बोलजानो की प्रमेय व्याख्या, अनुप्रयोग और अभ्यास हल

बोलजानो प्रमेय स्थापित करता है कि यदि कोई फ़ंक्शन एक बंद अंतराल [ए, बी] के सभी बिंदुओं पर निरंतर है और यह संतुष्ट है कि "ए" और "बी" (फ़ंक्शन के तहत) की छवि के विपरीत संकेत हैं, तो कम से कम एक बिंदु होगा खुले अंतराल (ए, बी) में "सी", जैसे कि "सी" में मूल्यांकन किया गया फ़ंक्शन 0 के बराबर होगा.

यह प्रमेय 1850 में दार्शनिक, धर्मशास्त्री और गणितज्ञ बर्नार्ड बोलजानो द्वारा अभिनीत किया गया था। वर्तमान में चेक गणराज्य में पैदा हुआ यह वैज्ञानिक, इतिहास के पहले गणितज्ञों में से एक था जिसने निरंतर कार्यों के गुणों का औपचारिक प्रदर्शन किया।.

सूची

• 1 स्पष्टीकरण
• 2 प्रदर्शन
• 3 यह किस लिए है??
• 4 व्यायाम हल किए
  • ४.१ व्यायाम १
  • ४.२ व्यायाम २
• 5 संदर्भ

व्याख्या

बोलजानो की प्रमेय को मध्यवर्ती मूल्यों की प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, जो एक वास्तविक चर के कुछ वास्तविक कार्यों के विशिष्ट मूल्यों, विशेष रूप से शून्य के निर्धारण में मदद करता है।.

किसी दिए गए फ़ंक्शन में f (x) जारी रहता है, अर्थात, f (a) और f (b) एक वक्र से जुड़े होते हैं-, जहां f (a) x- अक्ष (नकारात्मक) से नीचे है, और f (b) है एक्स अक्ष के ऊपर (यह सकारात्मक है), या इसके विपरीत, ग्राफिक रूप से एक्स अक्ष पर एक कट बिंदु होगा जो एक मध्यवर्ती मूल्य "सी" का प्रतिनिधित्व करेगा, जो "ए" और "बी" के बीच होगा, और एफ (सी) का मूल्य होगा 0 के बराबर होगा.

बोल्ज़ानो के प्रमेय का रेखांकन विश्लेषण करके, हम जान सकते हैं कि प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए एक अंतराल में निरंतर परिभाषित किया गया [a, b], जहाँ f (a)_*च (बी) 0 से कम है, अंतराल के भीतर उस फ़ंक्शन का कम से कम एक रूट "सी" होगा (ए, बी).

यह प्रमेय उस खुले अंतराल में मौजूद अंकों की संख्या को स्थापित नहीं करता है, केवल कहता है कि कम से कम 1 बिंदु है.

प्रदर्शन

बोलजानो की प्रमेय साबित करने के लिए, यह सामान्यता की हानि के बिना मान लिया जाता है कि एफ < 0 y f(b) > 0; इस तरह, "ए" और "बी" के बीच कई मूल्य हो सकते हैं जिसके लिए एफ (एक्स) = 0 है, लेकिन आपको केवल यह दिखाने की जरूरत है कि एक है.

Midpoint (a + b) / 2 में f का मूल्यांकन करके शुरू करें। यदि f ((a + b) / 2) = 0 तो परीक्षण यहीं समाप्त होता है; अन्यथा, फिर f ((a + b) / 2) सकारात्मक या नकारात्मक है.

अंतराल के हिस्सों में से एक [ए, बी] को चुना जाता है, जैसे कि छोर पर मूल्यांकन किए गए फ़ंक्शन के संकेत अलग-अलग होते हैं। यह नया अंतराल होगा [a1, b1].

अब, यदि f [a1, b1] के मध्य बिंदु पर f का मूल्यांकन शून्य नहीं है, तो पहले जैसा प्रदर्शन किया जाता है; अर्थात्, इस अंतराल का एक आधा जो संकेतों की स्थिति को पूरा करता है, उसे चुना जाता है। यह नया अंतराल हो [a2, b2].

यदि यह प्रक्रिया जारी रखी जाती है, तो दो उत्तराधिकार a और bn लिए जाएंगे, जैसे:

a बढ़ रहा है और bn कम हो रहा है:

a a a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ ...। ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ बी 2 1 बी 1। बी.

यदि आप प्रत्येक अंतराल की लंबाई [ai, bi] की गणना करते हैं, तो आपको निम्न करना होगा:

बी 1-ए 1 = (बी-ए) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2 =.

... .

bn-a = (b-a) / 2 ^ n.

इसलिए, जब n (bn-a) की अनंतता के लिए सीमा 0 के बराबर होती है.

का उपयोग बढ़ रहा है और बाउंड हो रहा है और bn कम हो रहा है और बाउंड हो रहा है, वहाँ एक मान होना चाहिए "c" जैसे:

a a a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ ... .≤ c ≤ ...। ≤ bn ≤ ... ≤ बी 2 1 बी 1। बी.

A की सीमा "c" है और bn की सीमा भी "c" है। इसलिए, कोई भी,> 0, हमेशा एक "n" होता है जैसे कि अंतराल [a, bn] अंतराल के भीतर समाहित होता है (c-within, c + δ).

अब, यह दिखाया जाना चाहिए कि एफ (सी) = 0.

यदि f (c)> 0, तब से f निरंतर है, एक 0> 0 मौजूद है, जैसे कि f पूरे अंतराल में सकारात्मक है (c-(, c + ε)। हालाँकि, जैसा कि ऊपर कहा गया है, एक मान "n" मौजूद है जैसे कि च में [, bn] और, इसके अलावा, [, a, bn] में साइन परिवर्तन होता है (c-ε, c + ε); क्या एक विरोधाभास है.

