गणितीय तर्क उत्पत्ति, क्या अध्ययन, प्रकार

गणितीय तर्क या प्रतीकात्मक तर्क एक गणितीय भाषा है जिसमें आवश्यक उपकरण शामिल हैं जिनके माध्यम से गणितीय तर्क की पुष्टि या खंडन किया जा सकता है.

यह सर्वविदित है कि गणित में अस्पष्टताएँ नहीं हैं। गणितीय तर्क को देखते हुए, यह मान्य है या बस नहीं है। यह एक ही समय में गलत और सच नहीं हो सकता है.

गणित का एक विशेष पहलू यह है कि इसकी एक औपचारिक और कठोर भाषा है जिसके माध्यम से एक तर्क की वैधता निर्धारित की जा सकती है। ऐसा क्या है जो कुछ तर्क या किसी गणितीय प्रमाण को अकाट्य बनाता है? यही गणितीय तर्क है.

इस प्रकार, तर्क गणित का अनुशासन है जो गणितीय तर्क और प्रदर्शनों का अध्ययन करने के लिए जिम्मेदार है, और पिछले बयानों या प्रस्तावों से एक सही निष्कर्ष निकालने में सक्षम होने के लिए उपकरण प्रदान करता है.

ऐसा करने के लिए, यह स्वयंसिद्ध और अन्य गणितीय पहलुओं का उपयोग करता है जिन्हें बाद में विकसित किया जाएगा.

सूची

• 1 उत्पत्ति और इतिहास
  • १.१ अरस्तू
• 2 गणितीय तर्क क्या अध्ययन करता है?
  • २.१ प्रस्ताव
  • २.२ सत्य सारणी
• 3 गणितीय तर्क के प्रकार
  • 3.1 क्षेत्र
• 4 संदर्भ

उत्पत्ति और इतिहास

गणितीय तर्क के कई पहलुओं के संबंध में सटीक तिथियाँ अनिश्चित हैं। हालाँकि, इस विषय पर अधिकांश ग्रंथ सूची प्राचीन ग्रीस के मूल का पता लगाती है.

अरस्तू

तर्क के कठोर उपचार की शुरुआत, अरस्तू को दी गई है, जिसने तर्क के कार्यों का एक सेट लिखा है, जिसे बाद में मध्य युग तक विभिन्न दार्शनिकों और वैज्ञानिकों द्वारा एकत्र और विकसित किया गया था। इसे "पुराना तर्क" माना जा सकता है.

फिर, जिसे समकालीन युग के रूप में जाना जाता है, लिबनीज, एक सार्वभौमिक भाषा को गणितीय रूप से स्थापित करने की गहरी इच्छा से आगे बढ़ा, और अन्य गणितज्ञों जैसे गोटलोब फ्रेज और ग्यूसेप पीनो, ने महान योगदान के साथ गणितीय तर्क के विकास को प्रभावित किया। उनमें से, पीनो के सहायक, जो प्राकृतिक संख्या के अपरिहार्य गुण बनाते हैं.

गणितज्ञ जॉर्ज बोले और जॉर्ज कैंटर भी इस समय काफी प्रभाव में थे, सेट थ्योरी और सत्य तालिकाओं में महत्वपूर्ण योगदान के साथ, अन्य पहलुओं के बीच हाइलाइटिंग, बूलियन बीजगणित (जॉर्ज बोले द्वारा) और पसंद का Axiom (जॉर्ज कैंटर द्वारा).

मॉर्गन के जाने-माने कानूनों के साथ ऑगस्टस डी मॉर्गन भी है, जो प्रस्तावनाओं के बीच खंडन, संयोजन, असमानता और सशर्त चिंतन करते हैं, प्रतीकात्मक तर्क के विकास के लिए कुंजी और प्रसिद्ध वेन आरेख के साथ जॉन वेन।.

20 वीं शताब्दी में, लगभग 1910 और 1913 के बीच, बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड अपने प्रकाशन के साथ बाहर खड़े रहे प्रिंसिपिया गणितज्ञ, ऐसी किताबों का एक सेट जो स्वयंसिद्ध और तर्क परिणामों की एक श्रृंखला को एकत्र करता है, विकसित करता है और पोस्ट करता है.

