वेक्टर बीजगणित मूल बातें, चुंबकत्व, क्षेत्र

वेक्टर बीजगणित गणित की एक शाखा है जो रेखीय समीकरणों, वैक्टर, मैट्रिक्स, वेक्टर रिक्त स्थान और उनके रैखिक परिवर्तनों के अध्ययन के लिए जिम्मेदार है। यह इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों से संबंधित है, अंतर समीकरणों को हल करना, कार्यात्मक विश्लेषण, संचालन अनुसंधान, कंप्यूटर ग्राफिक्स, आदि।.

एक अन्य क्षेत्र जिसने रैखिक बीजगणित को अपनाया है, वह भौतिक विज्ञान है, क्योंकि इसके माध्यम से भौतिक घटनाओं का अध्ययन करने के लिए विकसित किया गया है, उन्हें वैक्टर के उपयोग के माध्यम से वर्णन किया गया है। इसने ब्रह्मांड की बेहतर समझ को संभव बनाया है.

सूची

• 1 बुनियादी बातों
  • 1.1 ज्यामितीय रूप से
  • 1.2 विश्लेषणात्मक रूप से
  • 1.3 स्वयंसिद्ध रूप से
• 2 मैग्नीट्यूड
  • 2.1 स्केलर परिमाण
  • २.२ वेक्टर परिमाण
• 3 वैक्टर क्या हैं?
  • 3.1 मॉड्यूल
  • ३.२ पता
  • ३.३ सेंस
• 4 वैक्टरों का वर्गीकरण
  • 4.1 निश्चित वेक्टर
  • 4.2 नि: शुल्क वेक्टर
  • 4.3 स्लाइडिंग वेक्टर
• 5 वैक्टर के गुण
  • 5.1 सेन्फोलेन्स वेक्टर
  • 5.2 समतुल्य क्षेत्र
  • 5.3 वैक्टर की समानता
  • 5.4 विपरीत क्षेत्र
  • 5.5 यूनिट वेक्टर
  • 5.6 नल वेक्टर
• एक वेक्टर के 6 घटक
  • 6.1 उदाहरण
• वैक्टर के साथ 7 ऑपरेशन
  • 7.1 वैक्टर जोड़ना और घटाना
  • 7.2 वैक्टर का गुणन
• 8 संदर्भ

नींव

वेक्टर बीजगणित चतुष्कोणों (वास्तविक संख्याओं के विस्तार) 1, i, j, और k के अध्ययन से उत्पन्न हुआ, साथ ही गिब्स और हीविसाइड द्वारा प्रवर्तित कार्टेशियन ज्यामिति, जिन्होंने महसूस किया कि वैक्टर एक उपकरण के रूप में काम करेंगे। विभिन्न भौतिक घटनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं.

वेक्टर बीजगणित का अध्ययन तीन नींवों के माध्यम से किया जाता है:

ज्यामितीय

वैक्टर को उन रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है जिनमें एक अभिविन्यास होता है, और संचालन जैसे कि जोड़, घटाव और गुणा वास्तविक संख्या से ज्यामितीय विधियों के माध्यम से परिभाषित होते हैं.

विश्लेषणात्मक

वैक्टर और उनके संचालन का विवरण संख्याओं के साथ किया जाता है, जिन्हें घटक कहा जाता है। इस प्रकार का विवरण एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व का परिणाम है क्योंकि एक समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है.

axiomatically

वैक्टर का विवरण समन्वय प्रणाली या किसी भी प्रकार के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व की परवाह किए बिना किया जाता है.

अंतरिक्ष में आंकड़ों का अध्ययन एक संदर्भ प्रणाली में उनके प्रतिनिधित्व के माध्यम से किया जाता है, जो एक या एक से अधिक आयामों में हो सकता है। मुख्य प्रणालियों में से हैं:

- एक आयामी प्रणाली, जो एक ऐसी रेखा है जहां एक बिंदु (O) मूल का प्रतिनिधित्व करता है और दूसरा बिंदु (P) पैमाने (लंबाई) और उसकी दिशा को निर्धारित करता है:

- आयताकार समन्वय प्रणाली (दो आयामी), जो दो-अक्षीय रेखाओं से बना है जिसे x- अक्ष और y- अक्ष कहा जाता है, जो एक बिंदु (O) मूल से होकर गुजरती है; इस तरह से विमान को चार क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है जिसे क्वाड्रंट कहा जाता है। इस स्थिति में विमान में एक बिंदु (P) दूरियों और P के बीच मौजूद दूरी द्वारा दिया जाता है.

