परिवर्तित लाप्लास परिभाषा, इतिहास, इसके लिए क्या है, गुण

लाप्लास से बदल दिया अन्य वैज्ञानिक क्षेत्रों में इंजीनियरिंग, गणित, भौतिक विज्ञान के अध्ययन में हाल के वर्षों में बहुत महत्व रहा है, साथ ही साथ सैद्धांतिक में बहुत रुचि होने के कारण, विज्ञान और इंजीनियरिंग से आने वाली समस्याओं को हल करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है.

मूलतः लैप्लस परिवर्तन को पियरे-साइमन लाप्लास ने प्रायिकता के सिद्धांत पर अपने अध्ययन में प्रस्तुत किया था और शुरू में इसे केवल सैद्धांतिक रुचि के गणितीय उद्देश्य के रूप में माना गया था।.

वर्तमान अनुप्रयोग तब उत्पन्न होते हैं जब विभिन्न गणितज्ञों ने विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत के समीकरणों के अध्ययन में हीविसाइड द्वारा उपयोग किए जाने वाले "परिचालन नियमों" को एक औपचारिक औचित्य देने की कोशिश की।.

सूची

• 1 परिभाषा
  • 1.1 उदाहरण
  • 1.2 प्रमेय (अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति)
  • 1.3 कुछ बुनियादी कार्यों के लाप्लास परिवर्तन
• 2 इतिहास
  • 2.1 1782, लाप्लास
  • २.२ ओलिवर हीविसाइड
• 3 गुण
  • 3.1 रैखिकता
  • 3.2 पहला अनुवाद प्रमेय
  • 3.3 दूसरा अनुवाद प्रमेय
  • ३.४ पैमाने बदलें
  • व्युत्पन्न के लाप्लास के 3.5 रैंसफॉर्मेशन
  • 3.6 इंटीग्रल का लाप्लास रूपांतरण
  • 3.7 tn से गुणा
  • 3.8 डिवीजन द्वारा टी
  • 3.9 आवधिक कार्य
  • जब एफ अनंत हो जाता है तो 3.10 व्यवहार एफ (एस) का
• 4 उलटा रूपांतर
  • ४.१ व्यायाम करें
• लाप्लास के 5 अनुप्रयोग रूपांतरित करते हैं
  • 5.1 विभेदक समीकरण
  • 5.2 अंतर समीकरणों की प्रणाली
  • 5.3 यांत्रिकी और विद्युत सर्किट
• 6 संदर्भ

परिभाषा

चलो t ≥ 0. के लिए एक फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है। लाप्लास परिवर्तन को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

यह कहा जाता है कि पिछले इंटीग्रल अभिसरण होने पर लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म मौजूद है, अन्यथा यह कहा जाता है कि लैप्लस ट्रांसफ़ॉर्म मौजूद नहीं है.

सामान्य तौर पर, उस फ़ंक्शन को निरूपित करने के लिए जिसे कोई रूपांतरित करना चाहता है, लोअरकेस अक्षर का उपयोग किया जाता है और अपरकेस अक्षर इसके परिवर्तन से मेल खाता है। इस तरह से हमारे पास होगा:

उदाहरण

निरंतर फ़ंक्शन पर विचार करें f (t) = 1. हमारे पास यह है कि इसका परिवर्तन है:

जब भी अभिन्न अभिसरण करता है, तो वह हमेशा प्रदान किया जाता है कि s> 0. अन्यथा, s < 0, la integral diverge.

जी (टी) = टी। आपका लाप्लास परिवर्तन द्वारा दिया गया है

भागों द्वारा एकीकृत करके और यह जानकर कि आप^{-सेंट} यह 0 तक जाता है जब t अनंत और s> 0 पर जाता है, साथ में पिछले उदाहरण जो हमारे पास हैं:

परिवर्तन मौजूद हो सकता है या नहीं हो सकता है, उदाहरण के लिए फ़ंक्शन f (t) = 1 / t अभिन्न अंग जो इसके लाप्लास रूपांतरण को परिभाषित करता है, अभिसरण नहीं करता है और इसलिए इसका परिवर्तन मौजूद नहीं है.

यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त परिस्थितियां कि फ़ंक्शन f का लैप्लस परिवर्तन मौजूद है, यह है कि f t ≥ 0 के लिए भागों में निरंतर है और घातीय क्रम का है.

ऐसा कहा जाता है कि एक फ़ंक्शन t when 0 के लिए भागों में निरंतर होता है, जब किसी भी अंतराल [a, b] के लिए a> 0 के साथ, अंक t की एक परिमित संख्या होती है_{कश्मीर,} जहां एफ में असंतोष है और प्रत्येक उप-केंद्र [टी में निरंतर है_K-1,टी_{कश्मीर}].

दूसरी ओर, यह कहा जाता है कि एक कार्य घातीय क्रम c का है यदि वास्तविक स्थिरांक M> 0, c और T> 0 ऐसे हैं:

उदाहरण के रूप में हमारे पास f (t) = t है² घातीय क्रम का है, जब से | t |²| < e^3t सभी t> 0 के लिए.

एक औपचारिक तरीके से हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय हैं

प्रमेय (अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति)

यदि f, t> 0 और घातांक क्रम c के लिए प्रति भाग एक निरंतर कार्य है, तो s> c के लिए लाप्लास परिवर्तन है.

यह उजागर करना महत्वपूर्ण है कि यह पर्याप्तता की स्थिति है, अर्थात, यह मामला हो सकता है कि एक फ़ंक्शन है जो इन शर्तों को पूरा नहीं करता है और तब भी इसका लैप्लस परिवर्तन मौजूद है.

इसका एक उदाहरण फ़ंक्शन f (t) = t है^-1/2 यह ≥ 0 के लिए भागों में निरंतर नहीं है, लेकिन इसके लाप्लास परिवर्तन मौजूद हैं.

कुछ बुनियादी कार्यों का लाप्लास रूपांतरण

निम्न तालिका सबसे आम कार्यों के लाप्लास परिवर्तनों को दिखाती है.

इतिहास

द लैप्लस का नाम बदलकर पियरे-साइमन लाप्लास, गणितज्ञ और फ्रांसीसी सैद्धांतिक खगोलशास्त्री के रूप में हुआ, जिनका जन्म 1749 में हुआ था और 1827 में उनका निधन हो गया। उनकी प्रसिद्धि ऐसी थी कि उन्हें फ्रांस के न्यूटन के नाम से जाना जाता था।.

1744 में लियोनार्ड यूलर ने अपनी पढ़ाई को अभिन्न रूप के साथ समर्पित कर दिया

साधारण अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में, लेकिन जल्दी से इस जांच को छोड़ दिया। बाद में, जोसेफ लुई लाग्रेंज, जिन्होंने यूलर की बहुत प्रशंसा की, ने भी इस प्रकार के अभिन्नताओं की जांच की और उन्हें संभाव्यता के सिद्धांत से संबंधित किया।.

1782, लाप्लास

1782 में लैप्लस ने इन इंटीग्रल्स का अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में अध्ययन करना शुरू किया और इतिहासकारों के अनुसार, 1785 में उन्होंने इस समस्या का सुधार करने का फैसला किया, जिसने बाद में लैपल्स को जन्म दिया, जैसा कि आज समझा जाता है.

संभावना सिद्धांत के क्षेत्र में पेश किए जाने के बाद, यह उस समय के वैज्ञानिकों के लिए बहुत कम रुचि थी और केवल सैद्धांतिक हित के गणितीय उद्देश्य के रूप में देखा गया था.

ओलिवर हीविसाइड

यह उन्नीसवीं सदी के मध्य में था जब अंग्रेजी इंजीनियर ओलिवर हीविसाइड ने पाया कि विभेदक संचालकों को बीजगणितीय चर के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार लैप्लस के रूप में उनका आधुनिक अनुप्रयोग बदल जाता है.