गणितीय तर्क क्या अध्ययन करता है?

प्रस्ताव

गणितीय तर्क प्रस्तावों के अध्ययन के साथ शुरू होता है। एक प्रस्ताव एक पुष्टि है कि किसी भी अस्पष्टता के बिना कहा जा सकता है कि यह सच है या नहीं। निम्नलिखित प्रस्ताव के उदाहरण हैं:

• 2 + 4 = 6.
• 5²= 35.
• साल 1930 में यूरोप में भूकंप आया था.

पहला एक सच्चा प्रस्ताव है और दूसरा एक गलत प्रस्ताव है। तीसरा, भले ही यह संभव है कि जो व्यक्ति इसे पढ़ता है वह नहीं जानता कि क्या यह सच है या तुरंत, यह एक बयान है जिसे सत्यापित किया जा सकता है और निर्धारित किया जा सकता है कि क्या वास्तव में ऐसा हुआ है या नहीं.

निम्नलिखित अभिव्यक्ति के उदाहरण हैं जो प्रस्ताव नहीं हैं:

• वह गोरी है.
• 2x = 6.
• चलो खेलते हैं!
• क्या आपको सिनेमा पसंद है?

पहले प्रस्ताव में, यह निर्दिष्ट नहीं है कि "वह" कौन है, इसलिए कुछ भी पुष्टि नहीं की जा सकती है। दूसरे प्रस्ताव में, "x" द्वारा दर्शाया गया निर्दिष्ट नहीं किया गया है। अगर इसके बजाय यह कहा जाता है कि कुछ प्राकृतिक संख्या x के लिए 2x = 6, इस मामले में यह एक प्रस्ताव के अनुरूप होगा, वास्तव में सच है, क्योंकि x = 3 के लिए यह पूरा हो गया है.

अंतिम दो बयान एक प्रस्ताव के अनुरूप नहीं हैं, क्योंकि उन्हें अस्वीकार या पुष्टि करने का कोई तरीका नहीं है.

ज्ञात संयोजक कनेक्टर्स (या कनेक्टर्स) का उपयोग करके दो या अधिक प्रस्ताव संयुक्त (या जुड़े) हो सकते हैं। ये हैं:

• इनकार: "बारिश नहीं हो रही है".
• अस्वीकरण: "लुइसा ने एक सफेद या ग्रे बैग खरीदा".
• संयोजन: "4²= 16 और 2 × 5 = 10 ".
• सशर्त: "यदि बारिश होती है, तो मैं आज दोपहर जिम नहीं जाऊंगा".
• द्विसंयोजक: "मैं आज दोपहर को जिम जाता हूं अगर, और केवल अगर, तो बारिश नहीं होती है".

एक प्रस्ताव जो पिछले संयोजी में से किसी के पास नहीं है, उसे सरल प्रस्ताव (या परमाणु) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, "2 4 से कम है", एक सरल प्रस्ताव है। कुछ संयोजकता वाले प्रस्तावों को यौगिक प्रस्ताव कहा जाता है, उदाहरण के लिए "1 + 3 = 4 और 4 एक सम संख्या".

प्रस्तावों के माध्यम से दिए गए बयान आमतौर पर लंबे होते हैं, इसलिए उन्हें हमेशा लिखना कठिन होता है जैसा कि हमने अब तक देखा है। इस कारण से, एक प्रतीकात्मक भाषा का उपयोग किया जाता है। प्रस्तावों को आमतौर पर बड़े अक्षरों जैसे कि अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है पी, क्यू, आर, एस, आदि और प्रतीकात्मक संयोजी इस प्रकार है:

तो वह

पारस्परिक एक सशर्त प्रस्ताव

प्रस्ताव है

और द यिद (या गर्भनिरोधक) एक प्रस्ताव का

प्रस्ताव है

सत्य सारणी

तर्क में एक और महत्वपूर्ण अवधारणा सत्य तालिकाओं की है। एक प्रस्ताव के सत्य मूल्य दो संभावनाएं हैं जो एक प्रस्ताव के लिए उपलब्ध हैं: सत्य (जिसे वी द्वारा निरूपित किया जाएगा और इसका सत्य मूल्य वी कहा जाएगा) या गलत (जिसे एफ द्वारा निरूपित किया जाएगा और इसका मूल्य कहा जाएगा यह वास्तव में एफ) है.

