असतत संभाव्यता विशेषताओं और व्यायाम के वितरण

असतत संभावना वितरण एक ऐसा कार्य है जो एक्स (एस) = एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्सई, ... के प्रत्येक तत्व को निर्दिष्ट करता है, जहां एक्स एक दिया गया असतत यादृच्छिक चर है और एस इसका नमूना स्थान है, संभावना है कि घटना घटित होगी। X (S) के इस फ़ंक्शन को f (xi) = P (X = xi) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे कभी-कभी संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन कहा जाता है.

प्रायिकता के इस द्रव्यमान को आमतौर पर एक तालिका के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि X एक असतत रैंडम वैरिएबल है, X (S) में घटनाओं की एक सीमित संख्या या एक गणनीय अनन्तता है। सबसे आम असतत संभावना वितरणों में हमारे पास समान वितरण, द्विपद वितरण और पॉइसन वितरण है.

सूची

• 1 लक्षण
• 2 प्रकार
  • 2.1 एन बिंदुओं पर समान वितरण
  • २.२ द्विपद वितरण
  • २.३ पोइज़न वितरण
  • 2.4 हाइपरजोमेट्रिक वितरण
• 3 व्यायाम हल किए
  • 3.1 पहला व्यायाम
  • 3.2 दूसरा व्यायाम
  • ३.३ तीसरा अभ्यास
  • ३.४ तीसरा अभ्यास
• 4 संदर्भ

सुविधाओं

संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना चाहिए:

इसके अलावा, यदि X केवल मानों की एक सीमित संख्या लेता है (उदाहरण के लिए X1, x2, ..., xn), तो p (xi) = 0 यदि i> ny है, तो, हालत b की अनंत श्रृंखला बन जाती है a परिमित श्रृंखला.

यह फ़ंक्शन निम्न गुणों को भी पूरा करता है:

आज्ञा देना बी एक घटना है जो यादृच्छिक चर X से जुड़ी है। इसका मतलब है कि B X (S) में समाहित है। विशेष रूप से, मान लीजिए कि B = xi1, xi2, ...। इसलिए:

दूसरे शब्दों में: एक घटना B की संभावना B के साथ जुड़े व्यक्तिगत परिणामों की संभावनाओं के योग के बराबर है.

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि ए < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

टाइप

N अंक पर समान वितरण

ऐसा कहा जाता है कि एक यादृच्छिक चर X एक वितरण का अनुसरण करता है जो कि n अंक में एक समान होने की विशेषता है यदि प्रत्येक मान को एक ही संभावना सौंपी जाती है। इसकी संभाव्यता द्रव्यमान संख्या है:

मान लीजिए कि हमारे पास एक ऐसा प्रयोग है, जिसके दो संभावित परिणाम हैं, यह एक सिक्के का उछाल हो सकता है, जिसके संभावित परिणाम चेहरे या मोहर हैं, या एक पूरी संख्या का चुनाव जिसका परिणाम सम संख्या या विषम संख्या हो सकती है; इस तरह के प्रयोग को बर्नोली के परीक्षणों के रूप में जाना जाता है.

सामान्य तौर पर, दो संभावित परिणामों को सफलता और विफलता कहा जाता है, जहां p सफलता की संभावना है और 1-p विफलता की। हम n बर्नौली परीक्षणों में x सफलताओं की संभावना निर्धारित कर सकते हैं जो निम्नलिखित वितरण के साथ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं.

द्विपद वितरण

यह वह कार्य है जो n स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में x सफलताओं को प्राप्त करने की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है, जिनकी सफलता की संभावना p है। इसकी संभाव्यता द्रव्यमान संख्या है:

निम्नलिखित ग्राफ द्विपद वितरण के मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए संभाव्यता के कार्य द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है.

निम्नलिखित वितरण का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन पॉइसन (1781-1840) पर है, जिन्होंने इसे द्विपद वितरण की सीमा के रूप में प्राप्त किया।.

पॉसों का वितरण

यह कहा जाता है कि एक यादृच्छिक चर X में पैरामीटर λ का पॉसों वितरण होता है, जब यह सकारात्मक पूर्णांक मानों को 0,1,2,3, ... निम्न संभावना के साथ ले सकता है:

इस अभिव्यक्ति में λ समय की प्रत्येक इकाई के लिए घटना की घटनाओं के लिए औसत संख्या है, और x घटना के घटने की संख्या है.

इसकी संभाव्यता द्रव्यमान संख्या है:

इसके बाद, एक ग्राफ जो पॉइसन वितरण के मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए संभाव्यता द्रव्यमान समारोह का प्रतिनिधित्व करता है.

