सक्सेसफुल डेरिवेटिव्स (सॉल्व्ड एक्सरसाइज के साथ)

 क्रमिक डेरिवेटिव दूसरी व्युत्पन्न के बाद एक फ़ंक्शन का डेरिवेटिव है। क्रमिक व्युत्पन्न की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है: हमारे पास एक फ़ंक्शन च है, जिसे हम व्युत्पन्न कर सकते हैं और इस प्रकार व्युत्पन्न कार्य प्राप्त कर सकते हैं। च के इस व्युत्पन्न के लिए हम इसे फिर से प्राप्त कर सकते हैं, प्राप्त करने (च ')' '.

इस नए फ़ंक्शन को दूसरा व्युत्पन्न कहा जाता है; दूसरे से गणना की गई सभी व्युत्पन्न क्रमिक हैं; इन्हें उच्चतर क्रम भी कहा जाता है, इनमें महान अनुप्रयोग होते हैं, जैसे कि किसी कार्य के ग्राफ की साजिश के बारे में जानकारी देना, रिश्तेदार चरम सीमाओं के लिए दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण और अनंत श्रृंखला का निर्धारण।.

सूची

• 1 परिभाषा
  • १.१ उदाहरण १
  • १.२ उदाहरण २
• 2 गति और त्वरण
  • २.१ उदाहरण १
  • २.२ उदाहरण २
• 3 अनुप्रयोग
  • 3.1 प्रवर्धित व्युत्पन्न
  • ३.२ उदाहरण
  • ३.३ सापेक्ष समाप्त
  • ३.४ उदाहरण
  • 3.5 टेलर श्रृंखला
  • 3.6 उदाहरण
• 4 संदर्भ

परिभाषा

लाइबनिज संकेतन का उपयोग करते हुए, हमारे पास यह है कि एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न "और" के संबंध में "x" डाई या dx है। लिबनीज संकेतन का उपयोग करते हुए "और" के दूसरे व्युत्पन्न को व्यक्त करने के लिए, हम इस प्रकार लिखते हैं:

सामान्य तौर पर, हम लिबनिज संकेतन के साथ क्रमिक डेरिवेटिव को व्यक्त कर सकते हैं, जहां n व्युत्पन्न के क्रम का प्रतिनिधित्व करता है.

उपयोग की जाने वाली अन्य सूचनाएं निम्नलिखित हैं:

कुछ उदाहरण जहां हम विभिन्न संकेतन देख सकते हैं:

उदाहरण 1

द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन च के सभी व्युत्पन्न प्राप्त करें:

सामान्य व्युत्पत्ति तकनीकों का उपयोग करते हुए, हमारे पास यह है कि एफ का व्युत्पन्न है:

प्रक्रिया को दोहराकर हम दूसरी व्युत्पन्न, तीसरी व्युत्पन्न और इसी तरह प्राप्त कर सकते हैं.

ध्यान दें कि चौथा व्युत्पन्न शून्य है और शून्य का व्युत्पन्न शून्य है, इसलिए हमें निम्न करना होगा:

उदाहरण 2

निम्नलिखित फ़ंक्शन के चौथे व्युत्पन्न की गणना करें:

दिए गए फ़ंक्शन को प्राप्त करना हमारे पास परिणाम के रूप में है:

गति और त्वरण

व्युत्पत्ति की खोज के लिए प्रेरित प्रेरणाओं में से एक तात्कालिक वेग की परिभाषा की खोज थी। औपचारिक परिभाषा निम्नलिखित है:

बता दें कि y = f (t) एक ऐसा फंक्शन है जिसका ग्राफ एक क्षण में किसी कण के प्रक्षेपवक्र का वर्णन करता है टी, इसके बाद तत्काल टी में इसकी गति निम्न द्वारा दी गई है:

एक बार एक कण के वेग को प्राप्त करने के बाद, हम तात्कालिक त्वरण की गणना कर सकते हैं, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

एक कण जिसका तात्कालिक त्वरण y = f (t) द्वारा दिया गया है:

उदाहरण 1

स्थिति फ़ंक्शन के अनुसार एक कण एक रेखा पर चलता है:

जहां "y" को मीटर और सेकंड में "t" से मापा जाता है.

- किस गति पर आपकी गति 0 है?

- किस त्वरित पर आपका त्वरण 0 है?

पोजीशन फंक्शन को व्युत्पन्न करते समय "और" हमारे पास है कि क्रमशः इसकी गति और त्वरण दिया गया है:

पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए, यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है कि फ़ंक्शन v शून्य हो जाता है; यह है:

हम निम्नलिखित प्रश्न के अनुरूप हैं:

उदाहरण 2

गति के निम्नलिखित समीकरण के अनुसार एक कण एक रेखा पर चलता है:

निर्धारित करें "t, y" और "v" जब a = 0.

यह जानते हुए कि गति और त्वरण द्वारा दिया जाता है

हम प्राप्त करते हैं और प्राप्त करते हैं:

A = 0 करने से, हमारे पास:

जिससे हम यह मान सकते हैं कि शून्य के बराबर होने के लिए t का मान t = 1 है.

फिर, t = 1 पर स्थिति फ़ंक्शन और वेग फ़ंक्शन का मूल्यांकन करते हुए, हमें निम्न करना होगा:

अनुप्रयोगों

Mplified व्युत्पत्ति

व्युत्पन्न व्युत्पन्न द्वारा भी सफल व्युत्पन्न प्राप्त किया जा सकता है.

