मॉर्गन के कानून

द लमॉर्गन की आँखें वे प्रस्तावक तर्क में प्रयोग किए जाने वाले अनुमान के नियम हैं, जो यह स्थापित करते हैं कि एक प्रस्ताव को अस्वीकार करने और प्रस्ताव या प्रस्ताव के चर के संयोजन का परिणाम क्या है। इन कानूनों को गणितज्ञ ऑगस्टस डी मॉर्गन द्वारा परिभाषित किया गया था.

मॉर्गन के नियम गणितीय तर्क की वैधता प्रदर्शित करने के लिए एक बहुत ही उपयोगी उपकरण का प्रतिनिधित्व करते हैं। बाद में उन्हें गणितज्ञ जॉर्ज बोले द्वारा सेट की अवधारणा के भीतर सामान्यीकृत किया गया.

बोले द्वारा बनाया गया यह सामान्यीकरण पूरी तरह से मॉर्गन के शुरुआती कानूनों के बराबर है, लेकिन इसे विशेष रूप से प्रस्तावों के बजाय सेट के लिए विकसित किया गया है। इस सामान्यीकरण को मॉर्गन के नियमों के रूप में भी जाना जाता है.

सूची

• 1 प्रस्ताव तर्क की समीक्षा
  • 1.1 पतन
  • 1.2 प्रस्ताव
• 2 मॉर्गन के नियम
  • २.१ प्रदर्शन
• 3 सेट
  • 3.1 संघ, चौराहे और सेट के पूरक
• 4 सेट के लिए मॉर्गन के नियम
• 5 संदर्भ

प्रस्तावक तर्क की समीक्षा

मॉर्गन के कानून विशेष रूप से और उनका उपयोग कैसे किया जाता है, यह देखने से पहले, प्रस्तावक तर्क के कुछ बुनियादी धारणाओं को याद रखना सुविधाजनक है। (अधिक जानकारी के लिए प्रस्ताव तर्क लेख देखें).

गणितीय (या प्रस्तावक) तर्क के क्षेत्र में, एक निष्कर्ष एक निष्कर्ष है जो परिसर या परिकल्पना के एक सेट से उत्सर्जित होता है। यह निष्कर्ष, उल्लिखित परिसर के साथ मिलकर गणितीय तर्क के रूप में जाना जाता है.

यह तर्क प्रदर्शन या अस्वीकार करने में सक्षम होना चाहिए; यह कहना है कि गणितीय तर्क में सभी निष्कर्ष या निष्कर्ष मान्य नहीं हैं.

हेत्वाभास

कुछ मान्यताओं से उत्सर्जित एक गलत अनुमान, जो सच माना जाता है, एक पतन के रूप में जाना जाता है। पतन की दलील है कि तर्क सही होने की विशिष्टता है, लेकिन गणितीय रूप से वे नहीं हैं.

प्रोपोजल लॉजिक किसी भी अस्पष्टता के बिना किसी गणितीय तर्क को मान्य या खंडन किए बिना किसी के द्वारा विकसित और उपलब्ध कराने के तरीकों के प्रभारी है; यह है, परिसर से एक वैध निष्कर्ष का अनुमान लगाना। इन विधियों को अनुमान के नियमों के रूप में जाना जाता है, जिनमें से मॉर्गन के कानून एक हिस्सा हैं.

प्रस्ताव

प्रस्तावक तर्क के आवश्यक तत्व प्रस्ताव हैं। प्रस्ताव ऐसे बयान हैं जिनके बारे में कोई कह सकता है कि वे मान्य हैं या नहीं, लेकिन यह कि वे एक ही समय में सही या गलत नहीं हो सकते। इस मामले में कोई अस्पष्टता नहीं होनी चाहिए.

जैसे संख्याओं को जोड़, घटाव, गुणा और भाग के संचालन के माध्यम से जोड़ा जा सकता है, वैसे ही प्रस्ताव ज्ञात संयोजी (या कनेक्टर्स) तार्किक: ऋणात्मक (¬, "नहीं"), डिसंक्शन (वी) के माध्यम से संचालित किए जा सकते हैं। , "ओ"), संयुग्मन (Ʌ, "और"), सशर्त (→, "अगर ..., तो ...") और द्विविभागीय (↔, "हाँ, और केवल अगर").

आम तौर पर अधिक काम करने के लिए, विशिष्ट प्रस्तावों पर विचार करने के बजाय, हम प्रस्तावक चर पर विचार करते हैं जो किसी भी प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करते हैं, और आमतौर पर लोअरकेस अक्षर p, q, r, s, आदि द्वारा निरूपित किए जाते हैं।.

एक प्रोपोजल फॉर्मूला तार्किक संयोजी में से कुछ के माध्यम से प्रपोजल चर का संयोजन है। दूसरे शब्दों में, यह प्रस्तावनीय चर की एक रचना है। उन्हें आमतौर पर ग्रीक अक्षरों से दर्शाया जाता है.

ऐसा कहा जाता है कि एक प्रस्तावक सूत्र तार्किक रूप से एक और अर्थ निकालता है जब उत्तरार्द्ध हर बार पहले सच होता है। इसके द्वारा निरूपित किया गया है:

जब दो प्रपोज़ल फ़ार्मुलों के बीच तार्किक निहितार्थ पारस्परिक होता है - अर्थात, जब पिछला निहितार्थ विपरीत दिशा में भी मान्य होता है - फ़ार्मुलों को तार्किक रूप से समतुल्य कहा जाता है, और इसे निरूपित किया जाता है

तार्किक तुल्यता एक प्रकार का प्रस्ताव है जो प्रपोजल फॉर्मूले के बीच समानता है और आवश्यक होने पर एक को दूसरे के लिए बदलने की अनुमति देता है.

