Chebyshov के प्रमेय क्या यह से मिलकर बनता है, अनुप्रयोग और उदाहरण



चेबिसोव का प्रमेय (या चेबिसोव की असमानता) संभावना के सिद्धांत के सबसे महत्वपूर्ण शास्त्रीय परिणामों में से एक है। यह एक यादृच्छिक चर X के संदर्भ में वर्णित एक घटना की संभावना का अनुमान लगाने की अनुमति देता है, हमें एक आयाम प्रदान करता है जो यादृच्छिक चर के वितरण पर निर्भर नहीं करता है लेकिन X के विचरण पर निर्भर करता है।.

इस प्रमेय का नाम रूसी गणितज्ञ पफ़्नुतो चेबिसोव (चेबचीव या टचेबाइफ़ के रूप में भी लिखा गया है) के नाम पर रखा गया है, जो इस प्रमेय के लिए सर्वप्रथम नहीं होने के बावजूद, वर्ष 1867 में एक प्रदर्शन देने वाले पहले व्यक्ति थे।.

यह असमानता, या जो कि उनकी विशेषताओं द्वारा चेबिज़ोव असमानता कहलाती है, का उपयोग मुख्य रूप से आयामों की गणना के माध्यम से अनुमानित संभावनाओं के लिए किया जाता है।.

सूची

  • 1 इसमें क्या शामिल है??
  • 2 अनुप्रयोग और उदाहरण
    • 2.1 बाउंडिंग संभावनाएँ
    • 2.2 सीमा प्रमेयों का प्रदर्शन
    • 2.3 नमूना आकार
  • 3 असमानताएं Chebyshov टाइप करें
  • 4 संदर्भ

इसमें क्या शामिल है??

संभाव्यता सिद्धांत के अध्ययन में ऐसा होता है कि यदि हम एक यादृच्छिक चर X के वितरण कार्य को जानते हैं, तो हम इसके अपेक्षित मूल्य की गणना कर सकते हैं - या गणितीय अपेक्षा E (X) - और इसका भिन्नता Var (X), जब तक कि उक्त राशि मौजूद है। हालाँकि, पारस्परिक आवश्यक नहीं है.

यही है, ई (एक्स) और वार (एक्स) को जानना, एक्स के वितरण समारोह को प्राप्त करना आवश्यक नहीं है, इसलिए कुछ k> 0 के लिए P (! X |> k) जैसे P को प्राप्त करना बहुत मुश्किल है। लेकिन चेबिज़ोव की असमानता के लिए धन्यवाद, यादृच्छिक चर की संभावना का अनुमान लगाना संभव है.

चेबीशॉव की प्रमेय हमें बताती है कि अगर हमारे पास एक संभाव्यता फ़ंक्शन पी के साथ एक नमूना स्थान एस पर एक यादृच्छिक चर एक्स है, और यदि k> 0, तो:

अनुप्रयोग और उदाहरण

चेबिज़ोव के प्रमेय के पास कई अनुप्रयोगों में से निम्नलिखित का उल्लेख किया जा सकता है:

संभावनाओं की सीमा

यह सबसे आम अनुप्रयोग है और इसका उपयोग P (! X-E (X) | 0k) के लिए एक ऊपरी सीमा देने के लिए किया जाता है, जहाँ k> 0, केवल प्रसरण फ़ंक्शन के बिना विचरण और यादृच्छिक चर X की अपेक्षा के साथ होता है।.

उदाहरण 1

मान लीजिए कि एक सप्ताह के दौरान एक कंपनी में निर्मित उत्पादों की संख्या 50 के औसत के साथ एक यादृच्छिक चर है.

यदि हम जानते हैं कि उत्पादन के एक सप्ताह का विचरण 25 के बराबर है, तो हम इस संभावना के बारे में क्या कह सकते हैं कि इस सप्ताह में उत्पादन औसत से 10 से अधिक भिन्न होगा?

समाधान

चेबिसोव की असमानता को हमें लागू करना होगा:

इससे हम यह प्राप्त कर सकते हैं कि उत्पादन के सप्ताह में लेखों की संख्या औसत से अधिक 104 से अधिक है.

