यूक्लिड के प्रमेय सूत्र, प्रदर्शन, अनुप्रयोग और अभ्यास

यूक्लिड का प्रमेय एक सही त्रिकोण के गुणों को प्रदर्शित करता है जो एक रेखा खींचकर इसे दो नए सही त्रिकोणों में विभाजित करता है जो एक दूसरे के समान हैं और बदले में, मूल त्रिकोण के समान हैं; फिर, आनुपातिकता का संबंध है.

यूक्लिड प्राचीन युग के सबसे महान गणितज्ञों और ज्यामिति में से एक था, जिसने महत्वपूर्ण प्रमेयों के कई प्रदर्शन किए। मुख्य में से एक वह है जो अपना नाम बताता है, जिसमें एक विस्तृत आवेदन पड़ा है.

ऐसा इसलिए किया गया है, क्योंकि इस प्रमेय के माध्यम से, यह एक सरल तरीके से समझाता है कि सही त्रिकोण में मौजूद ज्यामितीय रिश्ते, जहां के पैर कर्ण में उनके अनुमानों से संबंधित हैं.

सूची

• 1 सूत्र और प्रदर्शन
  • १.१ ऊँचाई का प्रमेय
  • 1.2 पैरों का प्रमेय
• यूक्लिड के प्रमेयों के बीच 2 संबंध
• 3 व्यायाम हल किए
  • ३.१ उदाहरण १
  • ३.२ उदाहरण २
• 4 संदर्भ

सूत्र और प्रदर्शन

यूक्लिड की प्रमेय का प्रस्ताव है कि हर दाहिने त्रिभुज में, जब एक रेखा खींची जाती है, जो हाइपेन्यूज़ के संबंध में समकोण के शीर्ष के अनुरूप ऊँचाई का प्रतिनिधित्व करती है- मूल से दो दायें त्रिभुज बनते हैं.

ये त्रिकोण एक दूसरे के समान होंगे और मूल त्रिकोण के समान भी होंगे, जिसका अर्थ है कि उनके समान पक्ष एक दूसरे के लिए आनुपातिक हैं:

तीन त्रिभुजों के कोण सर्वांगसम हैं; यह कहना है, जब उसके शीर्ष पर 180 डिग्री तक घुमाया जाता है, तो एक कोण दूसरे पर मेल खाता है। इसका मतलब है कि हर कोई समान होगा.

इस तरह आप तीन कोणों के बीच मौजूद समानता की पुष्टि उनके कोणों की समानता से भी कर सकते हैं। त्रिकोणों की समानता से, यूक्लिड दो प्रमेयों से इनका अनुपात स्थापित करता है:

- ऊंचाई प्रमेय.

- पैरों का प्रमेय.

इस प्रमेय का एक विस्तृत अनुप्रयोग है। पुरातनता में इसका उपयोग हाइटोन या दूरियों की गणना करने के लिए किया गया था, जो त्रिकोणमिति के लिए एक महान अग्रिम का प्रतिनिधित्व करता था.

यह वर्तमान में कई क्षेत्रों में लागू किया जाता है जो कई अन्य क्षेत्रों में इंजीनियरिंग, भौतिकी, रसायन विज्ञान और खगोल विज्ञान जैसे गणित पर आधारित हैं.

ऊंचाई प्रमेय

यह प्रमेय बताता है कि किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण के संबंध में समकोण से खींची गई ऊँचाई, ज्यामितीय आनुपातिक माध्य (ऊँचाई का वर्ग) पैरों के अनुमानों के बीच होती है जो कर्ण को निर्धारित करती है.

यही है, ऊंचाई का वर्ग अनुमानित पैरों के गुणन के बराबर होगा जो कर्ण बनाते हैं:

ज_ग² = एम _* n

प्रदर्शन

बाद से, यह शिखर सी में आयत, एक त्रिकोण दो समरूप त्रिभुजों, एडीसी और बीसीडी उत्पन्न कर रहे हैं को आकर्षित करने के लिए; इसलिए, उनकी संगत भुजाओं आनुपातिक हैं:

इस तरह से कि ऊंचाई एच_ग जो खंड सीडी से मेल खाता है, कर्ण एबी = सी से मेल खाता है, इसलिए हमें निम्न करना होगा:

बदले में, यह निम्नलिखित से मेल खाता है:

कर्ण को साफ़ करना (h_ग), समानता के दो सदस्यों को गुणा करने के लिए, आपको निम्न करना होगा:

ज_{सी *} ज_{ग =} मीटर _* n

ज_ग² = एम _* n

इस प्रकार, कर्ण का मान किसके द्वारा दिया जाता है:

पैरों का प्रमेय

यह प्रमेय कहता है कि, किसी भी सही त्रिकोण में, प्रत्येक पैर का माप ज्यामितीय आनुपातिक (प्रत्येक पैर का वर्ग) कर्ण की माप (पूर्ण) और उस पर प्रत्येक के प्रक्षेपण के बीच होगा:

ख² = सी _* मीटर

को² = सी_* n

प्रदर्शन

एक त्रिभुज ABC को देखते हुए कि शिखर सेल्सियस पर आयत ऊंचाई (ज) पैर ख, जो क्रमशः क्षेत्रों एम और एन हैं की अनुमानों की साजिश रचने के द्वारा, इस तरह कि अपनी कर्ण सी है, है, और जो निर्धारित कर रहे हैं पर हैं कर्ण.

इस प्रकार, हमारे पास है कि सही त्रिभुज ABC पर खींची गई ऊँचाई दो समान समकोण त्रिभुज, ADC और BCD उत्पन्न करती है, ताकि संबंधित पक्ष समानुपातिक हों, जैसे:

DB = n, जो कर्ण पर CB पैर का प्रक्षेपण है.

