्यास

सकारात्मक शक्तियों की गणना

इसके ध्रुवीय रूप में जटिल संख्याओं के साथ संचालन में से एक इन दो के बीच गुणा है; उस स्थिति में मॉड्यूल गुणा किया जाता है और तर्क जोड़ दिए जाते हैं.

यदि आपके पास दो जटिल संख्या z हैं₁ और z₂ और आप गणना करना चाहते हैं (z)₁* z₂)², फिर हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

z₁z₂ = [आर₁ (कॉस Ɵ₁ + मैं _* सेन Ɵ₁)] * [आर₂ (कॉस Ɵ₂ + मैं _* सेन Ɵ₂)]

वितरण संपत्ति लागू होती है:

z₁z₂ = आर₁ आर₂ (कॉस Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + मैं _* cos Ɵ_{1 *} मैं _* सेन Ɵ₂ + मैं _* सेन Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + मैं²_* सेन Ɵ_{1 *} सेन Ɵ₂).

उन्हें अभिव्यक्तियों के एक सामान्य कारक के रूप में "i" शब्द लेते हुए समूहीकृत किया जाता है:

z₁z₂ = आर₁ आर₂ [कॉस Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + मैं (cos Ɵ)_{1 *} सेन Ɵ₂ + सेन Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* सेन Ɵ_{1 *} सेन Ɵ₂]

मैं कैसे?² = -1, अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया गया है:

z₁z₂ = आर₁ आर₂ [कॉस Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + मैं (cos Ɵ)_{1 *} सेन Ɵ₂ + सेन Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - सेन Ɵ_{1 *} सेन Ɵ₂]

वास्तविक शब्दों को वास्तविक और काल्पनिक के साथ वास्तविक रूप से वर्गीकृत किया गया है:

z₁z₂ = आर₁ आर₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - सेन Ɵ_{1 *} सेन Ɵ₂) + i (cos Ɵ)_{1 *} सेन Ɵ₂ + सेन Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

अंत में, त्रिकोणमितीय गुण लागू होते हैं:

z₁z₂ = आर₁ आर₂ [कॉस (Ɵ)₁ + ɵ₂) + i सेन (Ɵ)₁ + ɵ₂)].

निष्कर्ष में:

(z₁* z₂)²= (आर₁ आर₂ [कॉस (Ɵ)₁ + ɵ₂) + i सेन (Ɵ)₁ + ɵ₂)])²

= आर₁²आर₂²[cos 2 * (Ɵ)₁ + ɵ₂) + i सेन 2 * (*)₁ + ɵ₂)].

व्यायाम 1

ध्रुवीय रूप में जटिल संख्या लिखें अगर z = - 2 -2i। फिर, Moivre के प्रमेय का उपयोग करके, z की गणना करें⁴.

समाधान

जटिल संख्या z = -2 -2i आयताकार रूप z = a + bi में व्यक्त की जाती है, जहाँ:

a = -2.

बी = -2.

यह जानते हुए कि ध्रुवीय रूप z = r (cos i + i) है _* पाप sin), आपको "आर" मॉड्यूल के मूल्य और "Ɵ" तर्क के मूल्य को निर्धारित करने की आवश्यकता है। R = the (a² + b²) के रूप में, दिए गए मानों को बदल दिया जाता है:

r = √ (a = + b²) = (((- 2) - + (- 2) ²)

= = (4 + 4)

= 8 (8)

= = (4 * 2)

= 2 =2.

फिर, "value" के मान को निर्धारित करने के लिए, इसका आयताकार रूप लागू किया जाता है, जिसे सूत्र द्वारा दिया गया है:

tan tan = b ÷ a

tan tan = (-2) ÷ (-2) = 1.

जैसे तन (the) = 1 और आपको करना है<0, entonces se tiene que:

Ɵ = अर्कतन (1) + an.

= = / 4 + +

= 5 = / 4.

चूंकि "आर" और "value" का मूल्य पहले से ही प्राप्त किया गया था, जटिल संख्या z = -2 -2i को ध्रुवीय रूप में मूल्यों को प्रतिस्थापित करके व्यक्त किया जा सकता है:

z = 2 )2 (cos (5Π / 4) + i _* सेन (5Π / 4)).

अब z की गणना के लिए मोइवर प्रमेय का उपयोग किया जाता है⁴:

z⁴= 2 =2 (cos (5Π / 4) + i _* सेन (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* सेन (5Π).

व्यायाम २

इसे अपने ध्रुवीय रूप में व्यक्त करके जटिल संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

z1 = 4 (cos 50)^या + मैं_* 50 सेन^या)

z2 = 7 (कॉस 100)^या + मैं_* 100 सेन^या).

फिर, गणना (z1 * z2) 1.

समाधान

पहले दिए गए नंबरों का उत्पाद बनता है:

z₁ z₂ = [4 (cos 50)^या + मैं_* 50 सेन^या)] * [((Cos १००)^या + मैं_* 100 सेन^या)]

फिर मॉड्यूल को एक साथ गुणा करें, और तर्क जोड़ें:

z₁ z₂ = (४) _* 7)_* [कॉस (50)^या + 100^या) + i_* सेन (५०)^या + 100^या)]

अभिव्यक्ति सरल है:

z₁ z₂ = 28 _* (कॉस 150)^या + (i_* 150 सेन^या).

अंत में, Moivre प्रमेय लागू किया जाता है:

(z1 * z2) 2 = (28) _* (कॉस 150)^या + (i_* 150 सेन^या)) ² = 784 (cos 300)^या + (i_* 300 सेन^या)).

नकारात्मक शक्तियों की गणना

दो जटिल संख्याओं को विभाजित करने के लिए z₁ और z₂ इसके ध्रुवीय रूप में, मॉड्यूल को विभाजित किया जाता है और तर्कों को घटाया जाता है। इस प्रकार, भागफल z है₁ ÷ z₂ और इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ)₁- ɵ₂) + i सेन (Ɵ)₁ - ɵ₂)]).

पिछले मामले की तरह, यदि आप गणना करना चाहते हैं (z1) z2) division पहले विभाजन बना है और फिर Moivre प्रमेय का उपयोग किया गया है.

व्यायाम ३

दिए गए:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * पाप (3 4/4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (4/4)),

गणना (z1 ÷ z2) ÷.

समाधान

ऊपर वर्णित चरणों का पालन करते हुए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि:

(z1 z z2) ÷ = ​​(((12/4) (cos (3÷ / 4 - π / 4) + i * पाप (3π / 4 - 4/4)) ÷

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (2/2))) (

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3 2/2)).

संदर्भ

1. आर्थर गुडमैन, एल। एच। (1996)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ बीजगणित और त्रिकोणमिति। पियर्सन शिक्षा.
2. क्राउचर, एम। (S.f.)। ट्रिग आइडेंटिफिकेशन के लिए मोइवरे के प्रमेय से। वोल्फ्राम डिमॉन्स्ट्रेशन प्रोजेक्ट.
3. हेज़ेविंकल, एम। (2001)। गणित का विश्वकोश.
4. मैक्स पीटर्स, डब्ल्यू। एल। (1972)। बीजगणित और त्रिकोणमिति.
5. पेरेज़, सी। डी। (2010)। पियर्सन शिक्षा.
6. स्टेनली, जी। (S.f.)। रेखीय बीजगणित Graw हिल.
7. , एम। (1997)। Precalculus। पियर्सन शिक्षा.