मॉर्गन के कानून

मॉर्गन के कानूनों में दो प्रस्तावक रूपों के बीच दो तार्किक समानताएँ हैं, अर्थात्:

इन कानूनों में एक विघटन या संयोजन की उपेक्षा को अलग करने की अनुमति मिलती है, क्योंकि इसमें शामिल चर की उपेक्षा होती है.

पहले को निम्नानुसार पढ़ा जा सकता है: एक विघटन की अवहेलना नकारात्मक के संयोजन के बराबर है। और दूसरा इस तरह से पढ़ता है: एक संयुग्मन की उपेक्षा नकारात्मकता का विघटन है.

दूसरे शब्दों में, दो प्रपोज़ल वैरिएबल्स के डिसंक्शन को नकारने के लिए दोनों वैरिएबल्स की नेगज़ेशन के बराबर है। इसी तरह, दो प्रस्तावनीय चर के संयोजन से इनकार करने के लिए दोनों चर की उपेक्षा के बराबर है.

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, इस तार्किक समतुल्य का प्रतिस्थापन महत्वपूर्ण परिणामों को प्रदर्शित करने में मदद करता है, साथ ही निष्कर्ष के अन्य मौजूदा नियमों के साथ। इनके साथ आप कई प्रस्ताव सूत्रों को सरल बना सकते हैं, ताकि वे काम करने के लिए अधिक उपयोगी हों.

इन मॉर्गन के कानूनों के बीच, एक अनुमान के नियमों का उपयोग करके गणितीय प्रमाण का एक उदाहरण है। विशेष रूप से, यह दिखाया गया है कि सूत्र:

के बराबर है:

उत्तरार्द्ध समझने और विकसित करने के लिए सरल है.

प्रदर्शन

उल्लेखनीय है कि मॉर्गन के कानूनों की वैधता का गणितीय रूप से प्रदर्शन किया जा सकता है। एक तरीका आपकी सत्य सारणी की तुलना करके है.

सेट

अनुमानों के समान नियमों और प्रस्तावों पर लागू तर्क की धारणाओं को भी सेट मानकर विकसित किया जा सकता है। यह वही है जो गणितज्ञ जॉर्ज बोले के बाद बुलियन बीजगणित के रूप में जाना जाता है.

मामलों में अंतर करने के लिए, नोटेशन को बदलना और सेट करने के लिए स्थानांतरण करना आवश्यक है, सभी तर्क जो पहले से ही प्रस्तावित तर्क से देखे गए हैं.

एक सेट वस्तुओं का एक संग्रह है। सेट को कैपिटल अक्षरों ए, बी, सी, एक्स, ... और एक सेट के तत्वों को ए, बी, सी, एक्स, आदि से दर्शाया जाता है। जब एक तत्व एक सेट X से संबंधित होता है, तो इसे निम्न द्वारा दर्शाया जाता है:

जब यह X से संबंधित नहीं है, तो संकेतन है:

सेट का प्रतिनिधित्व करने का तरीका उनके तत्वों को कुंजी के अंदर रखता है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के समूह को निम्न द्वारा दर्शाया गया है:

सेट को उनके तत्वों की एक स्पष्ट सूची लिखे बिना भी दर्शाया जा सकता है। उन्हें फॉर्म : में व्यक्त किया जा सकता है। दो बिंदुओं को "ऐसा" पढ़ा जाता है। सेट के तत्वों का प्रतिनिधित्व करने वाले एक चर को दो बिंदुओं के बाईं ओर रखा जाता है, और जिस संपत्ति या स्थिति को वे संतुष्ट करते हैं उसे दाईं ओर रखा जाता है। यह है:

उदाहरण के लिए, पूर्णांक से अधिक -4 का सेट इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

या समकक्ष, और अधिक संक्षिप्त रूप में:

इसी प्रकार, निम्नलिखित भाव क्रमशः सम तथा विषम संख्याओं के समुच्चयों का प्रतिनिधित्व करते हैं:

संघ, चौराहे और सेटों के पूरक

आगे हम सेट के मामले में तार्किक संयोजी के एनालॉग देखेंगे, जो सेट के बीच बुनियादी संचालन का हिस्सा हैं.

संघ और चौराहा

संघ और सेट के अंतर को क्रमशः निम्न प्रकार से परिभाषित किया गया है:

उदाहरण के लिए, सेट पर विचार करें:

फिर, आपको निम्न करना होगा:

पूरक

एक सेट का पूरक उन तत्वों से बनता है जो उस सेट से संबंधित नहीं होते हैं (उसी प्रकार के जो मूल का प्रतिनिधित्व करता है)। एक सेट A के पूरक को निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है:

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के भीतर, सम संख्याओं के समुच्चय का पूरक विषम संख्याओं का होता है, और इसके विपरीत.

एक सेट के पूरक को निर्धारित करने के लिए शुरू से ही स्पष्ट होना चाहिए सार्वभौमिक या मुख्य सेट तत्वों पर विचार किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, यह प्राकृतिक संख्याओं पर एक सेट के पूरक पर विचार करने के बराबर नहीं है जो तर्कसंगत लोगों पर है.

निम्न तालिका उस संबंध या समानता को दर्शाती है जो पहले से निर्धारित सेटों पर परिचालन के बीच मौजूद है, और प्रस्तावक तर्क के संयोजक हैं:

सेट के लिए मॉर्गन के कानून

अंत में, सेट पर मॉर्गन के नियम हैं:

शब्दों में: एक संघ का पूरक बस्तियों का चौराहा है, और एक चौराहा का पूरक पूरक संघ है.

पहली समानता का गणितीय प्रमाण निम्नलिखित होगा:

दूसरे का प्रदर्शन सादृश्य है.

संदर्भ

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