यदि च (ग) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 ऐसा है कि अंतराल के दौरान एफ नकारात्मक है (सी-negative, सी +;); लेकिन वहाँ एक मान "n" मौजूद है जैसे कि f [, bn] में हस्ताक्षर बदलता है। यह पता चला है कि [a, bn] भीतर निहित है (c-an, c + that), जो एक विरोधाभास भी है.

इसलिए, एफ (सी) = 0 और यही हम प्रदर्शित करना चाहते थे.

इसके लिए क्या है??

इसकी चित्रमय व्याख्या से, बोल्ज़ानो की प्रमेय का उपयोग जड़ों या शून्य को निरंतर कार्य में खोजने के लिए किया जाता है, द्विच्छेदन (सन्निकटन) के माध्यम से, जो एक वृद्धिशील खोज विधि है जो हमेशा अंतराल को 2 में विभाजित करती है।.

फिर एक अंतराल [ए, सी] या [सी, बी] ले जाएं जहां संकेत परिवर्तन होता है, और प्रक्रिया को दोहराएं जब तक कि अंतराल छोटा और छोटा न हो, ताकि आप जिस मूल्य को चाहते हैं वह दृष्टिकोण कर सकें; वह है, वह मान जो फ़ंक्शन 0 करता है.

सारांश में, बोलजानो के प्रमेय को लागू करने और इस प्रकार जड़ों को खोजने के लिए, एक फ़ंक्शन के शून्य का परिसीमन करें या एक समीकरण का समाधान दें, निम्नलिखित कदम उठाए गए हैं:

- यह सत्यापित किया जाता है कि एफ अंतराल में एक सतत कार्य है [ए, बी].

- यदि अंतराल नहीं दिया जाता है, तो एक को पाया जाना चाहिए जहां फ़ंक्शन निरंतर है.

- यदि एफ में मूल्यांकन किया जाता है तो अंतराल के चरम विपरीत संकेत देते हैं, यह सत्यापित है.

- यदि विपरीत संकेत प्राप्त नहीं होते हैं, तो अंतराल को मध्य बिंदु का उपयोग करके दो उप-भागों में विभाजित किया जाना चाहिए.

- मिडपॉइंट पर फ़ंक्शन का मूल्यांकन करें और सत्यापित करें कि बोलजानो परिकल्पना पूरी हुई है, जहां एफ (ए) _* च (बी) < 0.

- प्राप्त मूल्य के संकेत (सकारात्मक या नकारात्मक) के आधार पर, नई उपप्रकार के साथ प्रक्रिया को दोहराया जाता है जब तक कि उल्लिखित परिकल्पना पूरी नहीं होती है.

हल किए गए अभ्यास

व्यायाम 1

निर्धारित करें कि फ़ंक्शन f (x) = x है² - 2, अंतराल में कम से कम एक वास्तविक समाधान है [1,2].

समाधान

हमारे पास फ़ंक्शन f (x) = x है² - 2. चूंकि यह बहुपद है, इसका मतलब है कि यह किसी भी अंतराल में निरंतर है.

आपको यह निर्धारित करने के लिए कहा जाता है कि क्या आपके पास अंतराल [1, 2] में वास्तविक समाधान है, इसलिए अब आपको केवल इनका संकेत जानने के लिए फ़ंक्शन में अंतराल के सिरों को बदलने और यह जानने की आवश्यकता है कि क्या वे अलग होने की स्थिति को पूरा करते हैं:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (नकारात्मक)

f (2) = 2² - 2 = 2 (सकारात्मक)

इसलिए, एफ का संकेत (1) sign साइन एफ (2).

यह सुनिश्चित करता है कि कम से कम एक बिंदु "c" है जो अंतराल से संबंधित है [1,2], जहां f (c) = 0.

इस स्थिति में, "c" के मूल्य की गणना आसानी से की जा सकती है:

एक्स² - २ = ०

x = √ =2.

इस प्रकार, inter2 ≈ 1,4 का अंतराल [1,2] है और यह संतुष्ट करता है कि f ()2) = 0.

व्यायाम २

सिद्ध है कि समीकरण एक्स⁵ + x + 1 = 0 में कम से कम एक वास्तविक समाधान है.

समाधान

पहले ध्यान दें कि f (x) = x⁵ + x + 1 एक बहुपद समारोह है, जिसका अर्थ है कि यह सभी वास्तविक संख्याओं में निरंतर है.

इस मामले में, कोई अंतराल नहीं दिया जाता है, इसलिए मान को सहज रूप से चुना जाना चाहिए, अधिमानतः 0 के करीब, फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने और संकेत परिवर्तनों को खोजने के लिए:

यदि आप अंतराल [0, 1] का उपयोग करते हैं:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

जैसा कि कोई संकेत परिवर्तन नहीं है, प्रक्रिया एक और अंतराल के साथ दोहराई जाती है.

यदि आप अंतराल का उपयोग करते हैं [-1, 0] तो आपको निम्न करना होगा:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

इस अंतराल में संकेत का परिवर्तन होता है: f (-1) inter का संकेत f (0) का संकेत, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन f (x) = x⁵ + x + 1 में कम से कम एक वास्तविक जड़ "c" है अंतराल में [-1, 0], जैसे कि f (c) = 0. दूसरे शब्दों में, यह सच है कि x⁵ + x + 1 = 0 का अंतराल में एक वास्तविक समाधान है [-1,0].

संदर्भ

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