ओलिवर हैविसाइड एक अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, इलेक्ट्रिकल इंजीनियर और गणितज्ञ थे, जिनका जन्म 1850 में लंदन में हुआ था और 1925 में उनकी मृत्यु हो गई। कंपन के सिद्धांत पर लागू अंतर समीकरणों की समस्याओं को हल करने की कोशिश करते हुए और लाप्लास के अध्ययन का उपयोग करते हुए, उन्होंने आकार देना शुरू किया। लाप्लास के आधुनिक अनुप्रयोग रूपांतरित होते हैं.

हीविसाइड द्वारा प्रदर्शित परिणाम उस समय के पूरे वैज्ञानिक समुदाय में तेजी से फैल गए, लेकिन जैसा कि इसका काम कठोर नहीं था, यह जल्दी से अधिक पारंपरिक गणितज्ञों द्वारा आलोचना की गई थी.

हालांकि, भौतिकी समीकरणों को हल करने में हीविसाइड के काम की उपयोगिता ने भौतिकविदों और इंजीनियरों के साथ अपने तरीकों को लोकप्रिय बना दिया.

इन असफलताओं के बावजूद और कुछ दशकों के असफल प्रयासों के बाद, 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में हीविसाइड द्वारा दिए गए परिचालन नियमों का कठोर औचित्य दिया जा सकता था।.

इन प्रयासों ने ब्रोमविच, कार्सन, वैन डेर पोल जैसे विभिन्न गणितज्ञों के प्रयासों के लिए धन्यवाद दिया।.

गुण

लाप्लास परिवर्तन के गुणों में, निम्नलिखित बाहर खड़े हैं:

linearity

C1 और c2 को स्थिरांक और f (t) और g (t) कार्य कहते हैं जिनके लैप्लस रूपांतरण क्रमशः F (s) और G (s) हैं, तो हमें निम्न करना है:

इस संपत्ति के कारण यह कहा जाता है कि लाप्लास परिवर्तन एक रैखिक ऑपरेटर है.

उदाहरण

पहला अनुवाद प्रमेय

यदि ऐसा होता है कि:

और 'क' वास्तविक संख्या है, फिर:

उदाहरण

कॉस के लाप्लास रूपांतरण के रूप में (2t) = s / (s ^ 2 + 4) तब:

दूसरा अनुवाद प्रमेय

अगर

तो

उदाहरण

यदि f (t) = t ^ 3, तो F (s) = 6 / s ^ 4। और इसलिए, का परिवर्तन

है G (s) = 6e^-2s/ s ^ 4

पैमाने का परिवर्तन

अगर

और 'ए' एक गैर-शून्य वास्तविक है, हमें करना है

उदाहरण

च के परिवर्तन के बाद से (t) = sin (t) F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) होना है

व्युत्पन्न के लाप्लास की फिरौती

यदि एफ, एफ ', एफ ", ..., एफ^(एन) t and 0 के लिए निरंतर हैं और घातीय क्रम और f के हैं^(एन)(t) t) 0 के लिए भागों में निरंतर है, फिर

अभिन्न का लाप्लास रूपांतरण

अगर

तो

टी से गुणाⁿ

अगर हमें करना है

तो

टी द्वारा विभाजन

अगर हमें करना है

तो

आवधिक कार्य

चलो अवधि के साथ एक आवधिक कार्य हो सकता है T> 0, अर्थात, f (t + T) = f (t), फिर

F का व्यवहार (s) जब अनंत को जाता है

यदि एफ भागों में और घातीय क्रम में निरंतर है और

तो

उलटा रूपांतर

जब हम एक फ़ंक्शन f (t) में लाप्लास रूपांतरण को लागू करते हैं, तो हम F (s) प्राप्त करते हैं, जो उस परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। उसी तरह हम कह सकते हैं कि f (t) F (s) का उलटा लाप्लास रूपांतरण है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है

हम जानते हैं कि लाप्लास एफ (टी) = १ और जी (टी) = टी एफ (एस) = १ / एस और जी (एस) = १ / एस के रूपांतरण हैं² क्रमशः, इसलिए हमें करना है

