सिंथेटिक डिवीजन विधि और हल व्यायाम

सिंथेटिक विभाजन यह एक बहुपदीय P (x) को किसी भी एक रूप d (x) = x - c से विभाजित करने का एक सरल तरीका है। यह बहुउपयोगी उपकरण है, जो हमें बहुपद को विभाजित करने की अनुमति देने के अलावा, यह हमें किसी भी संख्या c में बहुपद P (x) का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है, जो बदले में हमें ठीक से बताता है कि यह संख्या बहुपद का शून्य है या नहीं.

विभाजन एल्गोरिथ्म के लिए धन्यवाद, हम जानते हैं कि अगर हमारे पास दो बहुपद हैं पी (एक्स) और डी (एक्स) स्थिर नहीं, बहुपद होते हैं क्ष (x) और आर (एक्स) अद्वितीय ऐसा है कि यह सही है कि P (x) = q (x) d (x) + r (x), जहाँ r (x) शून्य है या q (x) से कम है। इन बहुपदों को क्रमशः भागफल और अवशेष या आराम के रूप में जाना जाता है.

ऐसे अवसरों पर जब बहुपद d (x) फॉर्म x-c का होता है, सिंथेटिक डिवीजन हमें यह पता लगाने का एक छोटा तरीका देता है कि कौन q (x) और r (x) हैं.

सूची

• 1 सिंथेटिक विभाजन विधि
• 2 व्यायाम हल किए
  • २.१ उदाहरण १
  • २.२ उदाहरण २
  • २.३ उदाहरण ३
  • २.४ उदाहरण ४
• 3 संदर्भ

सिंथेटिक विभाजन विधि

P (x) = a_nएक्सⁿ+को_n-1एक्स^n-1+... + क₁x + ए₀ बहुपद हम विभाजित करना चाहते हैं और d (x) = x-c विभाजक। सिंथेटिक डिवीजन विधि द्वारा विभाजित करने के लिए हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

1- हम पहली पंक्ति में P (x) के गुणांक लिखते हैं। यदि X की कोई शक्ति प्रकट नहीं होती है, तो हम शून्य को इसके गुणांक के रूप में रखते हैं.

2- दूसरी पंक्ति में, a के बाईं ओर_n निम्न आकृति में दिखाए गए अनुसार सी, और विभाजन रेखाएँ बनाएँ:

3- हम तीसरी पंक्ति में अग्रणी गुणांक को कम करते हैं.

इस अभिव्यक्ति में बी_n-1= ए_n

4- हम अग्रणी गुणांक b से गुणा करते हैं_n-1 और परिणाम दूसरी पंक्ति में लिखा गया है, लेकिन दाईं ओर एक कॉलम.

5- हम उस कॉलम को जोड़ते हैं जहां हमने पिछले परिणाम को लिखा था और परिणाम हमने उस राशि के नीचे रखा था; अर्थात्, एक ही कॉलम में, तीसरी पंक्ति.

जोड़कर, हम एक परिणाम के रूप में है_n-1+सी * बी_n-1, सुविधा के लिए जिसे हम b कहेंगे_n-2

6- हम पिछले परिणाम से गुणा करते हैं और दूसरी पंक्ति में इसके दाईं ओर परिणाम लिखते हैं.

7- हम चरण 5 और 6 को दोहराते हैं जब तक कि हम गुणांक तक नहीं पहुंच जाते₀.

8- उत्तर लिखें; वह है, भागफल और अवशेष। जैसा कि हम डिग्री 1 के बहुपद के बीच डिग्री n के एक बहुपद के विभाजन को प्रभावित कर रहे हैं, हमारे पास डिग्री n-1 का गंभीर भागफल है.

भागफल बहुपद के गुणांक अंतिम को छोड़कर तीसरी पंक्ति की संख्या होगी, जो अवशिष्ट बहुपद या शेष भाग होगी.

हल किए गए अभ्यास

उदाहरण 1

सिंथेटिक डिवीजन विधि द्वारा निम्नलिखित डिवीजन करें:

(एक्स⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

समाधान

पहले हम लाभांश गुणकों को निम्नानुसार लिखते हैं:

फिर हम बाईं ओर सी लिखते हैं, दूसरी पंक्ति में, विभाजन लाइनों के साथ। इस उदाहरण में c = -1.

हम अग्रणी गुणांक को कम करते हैं (इस मामले में बी_n-1 = 1) और इसे 1 से गुणा करें:

हम आपका परिणाम दूसरी पंक्ति में दाईं ओर लिखते हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

हम दूसरे कॉलम में नंबर जोड़ते हैं:

हम 2 को 1 से गुणा करते हैं और तीसरे कॉलम, दूसरी पंक्ति में परिणाम लिखते हैं:

हम तीसरे कॉलम में जोड़ते हैं:

जब तक हम अंतिम कॉलम तक नहीं पहुँच जाते, तब तक हम समान रूप से आगे बढ़ते हैं:

इस प्रकार, हमारे पास यह है कि प्राप्त अंतिम संख्या शेष भाग है, और शेष संख्याएँ बहुपद के भागफल के गुणांक हैं। यह इस प्रकार लिखा गया है:

यदि हम यह सत्यापित करना चाहते हैं कि परिणाम सही है, तो यह सत्यापित करने के लिए पर्याप्त है कि निम्नलिखित समीकरण पूरा हो गया है:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

इसलिए हम सत्यापित कर सकते हैं कि प्राप्त परिणाम सही है.