एक यौगिक प्रस्ताव का सत्य मूल्य विशेष रूप से इसमें दिखाई देने वाले सरल प्रस्तावों के सत्य मूल्यों पर निर्भर करता है.

आम तौर पर अधिक काम करने के लिए, हम विशिष्ट प्रस्तावों पर विचार नहीं करेंगे, लेकिन प्रस्तावात्मक चर पी, क्यू, आर, एस, आदि, जो किसी भी प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करेंगे.

इन चरों और तार्किक संयोजकों के साथ जाने-माने प्रपोजल फॉर्मूले बनते हैं जैसे कि कंपाउंड स्टेटमेंट का निर्माण किया जाता है.

यदि किसी प्रस्ताव के सूत्र में दिखाई देने वाले प्रत्येक चर को एक प्रस्ताव द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो एक समग्र प्रस्ताव प्राप्त होता है.

नीचे तार्किक संयोजकों की सत्य सारणी दी गई है:

ऐसे प्रपोजल फॉर्मूले हैं जो उनकी सत्य तालिका में केवल मान V प्राप्त करते हैं, अर्थात, उनकी सत्य तालिका के अंतिम कॉलम में केवल V का मान होता है। इस प्रकार के फॉर्मूले को टॉटोलॉजी के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए:

निम्नलिखित सूत्र की सत्य तालिका है

ऐसा कहा जाता है कि एक सूत्र α तार्किक रूप से एक और सूत्र formula का अर्थ देता है, यदि α हर बार सत्य है formula सत्य है। यही है, α और truth की सत्य तालिका में, α में एक V, β की पंक्तियाँ भी हैं। V में केवल वे पंक्तियाँ हैं जिनमें α का मान V है। ब्याज की हैं। तार्किक निहितार्थ के लिए अंकन निम्नलिखित है। :

निम्न तालिका तार्किक निहितार्थ के गुणों को सारांशित करती है:

यह कहा जाता है कि दो प्रस्तावक सूत्र तार्किक रूप से समतुल्य हैं यदि उनकी सत्य तालिकाएँ समान हैं। तार्किक संकेतन को व्यक्त करने के लिए निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाता है:

निम्नलिखित तालिकाओं तार्किक समानता के गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत करती हैं:

गणितीय तर्क के प्रकार

विभिन्न प्रकार के तर्क हैं, खासकर यदि कोई व्यक्ति व्यावहारिक या अनौपचारिक तर्क को ध्यान में रखता है जो अन्य क्षेत्रों में दर्शन की ओर इशारा करता है.

जहाँ तक गणित का सवाल है, तर्क के प्रकारों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

• औपचारिक या अरिस्टोटेलियन लॉजिक (प्राचीन तर्क).
• प्रस्तावक तर्क: एक औपचारिक भाषा और प्रतीकात्मक का उपयोग करके तर्कों और प्रस्तावों की वैधता से संबंधित हर चीज के अध्ययन के लिए जिम्मेदार है.
• प्रतीकात्मक तर्क: एक औपचारिक और प्रतीकात्मक भाषा के साथ, सेट और उनके गुणों के अध्ययन पर ध्यान केंद्रित किया गया है, और यह प्रॉपिकल तर्क से गहराई से जुड़ा हुआ है.
• संयुक्त तर्क: सबसे हाल ही में विकसित में से एक, जिसमें एल्गोरिदम द्वारा विकसित किए जा सकने वाले परिणाम शामिल हैं.
• तार्किक प्रोग्रामिंग: विभिन्न पैकेज और प्रोग्रामिंग भाषाओं में उपयोग किया जाता है.

क्षेत्रों

अपने तर्क और तर्कों के विकास में एक अपरिहार्य तरीके से गणितीय तर्क का उपयोग करने वाले क्षेत्रों में, वे दर्शन, सेट सिद्धांत, संख्या सिद्धांत, रचनात्मक बीजीय गणित और प्रोग्रामिंग भाषाओं को उजागर करते हैं।.

संदर्भ

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