उदाहरण

निम्नलिखित दीर्घवृत्त को देखते हुए, "और" खोजें:

X के संबंध में संक्षेप में, हमारे पास है:

फिर, x के संबंध में फिर से व्युत्पन्न करके, यह हमें देता है:

अंत में, हमारे पास है:

सापेक्ष समाप्त होता है

एक अन्य उपयोग जो हम दूसरे ऑर्डर के डेरिवेटिव को दे सकते हैं वह एक फ़ंक्शन के सापेक्ष सिरों की गणना में है.

स्थानीय चरम सीमाओं के लिए पहले व्युत्पन्न की कसौटी हमें बताती है कि, अगर हमारे पास एक कार्य f है जो एक सीमा (a, b) में निरंतर है और एक c मौजूद है जो उस अंतराल से संबंधित है जैसे कि f'is c में लिया गया है (अर्थात, c) एक महत्वपूर्ण बिंदु है), इन तीन मामलों में से एक हो सकता है:

- यदि f (x)> 0 किसी भी x से संबंधित है (a, c) और f '(x) के लिए<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- यदि f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>(X, b) से संबंधित x के लिए, फिर f (c) एक स्थानीय न्यूनतम है.

- यदि f '(x) का साइन इन (a, c) और (c, b) में समान है, तो इसका मतलब है कि f (c) स्थानीय समापन बिंदु नहीं है.

दूसरे व्युत्पन्न की कसौटी का उपयोग करके हम जान सकते हैं कि किसी फ़ंक्शन की महत्वपूर्ण संख्या अधिकतम या स्थानीय न्यूनतम है, यह देखे बिना कि फ़ंक्शन का संकेत उपरोक्त अंतराल में क्या है?.

दूसरी व्युत्पत्ति की कसौटी हमें बताती है कि यदि f (c) = 0 और वह f "(x) निरंतर (a, b) में है, तो ऐसा होता है कि यदि f" (c)> 0 तो f (c) a है स्थानीय न्यूनतम और यदि f "(ग) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

यदि f "(c) = 0, हम कुछ भी निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं.

उदाहरण

फ़ंक्शन को देखते हुए f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², दूसरी व्युत्पन्न की कसौटी को लागू करने के लिए एफ की सापेक्ष मैक्सिमा और मिनिमा खोजें.

पहले हम f '(x) और f "(x) की गणना करते हैं और हमारे पास:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f ”(x) = 12x² + 8x - 8

अब, f '(x) = 0 यदि, और केवल यदि 4x (x + 2) (x - 1) = 0, और यह तब होता है जब x = 0, x = 1 या x = - 2.

यह निर्धारित करने के लिए कि प्राप्त महत्वपूर्ण संख्या सापेक्ष चरम हैं यह f में मूल्यांकन करने के लिए पर्याप्त है ”और इस प्रकार इसके संकेत का निरीक्षण करें.

f "(0) = - 8, इसलिए f (0) एक स्थानीय अधिकतम है.

f "(1) = 12, इसलिए f (1) एक स्थानीय न्यूनतम है.

f "(- 2) = 24, इसलिए f (- 2) एक स्थानीय न्यूनतम है.

टेलर श्रृंखला

चलो एक समारोह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

इस फ़ंक्शन में अभिसरण R> 0 का त्रिज्या है और (-R, R) में सभी आदेशों का व्युत्पन्न है। च के क्रमिक व्युत्पन्न हमें देते हैं:

X = 0 लेते हुए, हम c के मान प्राप्त कर सकते हैं_n इसके डेरिवेटिव के आधार पर निम्नानुसार है:

यदि हम n = 0 को फंक्शन f (अर्थात, f ^ 0 = f) के रूप में लेते हैं, तो हम फंक्शन को फिर से लिख सकते हैं:

अब फ़ंक्शन को x = a में शक्तियों की एक श्रृंखला के रूप में देखें:

यदि हम पिछले एक के अनुरूप विश्लेषण करते हैं, तो हमें फ़ंक्शन f को लिखना होगा:

इन श्रृंखलाओं को ए में एफ की टेलर श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। जब एक = 0 हमारे पास विशेष मामला होता है जिसे मैक्लॉरिन श्रृंखला कहा जाता है। इस प्रकार की श्रृंखला विशेष रूप से संख्यात्मक विश्लेषण में बहुत गणितीय महत्व की है, क्योंकि इनकी बदौलत हम कंप्यूटर जैसे कार्यों को परिभाषित कर सकते हैं^एक्स , पाप (x) और कॉस (x).

उदाहरण

ई के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला प्राप्त करें^एक्स.

ध्यान दें कि यदि f (x) = e^एक्स, फिर एफ^(एन)(x) = ई^एक्स और च^(एन)(0) = 1, यही कारण है कि उसकी मैकलेरिन श्रृंखला है:

संदर्भ

1. फ्रैंक आयरेस, जे।, और मेंडेल्सन, ई। (S.f.). 5ed गणना. मैक ग्रे हिल.
2. लीथोल्ड, एल। (1992). विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ गणना. हरला, एस.ए..
3. परसेल, ई। जे।, वरबर्ग, डी।, और रिग्डन, एस। ई। (2007). गणना. मेक्सिको: पियर्सन एजुकेशन.
4. साएंज़, जे। (2005). अंतर गणना. कर्ण.
5. साएंज़, जे। (S.f.). व्यापक गणना. कर्ण.