उदाहरण 2

सिंथेटिक विभाजन विधि द्वारा बहुपद के अगले भाग का प्रदर्शन करें

(7x³-x + 2): (x + 2)

समाधान

इस मामले में हमारे पास x शब्द है² यह प्रकट नहीं होता है, इसलिए हम 0 को इसके गुणांक के रूप में लिखेंगे। तो, बहुपद 7x जैसा होगा³+0x²-x + 2.

हम उनके गुणांक को एक पंक्ति में लिखते हैं, यह है:

हम दूसरी पंक्ति में बाईं ओर C = -2 का मान लिखते हैं और विभाजन रेखाएँ खींचते हैं.

हम अग्रणी गुणांक बी को कम करते हैं_n-1 = 7 और हम इसे 2 से गुणा करते हैं, इसके परिणाम को दाईं ओर दूसरी पंक्ति में लिखते हैं.

जब तक हम अंतिम अवधि तक नहीं पहुंचते, हम पहले से समझाए गए अनुसार आगे बढ़ते हैं:

इस स्थिति में, शेष r (x) = - 52 है और प्राप्त भाग q (x) = 7x है²-14x + 27.

उदाहरण 3

सिंथेटिक डिवीजन का उपयोग करने का एक और तरीका निम्नलिखित है: मान लें कि हमारे पास डिग्री n का एक बहुपद पी (x) है और हम जानना चाहते हैं कि x = c में इसका मूल्यांकन करते समय क्या मूल्य है.

विभाजन के एल्गोरिथ्म द्वारा हमारे पास यह है कि हम बहुपद P (x) को निम्नलिखित तरीके से लिख सकते हैं:

इस अभिव्यक्ति में q (x) और r (x) क्रमशः भागफल और बाकी हैं। अब, यदि d (x) = x- c, बहुपद में c का मूल्यांकन करते समय हम निम्नलिखित पाते हैं:

इसके लिए हमें केवल r (x) को खोजने की जरूरत है, और यह हम सिंथेटिक डिवीजन के लिए धन्यवाद कर सकते हैं.

उदाहरण के लिए, हमारे पास बहुपद P (x) = x है⁷-9x⁶+19x⁵+12X⁴-3x³+19x²-37x-37 और हम यह जानना चाहते हैं कि x = 5. में इसका मूल्यांकन करते समय इसका मूल्य क्या है। इसके लिए हम सिंथेटिक डिवीजन विधि द्वारा P (x) और d (x) = x -5 के बीच विभाजन को अंजाम देते हैं:

एक बार ऑपरेशन हो जाने के बाद, हम जानते हैं कि हम निम्नलिखित तरीके से P (x) लिख सकते हैं:

P (x) = (x)⁶-4x⁵ -एक्स⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

इसलिए, इसका मूल्यांकन करते समय हमें निम्न करना होगा:

पी (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

पी (5) = 0 + 4253 = 4253

जैसा कि हम देख सकते हैं, एक बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए सिंथेटिक डिवीजन का उपयोग करना संभव है, जब इसे x के साथ केवल c की जगह c से मूल्यांकन किया जाए।. 

अगर हमने पारंपरिक तरीके से पी (5) का मूल्यांकन करने की कोशिश की, तो हमें कुछ गणनाएँ करने की ज़रूरत है जो थकाऊ हो जाएँ.

उदाहरण 4

बहुपद के लिए विभाजन की एल्गोरिथ्म भी जटिल गुणांक वाले बहुपद के लिए पूरी होती है और, परिणामस्वरूप, हमारे पास यह है कि सिंथेटिक विभाजन विधि उक्त बहुपद के लिए भी काम करती है। आगे हम एक उदाहरण देखेंगे.

हम यह दिखाने के लिए सिंथेटिक डिवीजन विधि का उपयोग करेंगे कि z = 1+ 2i बहुपद P (x) = x का एक शून्य है³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); अर्थात, D (x) = x - z के बीच विभाजन P (x) का शेष भाग शून्य के बराबर है.

हम पहले की तरह आगे बढ़ते हैं: पहली पंक्ति में हम P (x) के गुणांक लिखते हैं, फिर दूसरे में हम z लिखते हैं और विभाजन रेखाएँ खींचते हैं।.

हमने पहले की तरह विभाजन बना दिया; यह है:

हम देख सकते हैं कि अवशेष शून्य है; इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि, z = 1+ 2i P (x) का एक शून्य है.

संदर्भ

1. बालदार ऑरेलियो. बीजगणित. पटैरिया संपादकीय समूह.
2. डेमाना, वेट्स, फोली और कैनेडी. प्रीक्लेकुलस: ग्राफ, संख्यात्मक, बीजगणितीय 7 वें एड। पियर्सन एजुकेशन.
3. विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ W & Varserg D. बीजगणित और त्रिकोणमिति फ्लेमिंग। अप्रेंटिस हॉल
4. माइकल सुलिवन. Precalculus 4 एड। पियर्सन शिक्षा.
5. लाल। अरमांडो हे. बीजगणित १ 6 वें एड। एथेनेयम.