व्यय के कानून (उदाहरण और अभ्यास के साथ हल)

एक्सपट्र्स के कानून क्या वे हैं जो उस संख्या पर लागू होते हैं जो इंगित करता है कि कितनी बार आधार संख्या को खुद से गुणा किया जाना चाहिए। घातांक को शक्तियों के रूप में भी जाना जाता है। पोटेंशिएशन एक गणितीय ऑपरेशन है जिसमें आधार (ए), एक्सपोनेंट (एम) और पावर (बी) शामिल है, जो ऑपरेशन का परिणाम है.

आम तौर पर बहुत बड़ी मात्रा में उपयोग किए जाने पर खर्च किया जाता है, क्योंकि ये संक्षिप्त रूप से अधिक नहीं हैं जो एक ही संख्या के गुणा को एक निश्चित संख्या में दर्शाते हैं। प्रतिपादक सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकते हैं.

सूची

• 1 घातांक के कानूनों की व्याख्या
  • १.१ पहला नियम: प्रतिपादक शक्ति १ के बराबर
  • १.२ दूसरा नियम: प्रतिपादक शक्ति ० के बराबर
  • 1.3 तीसरा नियम: नकारात्मक घातांक
  • 1.4 चौथा नियम: समान आधार वाली शक्तियों का गुणन
  • 1.5 वां कानून: समान आधार वाली शक्तियों का विभाजन
  • 1.6 छठा नियम: अलग आधार के साथ शक्तियों का गुणन
  • 1.7 सातवाँ नियम: अलग आधार वाली शक्तियों का विभाजन
  • 1.8 आठवाँ नियम: एक शक्ति की शक्ति
  • 1.9 नौवाँ नियम: भिन्नात्मक घातांक
• 2 व्यायाम हल किए
  • २.१ व्यायाम १
  • २.२ व्यायाम २
• 3 संदर्भ

प्रतिपादकों के कानूनों की व्याख्या

जैसा कि पहले कहा गया है, घातांक एक संक्षिप्त रूप है जो कई बार संख्याओं के गुणन को अपने आप से दर्शाता है, जहाँ घातांक केवल बाईं ओर की संख्या से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए:

2³ = 2 * 2 * 2 = 8

उस स्थिति में संख्या 2 शक्ति का आधार है, जिसे घातांक से संकेतित 3 बार गुणा किया जाएगा, जो आधार के ऊपरी दाएं कोने में स्थित है। अभिव्यक्ति को पढ़ने के अलग-अलग तरीके हैं: 2 उठाया 3 या 2 भी घन में उठाया.

एक्सपोर्टर यह भी संकेत करते हैं कि वे कितनी बार विभाजित हो सकते हैं, और इस ऑपरेशन को गुणन से अलग करने के लिए एक्सपोनेंट उसके सामने ऋण चिह्न (-) को वहन करता है (यह ऋणात्मक है), जिसका अर्थ है कि प्रतिपादक एक के हर में है अंश। उदाहरण के लिए:

2^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

यह उस मामले में भ्रमित नहीं होना चाहिए जिसमें आधार नकारात्मक है, क्योंकि यह इस बात पर निर्भर करेगा कि प्रतिपादक सकारात्मक या नकारात्मक है या नहीं यह निर्धारित करने के लिए विषम है। तो आपको निम्न करना होगा:

- यदि प्रतिपादक सम है, तो शक्ति धनात्मक होगी। उदाहरण के लिए:

(-7)² = -7 _* -= ४ ९.

- यदि घातांक विषम है, तो शक्ति ऋणात्मक होगी। उदाहरण के लिए:

(-2)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

एक विशेष मामला होता है जिसमें यदि घातांक 0 के बराबर होता है, तो शक्ति 1 के बराबर होती है। यह भी संभावना है कि आधार 0 है; उस मामले में, उजागर होने के आधार पर, शक्ति अनिश्चित होगी या नहीं.

एक्सपट्र्स के साथ गणितीय संचालन करने के लिए, कई नियमों या नियमों का पालन करना आवश्यक है जो इन ऑपरेशनों का समाधान खोजना आसान बनाते हैं.

पहला कानून: प्रतिपादक शक्ति 1 के बराबर

जब घातांक 1 होता है, तो परिणाम आधार का समान मूल्य होगा: a¹ = ए.

उदाहरण

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

दूसरा नियम: प्रतिपादक शक्ति 0 के बराबर

जब प्रतिपादक 0 होता है, यदि आधार गैर-शून्य है, तो परिणाम होगा :, a⁰ = 1.

उदाहरण

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

तीसरा नियम: नकारात्मक घातांक

चूंकि घातांक नकारात्मक है, परिणाम एक अंश होगा, जहां शक्ति हर होगी। उदाहरण के लिए, यदि m धनात्मक है, तो a^{-मीटर} = 1 / ए^मीटर.

उदाहरण

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

चौथा नियम: समान आधार वाली शक्तियों का गुणन

उन शक्तियों को गुणा करने के लिए जहां आधार 0 के बराबर और भिन्न होते हैं, आधार बनाए रखा जाता है और घातांक जोड़े जाते हैं: a^मीटर _* कोⁿ = ए^{एम + एन}.    