सीमा प्रमेयों का प्रदर्शन

चेबिज़ोव की असमानता सबसे महत्वपूर्ण सीमा प्रमेयों के प्रदर्शन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। एक उदाहरण के रूप में हमारे पास निम्नलिखित हैं:

बड़ी संख्या का कमजोर कानून

यह कानून स्थापित करता है कि एक ही वितरण वितरण E (Xi) = μ और var Var (X) = Xi के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर के एक अनुक्रम X1, X2, ..., Xn, ...2, और का एक ज्ञात औसत नमूना:

फिर k> 0 के लिए आपको निम्न करना होगा:

या, समकक्ष:

प्रदर्शन

पहले निम्नलिखित पर ध्यान दें:

चूंकि X1, X2, ..., Xn स्वतंत्र हैं, यह इस प्रकार है:

इसलिए, निम्नलिखित की पुष्टि करना संभव है:

फिर, चेबिसोव के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमें निम्न करना होगा:

अंत में, प्रमेय इस तथ्य से परिणामित होता है कि जब एन अनंत तक जाता है तो दाईं ओर की सीमा शून्य होती है.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह परीक्षण केवल उस मामले के लिए किया गया था जिसमें शी का विचरण मौजूद है; यह है, यह विचलन नहीं करता है। इस प्रकार हम मानते हैं कि यदि ई (शी) मौजूद है तो प्रमेय हमेशा सत्य है.

चेबिसोव की सीमा प्रमेय

यदि X1, X2, ..., Xn, ... स्वतंत्र यादृच्छिक चर का उत्तराधिकार है जैसे कि कुछ C है< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

प्रदर्शन

जैसा कि भिन्नताओं का उत्तराधिकार समान रूप से बाध्य है, हमारे पास सभी प्राकृतिक n के लिए Var (Sn) ion C / n है। लेकिन हम जानते हैं कि:

अनन्तता की ओर n बनाकर, निम्नलिखित परिणाम:

चूंकि एक संभावना 1 के मूल्य से अधिक नहीं हो सकती है, वांछित परिणाम प्राप्त होता है। इस प्रमेय के परिणामस्वरूप हम बर्नौली के विशेष मामले का उल्लेख कर सकते हैं.

यदि किसी प्रयोग को दो संभावित परिणामों (असफलता और सफलता) के साथ स्वतंत्र रूप से दोहराया जाता है, जहां पी प्रत्येक प्रयोग में सफलता की संभावना है और X प्राप्त की गई सफलताओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाला यादृच्छिक चर है, तो प्रत्येक k> 0 के लिए आपको निम्न करना है:

नमूना आकार

प्रसरण के संदर्भ में, चेबिसोव की असमानता हमें एक नमूना आकार n खोजने की अनुमति देती है जो इस बात की गारंटी देने के लिए पर्याप्त है कि संभावना है कि Sn-μ |> = k तब होता है जब तक वांछित है, जो हमें एक अनुमान लगाने की अनुमति देता है। औसत करने के लिए.

संक्षेप में, X1, X2, ... Xn आकार n के स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक नमूना हो और हमें यह मान लें कि E (Xi) = μ और इसका विचरण X12. तब, चेबिसोव की असमानता के कारण, हमें निम्न करना होगा:

उदाहरण

मान लीजिए कि एक्स 1, एक्स 2, ... एक्सएन बर्नौली वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक नमूना है, ताकि वे संभावना 1 = 0.5 के साथ मान 1 लेते हैं.

नमूना का आकार क्या होना चाहिए, इस बात की गारंटी देने में सक्षम होने की संभावना है कि अंकगणित माध्य Sn और इसके अपेक्षित मान (0.1 से अधिक) के बीच का अंतर 0. 01 से कम या उसके बराबर है।?

समाधान

हमारे पास वह E (X) = μ = p = 0.5 है और वह Var (X) = X है2= पी (1-पी) = 0.25। Chebyshov की असमानता के लिए, किसी भी k> 0 के लिए हमें निम्न करना होगा:

अब, k = 0.1 और δ = 0.01 लेते हुए, हमें निम्न करना होगा:

इस तरह यह निष्कर्ष निकाला गया है कि घटना की संभावना सुनिश्चित करने के लिए कम से कम 2500 का एक नमूना आकार आवश्यक है। Sn - 0.5 -> | = 0.1 0.01 से कम है.

असमानताएं Chebyshov टाइप करती हैं

चेबिसोव की असमानता से संबंधित विभिन्न असमानताएं हैं। सबसे अच्छे में से एक मार्कोव असमानता है:

इस अभिव्यक्ति में एक्स k, r> 0 के साथ एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर है.

मार्कोव असमानता विभिन्न रूप ले सकती है। उदाहरण के लिए, Y को एक nonngative यादृच्छिक चर (इसलिए P (Y> = 0) = 1) होने दें और मान लें कि E (Y) = μ मौजूद है। यह भी मान लीजिए कि (ई)आर= μआर कुछ पूर्णांक r> 1 के लिए मौजूद है। तो:

एक और असमानता गॉस की है, जो हमें बताती है कि शून्य पर मोड के साथ एक असमान यादृच्छिक चर एक्स दिया गया, फिर k> 0 के लिए,

संदर्भ

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