- ध्रुवीय समन्वय प्रणाली (द्वि-आयामी)। इस स्थिति में, सिस्टम एक बिंदु O (मूल) से बना होता है जिसे ध्रुव कहा जाता है और मूल O के साथ एक किरण जिसे ध्रुवीय अक्ष कहा जाता है। इस मामले में, विमान का बिंदु P, ध्रुव और ध्रुवीय अक्ष के संदर्भ के साथ, कोण (is) द्वारा दिया जाता है, जो मूल और बिंदु P के बीच की दूरी से बनता है।.

- आयताकार त्रि-आयामी प्रणाली, तीन लंबवत रेखाओं (x, y, z) द्वारा निर्मित होती है, जिनकी उत्पत्ति अंतरिक्ष में O बिंदु के रूप में होती है। तीन समन्वय विमानों का गठन किया जाता है: xy, xz और yz; अंतरिक्ष को अष्टक नामक आठ क्षेत्रों में विभाजित किया जाएगा। अंतरिक्ष के एक बिंदु P का संदर्भ विमानों और P के बीच मौजूद दूरियों द्वारा दिया जाता है.

परिमाण

परिमाण एक भौतिक मात्रा है जिसे संख्यात्मक मान के माध्यम से गिना या मापा जा सकता है, जैसा कि कुछ भौतिक घटनाओं के मामले में होता है; फिर भी, अक्सर इन घटनाओं को अन्य कारकों के साथ वर्णन करने में सक्षम होना आवश्यक है जो संख्यात्मक नहीं हैं। इसीलिए परिमाणों को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है:

स्केलर परिमाण

वे वे मात्राएं हैं जिन्हें परिभाषित और संख्यात्मक रूप से दर्शाया गया है; माप की एक इकाई के साथ एक मॉड्यूल द्वारा। उदाहरण के लिए:

ए) समय: 5 सेकंड.

बी) द्रव्यमान: 10 किलो.

c) मात्रा: 40 मिली.

डी) तापमान: 40 )C.

वेक्टर परिमाण

वे वे मात्राएँ हैं जो एक इकाई के साथ-साथ एक भाव और दिशा द्वारा एक मॉड्यूल द्वारा परिभाषित और प्रस्तुत की जाती हैं। उदाहरण के लिए:

a) गति: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) त्वरण: 13 m / s²; एस 45 S ई.

c) बल: 280 N, 120º.

डी) वजन: -40-किलो-एफ.

वेक्टर मैग्नीट्यूड को वैक्टर द्वारा ग्राफिक रूप से दर्शाया जाता है.

वैक्टर क्या हैं?

वैक्टर एक वेक्टर परिमाण के ग्राफिक अभ्यावेदन हैं; यह कहना है, वे सीधी रेखा के खंड हैं जिसमें उनका अंतिम छोर एक तीर की नोक है.

ये उनके मॉड्यूल या खंड की लंबाई, उनकी भावना से निर्धारित होते हैं जो उनके तीर की नोक और उनकी रेखा के अनुसार उनकी दिशा से संकेत मिलता है। एक वेक्टर की उत्पत्ति को अनुप्रयोग के बिंदु के रूप में भी जाना जाता है.

एक वेक्टर के तत्व निम्नलिखित हैं:

मॉड्यूल

यह एक वेक्टर के मूल से अंत तक की दूरी है, एक इकाई के साथ एक वास्तविक संख्या द्वारा दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए:

| ओम | = | ए | = ए = 6 सेमी

पता

यह कोण का माप है जो x अक्ष (धनात्मक से) और सदिश के बीच मौजूद है, साथ ही साथ कार्डिनल पॉइंट (उत्तर, दक्षिण, पूर्व और पश्चिम) का उपयोग किया जाता है.

भावना

यह वेक्टर के अंत में स्थित एरोहेड द्वारा दिया गया है, यह दर्शाता है कि यह कहाँ है.

वैक्टर वर्गीकरण

आमतौर पर, वैक्टर को इस प्रकार वर्गीकृत किया जाता है:

निश्चित वेक्टर

यह वह है जिसका आवेदन (मूल) तय हो गया है; यह कहना है, कि यह अंतरिक्ष के एक बिंदु से बंधा हुआ है, यही कारण है कि इसमें विस्थापित नहीं किया जा सकता है.

नि: शुल्क वेक्टर

यह अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से घूम सकता है क्योंकि इसका मूल अपने मॉड्यूल, भाव या दिशा को बदले बिना किसी भी बिंदु पर जाता है.

