बीजीय व्युत्पन्न (उदाहरण के साथ)

बीजगणितीय व्युत्पन्न वे बीजीय कार्यों के विशेष मामले में व्युत्पन्न के अध्ययन में शामिल हैं। व्युत्पत्ति की धारणा की उत्पत्ति प्राचीन ग्रीस में वापस जाती है। इस धारणा का विकास दो महत्वपूर्ण समस्याओं को हल करने की आवश्यकता से प्रेरित था, एक भौतिकी में और दूसरा गणित में.

भौतिकी में, व्युत्पन्न चलती वस्तु के तात्कालिक वेग को निर्धारित करने की समस्या को हल करता है। गणित में, आप किसी दिए गए बिंदु पर वक्र तक स्पर्शरेखा रेखा पा सकते हैं.

यद्यपि वास्तव में कई और समस्याएं हैं जो व्युत्पन्न का उपयोग करके हल की गई हैं, साथ ही इसके सामान्यीकरण, इसके अवधारणा की शुरुआत के बाद आए परिणाम.

अंतर पथरी के अग्रदूत न्यूटन और लाइबनिज हैं। औपचारिक परिभाषा देने से पहले, हम गणितीय और भौतिक दृष्टिकोण से पीछे विचार विकसित करेंगे.

सूची

• 1 एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा के ढलान के रूप में व्युत्पन्न
• 2 किसी गतिशील वस्तु के तात्कालिक वेग के रूप में व्युत्पन्न
  • 2.1 बीजीय कार्य
• 3 व्युत्पत्ति नियम
  • 3.1 एक स्थिरांक से व्युत्पन्न
  • 3.2 एक शक्ति का व्युत्पन्न
  • 3.3 इसके अलावा और घटाव से व्युत्पन्न
  • 3.4 किसी उत्पाद का व्युत्पन्न
  • 3.5 एक भागफल से व्युत्पन्न
  • 3.6 श्रृंखला का नियम
• 4 संदर्भ

वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा के ढलान के रूप में व्युत्पन्न

मान लीजिए कि एक फंक्शन y = f (x) का ग्राफ एक निरंतर ग्राफ है (बिना चोटियों या कोने या जुदाई के), और A = (a, f (a)) इस पर एक निश्चित बिंदु है। हम बिंदु A पर फ़ंक्शन f के ग्राफ पर स्पर्शरेखा रेखा के समीकरण को खोजना चाहते हैं.

ग्राफ के किसी भी अन्य बिंदु P = (x, f (x)) को बिंदु A के करीब ले जाएं, और A और P से गुजरने वाली secant line को खींचें। एक secant line वह रेखा है जो एक वक्र के ग्राफ को काटती है या अधिक अंक.

हम चाहते हैं कि स्पर्शरेखा रेखा प्राप्त करने के लिए, हमें केवल ढलान की गणना करने की आवश्यकता है क्योंकि हमारे पास पहले से ही लाइन पर एक बिंदु है: बिंदु A.

यदि हम ग्राफ के साथ बिंदु P को स्थानांतरित करते हैं और इसे बिंदु A के करीब और करीब लाते हैं, तो उपर्युक्त सेकंड लाइन उस स्पर्शरेखा रेखा के पास जाएगी, जिसे हम खोजना चाहते हैं। सीमा लेते समय जब "P A को झुकता है", दोनों रेखाएँ मेल खाती हैं, इसलिए इसकी ढलान भी.

सेकंड लाइन की ढलान किसके द्वारा दी गई है

यह कहने के लिए कि P दृष्टिकोण A, यह कहने के बराबर है कि "x" दृष्टिकोण "a"। इस प्रकार, बिंदु A पर f के ग्राफ पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान, बराबर होगा:

उपरोक्त अभिव्यक्ति को f '(a) द्वारा निरूपित किया गया है, और इसे "a" बिंदु पर फ़ंक्शन f के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है। हम देखते हैं कि विश्लेषणात्मक रूप से, एक बिंदु में एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक सीमा है, लेकिन ज्यामितीय रूप से, यह बिंदु में फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए रेखा स्पर्शरेखा का ढलान है.

अब हम इस धारणा को भौतिकी के दृष्टिकोण से देखेंगे। हम पिछली सीमा की एक ही अभिव्यक्ति पर पहुंचेंगे, हालांकि एक अलग तरीके से, परिभाषा की एकमत प्राप्त करना.