ध्यान दें, जब तक सफलताओं की संख्या कम है और द्विपद वितरण में किए गए परीक्षणों की संख्या अधिक है, हम इन वितरणों को हमेशा अनुमानित कर सकते हैं, क्योंकि पोइसन वितरण द्विपद वितरण की सीमा है।.

इन दो वितरणों के बीच मुख्य अंतर यह है कि, जबकि द्विपद दो मापदंडों पर निर्भर करता है - अर्थात्, n और p -, पॉइसन केवल λ पर निर्भर करता है, जिसे कभी-कभी वितरण की तीव्रता कहा जाता है.

अब तक हमने केवल उन मामलों के लिए संभाव्यता वितरण की बात की है जिनमें विभिन्न प्रयोग एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं; वह है, जब एक का परिणाम किसी अन्य परिणाम से प्रभावित नहीं होता है.

जब स्वतंत्र नहीं होने वाले प्रयोगों का मामला होता है, तो हाइपरजोमेट्रिक वितरण बहुत उपयोगी होता है.

हाइपरजोमेट्रिक वितरण

आज्ञा देना एक परिमित वस्तुओं की कुल संख्या है, जिनमें से हम किसी भी तरह से k की पहचान कर सकते हैं, एक उपसमूह K का निर्माण करते हैं, जिसका पूरक शेष N-k तत्वों द्वारा बनता है।.

यदि हम बेतरतीब ढंग से n ऑब्जेक्ट चुनते हैं, तो रैंडम वेरिएबल X जो कि चुनाव में K से संबंधित ऑब्जेक्ट्स की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, में N, n और k के पैरामीटर्स का हाइपरजेट्रिक वितरण होता है। इसकी संभाव्यता द्रव्यमान संख्या है:

निम्न ग्राफ हाइपरमेट्रिक वितरण के मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए संभाव्यता के कार्य द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है.

हल किए गए अभ्यास

पहला व्यायाम

मान लीजिए कि एक रेडियो ट्यूब (एक निश्चित प्रकार के उपकरण में डाल) की संभावना 500 घंटे से अधिक के लिए काम करती है 0.2। यदि 20 ट्यूबों का परीक्षण किया जाता है, तो क्या संभावना है कि इनमें से k 500 घंटे, k = 0, 1,2, ... 20 से अधिक काम करेगा।?

समाधान

यदि X उन ट्यूबों की संख्या है जो 500 घंटे से अधिक काम करते हैं, तो हम मान लेंगे कि X में द्विपद वितरण है। तो

और इसलिए:

K For11 के लिए, संभावनाएं 0.001 से कम हैं

इसलिए हम देख सकते हैं कि ये k कैसे 500 घंटे से अधिक काम करते हैं, जब तक कि यह अपने अधिकतम मूल्य (k = 4 के साथ) तक नहीं पहुँच जाता और तब घटने लगता है.

दूसरा व्यायाम

एक सिक्का 6 बार फेंका जाता है। जब परिणाम महंगा होता है, तो हम कहेंगे कि यह एक सफलता है। क्या वास्तव में दो चेहरे सामने आने की संभावना है?

समाधान

इस मामले के लिए हमारे पास n = 6 है और सफलता और असफलता की संभावना p = q = 1/2 है

इसलिए, दो चेहरों की संभावना दी जा रही है (अर्थात k = 2)

तीसरा व्यायाम

कम से कम चार चेहरे खोजने की संभावना क्या है?

समाधान

इस मामले के लिए हमारे पास k = 4, 5 या 6 है

तीसरा व्यायाम

मान लीजिए कि एक कारखाने में उत्पादित लेखों का 2% दोषपूर्ण है। संभावना P को ज्ञात करें कि 100 वस्तुओं के नमूने में तीन दोषपूर्ण आइटम हैं.

समाधान

इस मामले के लिए हम n = 100 और p = 0.02 के लिए द्विपद वितरण को लागू कर सकते हैं, परिणामस्वरूप:

हालाँकि, चूंकि p छोटा है, इसलिए हम λ = np = 2 के साथ पॉइसन अनुमानित का उपयोग करते हैं। इतना,

संदर्भ

1. कै लाई चुंग स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के साथ प्राथमिक क्षमता सिद्धांत। स्प्रिंगर-वर्लग न्यूयॉर्क इंक
2. Kenneth.H। Rosen। असतत गणित और उसके अनुप्रयोग। S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPA .A.
3. पॉल एल मेयर। संभाव्यता और सांख्यिकीय अनुप्रयोग। इंक माक्सिकान अल्हंब्रा.
4. सीमोर लिप्सचुट्ज़ पीएच.डी. 2000 असतत गणित हल समस्याओं। मैकग्रा-हिल.
5. सीमोर लिप्सचुट्ज़ पीएच.डी. सिद्धांत और संभावना की समस्याएं। मैकग्रा-हिल.