उदाहरण

- 4⁴_* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = २^{2 + 9} = २¹¹

पाँचवाँ नियम: समान आधार वाली शक्तियों का विभाजन

शक्तियों को विभाजित करने के लिए जिनमें आधार बराबर हैं और 0 से भिन्न हैं, आधार बनाए रखा जाता है और घातांक को निम्नानुसार घटाया जाता है:^मीटर / एⁿ = ए^{एम-एन}.    

उदाहरण

- 9² / ९¹ = 9 ^{(२ - १)} = 9¹.

- 6¹⁵ / ६¹⁰ = 6 ^{(१५ - १०)} = 6⁵.

- 49¹² / ४ ९⁶ = 49 ^{(१२ - ६)} = 49⁶.

छठा नियम: एक अलग आधार के साथ शक्तियों का गुणन

इस कानून में हम चौथे में व्यक्त किए गए विपरीत हैं; वह है, अगर अलग-अलग आधार हैं, लेकिन समान घातांक के साथ, आधार गुणा किया जाता है और घातांक बनाए रखा जाता है (^मीटर _* ख^मीटर = (ए_*ख) ^मीटर.

उदाहरण

- 10² _* 20² = (१०) _* 20)² = 200².

- 45¹¹_* 9¹¹ = (४५ * ९)^{11 =} 405¹¹.

इस कानून का प्रतिनिधित्व करने का एक अन्य तरीका यह है कि एक गुणन को एक शक्ति से ऊपर उठाया जाए। इस प्रकार, प्रतिपादक प्रत्येक पद से संबंधित होगा: (ए_*ख)^मीटर= ए^मीटर_* ख^मीटर.

उदाहरण

- (5_*8)⁴ = 5⁴_* 8⁴ = 40⁴.

- (२३ * *)⁶ = 23⁶_* 7⁶ = 161⁶.

सातवाँ नियम: अलग आधार वाली शक्तियों का विभाजन

यदि अलग-अलग आधार हैं लेकिन समान घातांक के साथ, आधार विभाजित हैं और प्रतिपादक बनाए रखा गया है: a^मीटर / बी^मीटर = (ए / बी)^मीटर.

उदाहरण

- 30³ / २³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80 रु⁴ = (440/80)⁴ = 5.5⁴.

इसी तरह, जब एक विभाजन को एक शक्ति के लिए ऊपर उठाया जाता है, तो प्रतिपादक प्रत्येक पद से संबंधित होगा: (a) ख) ^मीटर = ए^मीटर / बी^मीटर.

उदाहरण

- (8/4)⁸ = 8⁸ / ४⁸ = २⁸.

- (25.05)² = 25² / ५² = 5².

एक मामला है जिसमें प्रतिपादक नकारात्मक है। इसलिए, सकारात्मक होने के लिए, अंश का मान निम्न के साथ उलटा होता है, निम्न तरीके से:

- (ए / बी)^-n = (बी / ए)ⁿ = बीⁿ / एⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / ४⁴.

आठवाँ नियम: एक शक्ति की शक्ति

जब आपके पास एक शक्ति होती है जो किसी अन्य पावर के लिए उठाई जाती है, तो एक ही समय में दो घातांक होते हैं-, आधार बना रहता है और घातांक गुणा हो जाता है: (ए^मीटर)ⁿ= ए^{म *n}.

उदाहरण

- (8³)² = 8 ^{(३ * २)} = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^{(९ * ३)} = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(१० * १२)} = 238¹²⁰.

नौवाँ नियम: भिन्नात्मक घातांक

यदि पावर में एक घातांक के रूप में अंश है, तो इसे nth रूट में बदलकर हल किया जाता है, जहां अंश एक घातांक के रूप में रहता है और भाजक मूल सूचकांक का प्रतिनिधित्व करता है:

हल किए गए अभ्यास

व्यायाम 1

विभिन्न आधारों वाली शक्तियों के बीच संचालन की गणना करें:

2⁴_* 4⁴ / 8².

समाधान

घातांक के नियमों को लागू करने वाले अंश में, गुणकों को गुणा किया जाता है और प्रतिपादक को बनाए रखा जाता है, जैसे:

2⁴_* 4⁴ / 8²= (२)_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

अब, चूंकि हमारे पास एक ही आधार है, लेकिन विभिन्न घातांक के साथ, आधार बनाए रखा जाता है और घातांक घटाया जाता है:

 8⁴ / 8² = 8^{(४ - २)} = 8²

व्यायाम २

उच्च शक्तियों के बीच संचालन की गणना दूसरी शक्ति से करें:

(3²)³_* (2 _* 6⁵)^-2_* (2²)³

समाधान

कानूनों को लागू करना, आपको निम्न करना होगा:

(3²)³_* (2 _* 6⁵)^-2_* (2²)³

= ३⁶_* 2^-2_* 2^-10 _* 2⁶

= ३⁶_* 2^{(-2) + (- १०)} _* 2⁶

= ३⁶ _*  2^-12_* 2⁶

= ३⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= ३⁶ _* 2⁶

= (३)_*2)⁶

= 6⁶

= 46,656

संदर्भ

1. अपोंटे, जी। (1998). बुनियादी गणित के मूल तत्व. पियर्सन शिक्षा.
2. कोरबलान, एफ। (1997). गणित ने रोजमर्रा की जिंदगी में लागू किया.
3. जिमेनेज, जे। आर। (2009). गणित 1 एसईपी.
4. मैक्स पीटर्स, डब्ल्यू। एल। (1972). बीजगणित और त्रिकोणमिति.
5. रीस, पी। के। (1986)। Reverte.