गतिमान वस्तु के तात्कालिक वेग के रूप में व्युत्पन्न

आइए एक संक्षिप्त उदाहरण देखें कि त्वरित गति का क्या अर्थ है। जब यह कहा जाता है, उदाहरण के लिए, एक गंतव्य तक पहुंचने के लिए एक कार ने 100 किमी प्रति घंटे की गति के साथ ऐसा किया, जिसका अर्थ है कि एक घंटे में यह 100 किमी की यात्रा करता है.

यह जरूरी नहीं है कि पूरे घंटे के दौरान कार हमेशा 100 किमी दूर थी, कार के स्पीडोमीटर कुछ क्षणों में कम या अधिक हो सकते हैं। यदि उसे ट्रैफिक लाइट पर रुकने की आवश्यकता होती, तो उस समय गति 0 किमी थी। हालांकि, एक घंटे के बाद, मार्ग 100 किमी था.

यह वह है जिसे औसत गति के रूप में जाना जाता है और बीते समय के बीच की दूरी के भागफल के द्वारा दिया जाता है, जैसा कि हमने अभी देखा है। तात्कालिक गति, दूसरी ओर, वह है जो कार के स्पीडोमीटर की सुई को तात्कालिक (समय) में निर्धारित करती है.

आइए इसे अब और अधिक सामान्य रूप से देखें। मान लीजिए कि एक वस्तु एक रेखा के साथ चलती है और यह विस्थापन समीकरण s = f (t) के माध्यम से दर्शाया जाता है, जहाँ चर t उपाय समय और चर s विस्थापन को दर्शाता है, इसकी शुरुआत को ध्यान में रखते हुए। तत्काल टी = 0, जिस समय यह शून्य भी है, अर्थात, एफ (0) = 0.

यह फ़ंक्शन f (t) एक स्थिति फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है.

एक निश्चित तात्कालिक "ए" पर वस्तु के तात्कालिक वेग के लिए एक अभिव्यक्ति मांगी जाती है। इस गति से हम इसे V (a) से निरूपित करेंगे।.

आज्ञा देना किसी भी करीब तत्काल "एक"। "A" और "t" के बीच के समय के अंतराल में, स्थिति का परिवर्तन f (t) -f (a) द्वारा दिया जाता है।.

इस समय अंतराल में औसत गति है:

जो तात्कालिक वेग V (a) का एक अनुमान है। यह सन्निकटन बेहतर होगा क्योंकि t "a" के करीब जाता है। इसलिये,

निरीक्षण करें कि यह अभिव्यक्ति पिछले मामले में प्राप्त की गई समान है, लेकिन एक अलग दृष्टिकोण से। यह वह है जो एक बिंदु "एफ" पर एक फ़ंक्शन एफ के व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है और इसे एफ '(ए) द्वारा दर्शाया गया है, जैसा कि ऊपर कहा गया है।.

ध्यान दें कि परिवर्तन को h = x-a बनाने के बाद, हमारे पास यह है कि जब "x" "a", "h" से 0 पर जाता है, और पिछली सीमा रूपांतरित हो जाती है (समतुल्य):

दोनों अभिव्यक्तियाँ समान हैं लेकिन कभी-कभी मामले के आधार पर एक के बजाय एक का उपयोग करना बेहतर होता है.

किसी फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न तब किसी भी बिंदु पर अधिक सामान्यतः परिभाषित किया जाता है "x" जो उसके डोमेन से संबंधित है

एक फ़ंक्शन y = f (x) के व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे सामान्य संकेतन वह है जिसे हमने अभी देखा है (f 'o और')। हालाँकि, एक और व्यापक रूप से प्रयुक्त संकेतन Leibniz संकेतन है जिसे निम्न में से किसी भी अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया गया है:

इस तथ्य को देखते हुए कि व्युत्पन्न अनिवार्य रूप से एक सीमा है, यह अस्तित्व में हो सकता है या नहीं भी हो सकता है, क्योंकि सीमा हमेशा मौजूद नहीं होती है। यदि यह मौजूद है, तो यह कहा जाता है कि विचाराधीन फ़ंक्शन दिए गए बिंदु पर भिन्न होता है.

बीजगणितीय कार्य

एक बीजगणितीय कार्य बहुरूपताओं, घटाव, उत्पादों, उद्धरणों, शक्तियों और आवृत्तियों के माध्यम से बहुपदों का एक संयोजन है.

बहुपद रूप की अभिव्यक्ति है

पी_n= ए_nएक्सⁿ+ को_n-1एक्स^n-1+ को_n-2एक्स^n-2+... + क₂एक्स²+ को₁x + ए₀

जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है और सभी a_मैं, i = 0,1, ..., n के साथ, परिमेय संख्या और a हैं_n≠ 0 इस मामले में यह कहा जाता है कि इस बहुपद की डिग्री n है.