स्लाइडिंग वेक्टर

यह वह है जो अपने मूल को अपने मॉड्यूल, भाव या दिशा को बदले बिना कार्रवाई की रेखा के साथ स्थानांतरित कर सकता है.

वैक्टर के गुण

वैक्टर के मुख्य गुणों में निम्नलिखित हैं:

वीर सपूत

वे उन मुक्त वैक्टर हैं जिनमें समान मॉड्यूल, दिशा (या वे समानांतर हैं) और समझ में आता है कि एक स्लाइडिंग वेक्टर या एक निश्चित वेक्टर.

समतुल्य क्षेत्र

ऐसा तब होता है जब दो वैक्टर में एक ही पता होता है (या समानांतर होता है), एक ही भाव, और अलग-अलग मॉड्यूल और एप्लिकेशन पॉइंट होने के बावजूद, वे एक ही प्रभाव पैदा करते हैं.

वैक्टर की समानता

उनके पास एक ही मॉड्यूल, दिशा और भावना है, भले ही उनके शुरुआती बिंदु अलग हैं, जो एक समानांतर वेक्टर को प्रभावित किए बिना खुद को स्थानांतरित करने की अनुमति देता है।.

विपरीत क्षेत्र

वे ऐसे हैं जिनके पास समान मॉड्यूल और दिशा है, लेकिन उनकी भावना विपरीत है.

वेक्टर इकाई

यह वह है जिसमें मॉड्यूल यूनिट (1) के बराबर है। यह वेक्टर को उसके मॉड्यूल द्वारा विभाजित करके प्राप्त किया जाता है और इसका उपयोग वेक्टर या दिशा और विमान की दिशा और भावना को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, या तो विमान या अंतरिक्ष में, बेस या यूनिटेड सामान्यीकृत वैक्टर का उपयोग करके, जो हैं:

अशक्त वेक्टर

यह वह है जिसका मॉड्यूल 0 के बराबर है; यह कहना है, उनकी उत्पत्ति और चरम बिंदु एक ही बिंदु पर हैं.

एक वेक्टर के घटक

एक वेक्टर के घटक संदर्भ प्रणाली के अक्षों पर वेक्टर के अनुमानों के मूल्य हैं; वेक्टर के अपघटन के आधार पर, जो दो या तीन आयामी अक्षों में हो सकते हैं, दो या तीन घटक क्रमशः प्राप्त किए जाएंगे।.

एक वेक्टर के घटक वास्तविक संख्याएं हैं, जो सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकती हैं (0).

इस प्रकार, यदि हमारे पास एक वेक्टर a है, तो xy (दो-आयामी) विमान में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में उत्पन्न होता है, x अक्ष पर प्रक्षेपण Āx है और y अक्ष पर प्रक्षेपण Āy है। इस प्रकार, वेक्टर को इसके घटक वैक्टर के योग के रूप में व्यक्त किया जाएगा.

उदाहरण

पहला उदाहरण

हमारे पास एक वेक्टर Ā है जो मूल से शुरू होता है और इसके सिरों के निर्देशांक दिए गए हैं। इस प्रकार, वेक्टर (= (Ā)_एक्स; एक_और) = (4; 5) सेमी.

यदि वेक्टर dimensional एक त्रि-आयामी त्रिकोणीय समन्वय प्रणाली (अंतरिक्ष में) x, y, z, किसी अन्य बिंदु (P) की उत्पत्ति पर कार्य करता है, तो इसके अक्षों पर अनुमान ,x, Āy और Āz होंगे; इस प्रकार, वेक्टर को उसके तीन घटक वैक्टर के योग के रूप में व्यक्त किया जाएगा.

दूसरा उदाहरण

हमारे पास एक वेक्टर Ā है जो मूल से शुरू होता है और इसके सिरों के निर्देशांक दिए गए हैं। इस प्रकार, वेक्टर (= (ए)_एक्स; एक_और; एक_z) = (4; 6; -3) सेमी.

वे वैक्टर जिनके आयताकार निर्देशांक हैं, उनके आधार वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं। उसके लिए, प्रत्येक समन्वय को अपनी संबंधित इकाई वेक्टर द्वारा गुणा किया जाना चाहिए, इस तरह से कि विमान और अंतरिक्ष के लिए वे निम्नलिखित होंगे:

विमान के लिए: the = A_एक्समैं + ए_औरj.

अंतरिक्ष के लिए: Ā = ए_एक्समैं + ए_औरजे + ए_zकश्मीर.

वैक्टर के साथ संचालन

ऐसे कई परिमाण हैं जिनमें एक मॉड्यूल, भाव और दिशा होती है, जैसे त्वरण, गति, विस्थापन, बल, अन्य।.