AD = m, जो कि कर्ण पर कैथेट एसी का प्रक्षेपण है.

फिर, कर्ण सी को उसके अनुमानों के पैरों के योग द्वारा निर्धारित किया जाता है:

सी = एम + एन

त्रिकोण ADC और BCD की समानता के कारण, हमें यह करना होगा:

उपरोक्त समान है:

देहाती "एक" समानता के दो सदस्यों को गुणा करने के लिए सुलझाने, हमने:

को _* a = c _* n

को² = सी _* n

इस प्रकार, पैर "ए" का मान निम्न द्वारा दिया जाता है:

इसी तरह, त्रिकोण एसीबी और एडीसी की समानता से, हमें निम्न करना होगा:

उपरोक्त बराबर है:

समानता के दो सदस्यों को गुणा करने के लिए पैर "बी" को साफ करके, एक को निम्न करना होगा:

ख _* बी = सी _* मीटर

ख² = सी _* मीटर

इस प्रकार, पैर "बी" का मूल्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

यूक्लिड के प्रमेयों के बीच संबंध

ऊंचाई और पैरों के संदर्भ में प्रमेय एक दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि दोनों का माप सही त्रिकोण के कर्ण के संबंध में किया गया है.

यूक्लिड के प्रमेयों के संबंध के माध्यम से ऊंचाई का मूल्य भी पाया जा सकता है; पैर प्रमेय से एम और एन के मूल्यों को साफ करके संभव है और उन्हें ऊंचाई प्रमेय में बदल दिया जाता है। इस तरह, ऊंचाई पैरों के गुणा के बराबर है, कर्ण द्वारा विभाजित:

ख² = सी _* मीटर

एम = बी² ÷ सी

को² = सी _* n

n = ए² ÷ सी

ऊंचाई प्रमेय में, मी और एन को प्रतिस्थापित किया जाता है:

ज_ग² = एम _* n

ज_ग² = (बी)² ÷ c) _* (क² ÷ c)

ज_ग = (बी)²_* को²) ÷ सी

हल किए गए अभ्यास

उदाहरण 1

त्रिभुज ABC को देखते हुए, A में आयत, AC और AD का माप निर्धारित करें, यदि AB = 30 सेमी और BD = 18 सेमी

समाधान

इस मामले में हमारे पास अनुमानित पैरों (बीडी) और मूल त्रिकोण (एबी) के पैरों में से एक का माप है। इस तरह आप बीसी लेग का मान ज्ञात करने के लिए लेग प्रमेय लागू कर सकते हैं.

एबी² = बीडी _* ईसा पूर्व

(30)² = 18 _* ईसा पूर्व

900 = 18 _* ईसा पूर्व

बीसी = 900 ÷ 18

बीसी = 50 सेमी

सीडी कैथेटस का मान ज्ञात हो सकता है कि BC = 50:

सीडी = बीसी - बीडी

सीडी = 50 - 18 = 32 सेमी

अब कैथेटस एसी के मूल्य को निर्धारित करना संभव है, फिर से पैर प्रमेय लागू करना:

एसी² = सीडी _* BD

एसी² = 32 _* 50

एसी² = 160

एसी = 001600 = 40 सेमी

ऊंचाई (एडी) ऊंचाई प्रमेय का मूल्य निर्धारित करने के लिए आवेदन किया है के बाद से पैरों के मूल्यों का अनुमान सीडी और BD जाना जाता है:

ई² = 32 _* 18

ई² = 576

AD = √576

एडी = 24 सेमी

उदाहरण 2

एक त्रिभुज MNL की ऊँचाई (h) का मान ज्ञात कीजिए, N में आयत, खंडों के माप को जानकर:

एनएल = 10 सेमी

MN = 5 सेमी

पीएम = 2 सेमी

समाधान

आपके पास कर्ण (पीएम) पर प्रक्षेपित पैरों में से एक का माप है, साथ ही साथ मूल त्रिकोण के पैरों का माप भी है। इस तरह, पैर प्रमेय अन्य अनुमानित पैर (एलएन) के मूल्य को खोजने के लिए लागू किया जा सकता है:

NL² = पीएम _* एलएम

(10)² = 5 _* एलएम

100 = 5 _* एलएम

पीएल = 100 ÷ ५ = २०

जैसा कि हम पहले से ही पैरों के मूल्य और कर्ण को जानते हैं, ऊंचाई और पैरों के प्रमेयों के संबंध के माध्यम से, ऊंचाई का मूल्य निर्धारित किया जा सकता है:

एनएल = 10

MN = 5

एलएम = 20

ह = (ब)²_* को²) ÷ सी.

ज = (१०)²_* 5²)  ÷ (20)

ज = (१००) _* 25) ÷ (20)

ज = २५०० ÷ 20

एच = १२५ सेमी.

संदर्भ

1. ब्रौन, ई। (2011)। अराजकता, भग्न और अजीब चीजें। आर्थिक संस्कृति कोष.
2. कैबरेरा, वी। एम। (1974)। आधुनिक गणित, खंड 3.
3. डैनियल हर्नांडेज़, डी। पी। (2014)। 3 साल का गणित कराकस: संतिलाना.
4. एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका, i। (1995)। हिस्पैनिक विश्वकोश: मैक्रोपीडिया। एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका पब्लिशर्स.
5. यूक्लिड, आर। पी। (1886)। यूक्लिड के तत्व ज्यामिति.
6. गार्डेनेओ, ए जे (2000)। गणित की विरासत: यूक्लिड से न्यूटन तक, उनकी पुस्तकों के माध्यम से प्रतिभा। सेविले विश्वविद्यालय.