निम्नलिखित बीजीय कार्यों के उदाहरण हैं:

यहाँ घातीय, लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्य शामिल नहीं हैं। व्युत्पत्ति के नियम जो हम नीचे देखेंगे, वे सामान्य रूप से कार्यों के लिए मान्य हैं, लेकिन हम खुद को प्रतिबंधित करेंगे और बीजीय कार्यों के मामले में लागू करेंगे.

बाईपास के नियम

एक स्थिर से व्युत्पन्न

यह स्थापित करता है कि एक स्थिर का व्युत्पन्न शून्य है। अर्थात्, यदि f (x) = c, तो f '(x) = 0। उदाहरण के लिए, स्थिर फ़ंक्शन 2 का व्युत्पन्न 0 के बराबर है.

एक शक्ति से व्युत्पन्न

यिद च (x) = xⁿ, फिर f '(x) = nx^n-1. उदाहरण के लिए, x का व्युत्पन्न³ यह 3x है². इसके परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं कि पहचान फ़ंक्शन का व्युत्पन्न f (x) = x f है '(x) = 1x^1-1= एक्स⁰= 1.

एक अन्य उदाहरण निम्नलिखित है: f (x) = 1 / x², फिर एफ (एक्स) = एक्स^-2 और f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

यह संपत्ति भी मान्य जड़ें हैं, क्योंकि जड़ें तर्कसंगत शक्तियां हैं और आप उस स्थिति में भी उपरोक्त आवेदन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक वर्गमूल के व्युत्पन्न द्वारा दिया जाता है

एक राशि और एक घटाव से व्युत्पन्न

यदि x में f और g अलग-अलग कार्य हैं, तो f + g भी भिन्न है और वह (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x) है.

अनुरूप रूप से, हमारे पास (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x) है। दूसरे शब्दों में, एक योग (घटाव) का व्युत्पन्न, व्युत्पत्ति का योग (या घटाव) होता है.

उदाहरण

यदि h (x) = x²+x-1, तब

h '(x) = (x)²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

एक उत्पाद से व्युत्पन्न

यदि x में f और g अलग-अलग कार्य हैं, तो x में उत्पाद fg भी भिन्न होता है और इसे पूरा किया जाता है

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

परिणाम के रूप में हमारे पास है कि यदि c एक स्थिर है और f, x में एक अलग कार्य है, तो cf भी x और (cf) '(x) = cf' (X) में भिन्न है।.

उदाहरण

यदि f (x) = 3x (x)²+1), फिर

f '(x) = (3x)' (x)²+1) + (3x) (x)²+1) '= 3 (x)' (x)²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x)²+1) + 3x [(2x)^2-1) +0] = 3 (x)²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

एक भागफल से व्युत्पन्न

यदि x और g (x) then 0 में f और g अलग-अलग हैं, तो f / g, x में भी भिन्न है, और यह सच है कि

उदाहरण: अगर h (x) = x³/ (x)²-5x), तब

h '(x) = [(x)³) '(एक्स⁵-5x) - (x)³) (x)⁵-5x) '] / (x)⁵-5x)²= [(3x)²) (x)⁵-5x) - (x)³) (5x⁴-5)] / (x)⁵-5x)².

चैन नियम

यह नियम कार्यों की संरचना की व्युत्पत्ति की अनुमति देता है। यह निम्नलिखित को स्थापित करता है: यदि y = f (u) u में भिन्न है, x में y = g (x) भिन्न है, तो यौगिक फ़ंक्शन f (g (x)) x में भिन्न है, और यह संतुष्ट है कि [f () g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

यही है, एक समग्र कार्य का व्युत्पन्न आंतरिक कार्य (आंतरिक व्युत्पन्न) के व्युत्पन्न द्वारा बाहरी फ़ंक्शन (बाहरी व्युत्पन्न) के व्युत्पन्न का उत्पाद है।.

उदाहरण

यदि f (x) = (x)⁴-2x)³, तो

f '(x) = 3 (x)⁴-2x)²(एक्स⁴-2x) '= 3 (x)⁴-2x)²(4x³-2).

किसी फ़ंक्शन के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए परिणाम भी हैं, साथ ही साथ उच्च आदेश व्युत्पन्न के सामान्यीकरण भी हैं। आवेदन व्यापक हैं। उनमें से वे अनुकूलन और अधिकतम और न्यूनतम कार्यों की समस्याओं में अपनी उपयोगिताओं को उजागर करते हैं.

संदर्भ

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