ये विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में लागू किए जाते हैं, और इन्हें लागू करने के लिए कुछ मामलों में आवश्यक है जैसे कि जोड़, घटाव, गुणा और वैक्टर और स्केलर का विभाजन।.

वैक्टर का जोड़ और घटाव

वैक्टर के जोड़ और घटाव को एक एकल बीजीय ऑपरेशन माना जाता है क्योंकि घटाव को एक योग के रूप में लिखा जा सकता है; उदाहरण के लिए, वैक्टर Ā और be का घटाव इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

Ē - Ē = Ā + (-Ā)

वैक्टर के अतिरिक्त और घटाव प्रदर्शन करने के लिए अलग-अलग तरीके हैं: वे चित्रमय या विश्लेषणात्मक हो सकते हैं.

ग्राफिक तरीके

जब एक वेक्टर में एक मॉड्यूल, भाव और दिशा होती है। ऐसा करने के लिए, रेखाएँ खींची जाती हैं जो एक आकृति बनाती हैं जो बाद में परिणाम को निर्धारित करने में मदद करती हैं। सबसे प्रसिद्ध के बीच, निम्नलिखित बाहर खड़े हैं:

समांतर चतुर्भुज विधि

दो वैक्टरों को जोड़ने या घटाने के लिए, एक बिंदु को आम तौर पर चुना जाता है समन्वय अक्ष पर-जो वैक्टर की उत्पत्ति के बिंदु का प्रतिनिधित्व करेगा-, इसके मॉड्यूल, दिशा और दिशा को बनाए रखता है।.

तब एक समानांतर चतुर्भुज बनाने के लिए वैक्टर के समानांतर लाइनें खींची जाती हैं। परिणामी वेक्टर एक विकर्ण है जो समांतर चतुर्भुज के शीर्ष तक दोनों वैक्टर की उत्पत्ति के बिंदु से निकलता है:

त्रिभुज विधि

इस विधि में वैक्टर को उनके मॉड्यूल, दिशाओं और दिशाओं को बनाए रखते हुए एक के बाद एक रखा जाता है। परिणामी वेक्टर पहली वेक्टर की उत्पत्ति का दूसरा वेक्टर के अंत के साथ होगा:

विश्लेषणात्मक तरीके

आप एक ज्यामितीय या वेक्टर विधि के माध्यम से दो या अधिक वैक्टर जोड़ या घटा सकते हैं:

ज्यामितीय विधि

जब दो वैक्टर एक त्रिकोण या समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, तो परिणामस्वरूप वेक्टर की मापांक और दिशा साइन और कोसाइन के नियमों का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है। इस प्रकार, परिणामस्वरूप वेक्टर का मॉड्यूल, कोसाइन के नियम को लागू करने और त्रिकोण विधि द्वारा दिया जाता है:

इस सूत्र में and पक्ष R के विपरीत कोण है, और यह 180Ɵ - β के बराबर है.

इसके विपरीत, समांतर चतुर्भुज विधि द्वारा परिणामी वेक्टर मॉड्यूल है:

परिणामी वेक्टर की दिशा कोण (α) द्वारा दी गई है, जो परिणामी वैक्टर में से एक के साथ बनाता है.

साइन के नियम से, वैक्टर के जोड़ या घटाव को त्रिकोण या समांतर चतुर्भुज विधि द्वारा भी किया जा सकता है, यह जानते हुए कि प्रत्येक त्रिभुज में भुजाएं कोण के स्तनों के समानुपाती होती हैं:

वेक्टर विधि

यह दो तरीकों से किया जा सकता है: उनके आयताकार निर्देशांक या उनके आधार वैक्टर पर निर्भर करता है.

यह वैक्टर को स्थानांतरित करके किया जा सकता है जिसे निर्देशांक की उत्पत्ति में जोड़ा या घटाया जाता है, और फिर विमान (एक्स, वाई) या अंतरिक्ष (एक्स) के लिए प्रत्येक कुल्हाड़ियों पर सभी अनुमान और, जेड); अंत में, इसके घटकों को बीजगणितीय रूप से जोड़ा जाता है। तो, विमान के लिए यह है:

परिणामी वेक्टर का मॉड्यूल है:

अंतरिक्ष के लिए यह है:

परिणामी वेक्टर का मॉड्यूल है:

वेक्टर प्रदर्शन करते समय कई गुण लागू होते हैं, जो हैं:

- साहचर्य संपत्ति: परिणामी पहले दो वैक्टर को जोड़कर नहीं बदलता है, और फिर तीसरा वेक्टर जोड़कर.

- कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी: वैक्टर का क्रम परिणाम में परिवर्तन नहीं करता है.

- वेक्टर वितरण गुण: यदि एक स्केलर को दो वैक्टर के योग से गुणा किया जाता है, तो यह प्रत्येक वेक्टर के लिए स्केलर के गुणन के बराबर होता है.

- स्केलर वितरण संपत्ति: यदि एक वेक्टर को दो स्केलरों के योग से गुणा किया जाता है, तो यह प्रत्येक स्केलर के लिए वेक्टर के गुणन के बराबर होता है.

वैक्टर का गुणन

वैक्टर का गुणन या उत्पाद इसके अतिरिक्त या घटाव के रूप में किया जा सकता है, लेकिन ऐसा करने में, यह भौतिक अर्थ खो देता है और लगभग कभी भी अनुप्रयोगों के भीतर नहीं पाया जाता है। इसलिए, आमतौर पर सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले प्रकार के उत्पाद स्केलर और वेक्टरियल उत्पाद होते हैं.

स्केलर उत्पाद

इसे दो वैक्टर के एक डॉट उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है। जब दो वैक्टर के मॉड्यूल को उनके बीच बनने वाले मामूली कोण के कोसाइन से गुणा किया जाता है, तो एक स्केलर प्राप्त होता है। दो वैक्टर के बीच एक स्केलर उत्पाद रखने के लिए, उनके बीच एक बिंदु रखा जाता है, और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

दोनों वैक्टर के बीच मौजूद कोण का मूल्य इस बात पर निर्भर करेगा कि वे समानांतर हैं या लंबवत; तो, आपको निम्न करना होगा:

- यदि वैक्टर समानांतर हैं और समान बोध है, तो cosine 0 1 = 1 है.

- यदि वैक्टर समानांतर हैं और विपरीत इंद्रियां हैं, तो cosine 180 -1 = -1.

- यदि वैक्टर लंबवत हैं, तो cosine 90 0 = 0.

उस कोण की गणना यह जानकर भी की जा सकती है कि:

अदिश उत्पाद में निम्नलिखित गुण होते हैं:

- कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी: वैक्टर का क्रम स्केलर को परिवर्तित नहीं करता है.

-वितरण गुण: यदि एक स्केलर को दो वैक्टर के योग से गुणा किया जाता है, तो यह प्रत्येक वेक्टर के लिए स्केलर के गुणन के बराबर होता है.

वेक्टर उत्पाद

वेक्टर गुणन, या दो वैक्टर A और B का क्रॉस उत्पाद, एक नए वेक्टर C का परिणाम देगा और वैक्टर के बीच एक क्रॉस का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है:

नए वेक्टर की अपनी विशेषताएं होंगी। इस तरह से:

- दिशा: यह नया वेक्टर विमान के लंबवत होगा, जो मूल वैक्टर द्वारा निर्धारित किया जाता है.

- भावना: इस दाएँ हाथ के नियम, जहां वेक्टर एक बी उंगलियों और भावना वेक्टर के अंगूठे के साथ रोटेशन की दिशा का संकेत करने के लिए दिया जाता है लेबल किया गया है से निर्धारित होता है.

- मॉड्यूल: इन वैक्टर के बीच मौजूद सबसे छोटे कोण की साइन द्वारा वैक्टर एक्सबी के मॉड्यूल के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह व्यक्त किया गया है:

दो वैक्टरों के बीच मौजूद कोण का मान इस बात पर निर्भर करेगा कि वे समानांतर हैं या लंबवत। फिर, निम्नलिखित की पुष्टि करना संभव है:

- यदि वैक्टर समानांतर हैं और समान भाव रखते हैं, तो पाप 0 0 = 0 है.

- यदि वैक्टर समानांतर हैं और विपरीत इंद्रियां हैं, तो साइन 180 0 = 0.

- यदि वैक्टर लंबवत हैं, तो साइन 90 1 = 1 है.

जब वेक्टर उत्पाद को उसके बेस वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, तो यह अवश्य होना चाहिए:

अदिश उत्पाद में निम्नलिखित गुण होते हैं:

- यह सराहनीय नहीं है: वैक्टर का क्रम स्केलर को बदल देता है.

- वितरण गुण: यदि एक स्केलर को दो वैक्टर के योग से गुणा किया जाता है, तो यह प्रत्येक वेक्टर के लिए स्केलर के गुणन के बराबर होता है.

संदर्भ

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