कुछ सामान्य उलटा लाप्लास रूपांतर इस प्रकार हैं

इसके अलावा, उलटा लाप्लास परिवर्तन रैखिक है, अर्थात यह पूरा हो गया है

व्यायाम

खोज

इस अभ्यास को हल करने के लिए, हमें पिछली तालिका में से एक के साथ फ़ंक्शन F (s) का मिलान करना होगा। इस स्थिति में, यदि हम n + 1 = 5 लेते हैं और व्युत्क्रम परिवर्तन की रैखिकता गुण का उपयोग करते हैं, तो हम 4 से गुणा और विभाजित करते हैं! हो रही

दूसरे व्युत्क्रम परिवर्तन के लिए हम फ़ंक्शन F (s) को फिर से लिखने के लिए आंशिक अंश लागू करते हैं और फिर रैखिकता की संपत्ति प्राप्त करते हैं

जैसा कि हम इन उदाहरणों से देख सकते हैं कि यह सामान्य है कि मूल्यांकन किया जाने वाला फ़ंक्शन F (s) तालिका में दिए गए किसी भी कार्य से बिल्कुल सहमत नहीं है। इन मामलों के लिए, जैसा कि यह देखा गया है, उचित रूप तक पहुंचने तक फ़ंक्शन को फिर से लिखना पर्याप्त है.

लाप्लास परिवर्तन के अनुप्रयोग

विभेदक समीकरण

लाप्लास परिवर्तनों का मुख्य अनुप्रयोग अंतर समीकरणों को हल करना है.

व्युत्पन्न के परिवर्तन की संपत्ति का उपयोग करना यह स्पष्ट है कि

और n-1 डेरिवेटिव का मूल्यांकन t = 0 पर किया गया.

यह गुण प्रारंभिक मान समस्याओं को हल करने के लिए परिवर्तन को बहुत उपयोगी बनाता है जहां निरंतर गुणांक वाले अंतर समीकरण शामिल होते हैं.

निम्नलिखित उदाहरण बताते हैं कि अंतर समीकरणों को हल करने के लिए लाप्लास परिवर्तन का उपयोग कैसे करें.

उदाहरण 1

निम्नलिखित प्रारंभिक मूल्य समस्या को देखते हुए

समाधान खोजने के लिए लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करें.

हम अंतर समीकरण के प्रत्येक सदस्य के लिए लाप्लास परिवर्तन लागू करते हैं

एक व्युत्पन्न के परिवर्तन की संपत्ति के लिए हमारे पास है

सभी अभिव्यक्ति और समाशोधन विकसित करके और हमें छोड़ दिया गया है

हमारे द्वारा प्राप्त समीकरण के दाईं ओर फिर से लिखने के लिए आंशिक अंशों का उपयोग करना

अंत में, हमारा लक्ष्य एक फ़ंक्शन y (t) खोजना है जो अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है। उलटा लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करने से हमें परिणाम मिलता है

उदाहरण 2

का समाधान

पिछले मामले की तरह, हम समीकरण के दोनों किनारों पर परिवर्तन लागू करते हैं और अवधि के अनुसार अलग-अलग शब्द.

इस तरह हमारे पास परिणाम है

दिए गए प्रारंभिक मूल्यों के साथ प्रतिस्थापन और Y को समाशोधन करना

सरल अंशों का उपयोग करके हम समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिख सकते हैं

और लाप्लास के व्युत्क्रम को लागू करने से हमें परिणाम मिलता है

इन उदाहरणों में एक गलत निष्कर्ष पर पहुंच सकता है कि यह विधि अंतर समीकरणों को हल करने के लिए पारंपरिक तरीकों से बहुत बेहतर नहीं है.

लाप्लास परिवर्तन द्वारा दिए गए लाभ यह हैं कि पैरामीटर भिन्नता का उपयोग करना आवश्यक नहीं है या अनिश्चित गुणांक विधि के विभिन्न मामलों के बारे में चिंता करना आवश्यक है।.

इस पद्धति द्वारा प्रारंभिक मूल्य की समस्याओं को हल करने के अलावा, शुरुआत से ही हम प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हैं, इसलिए विशेष समाधान खोजने के लिए अन्य गणना करना आवश्यक नहीं है.

विभेदक समीकरण प्रणाली

लाप्लास परिवर्तन का उपयोग एक साथ साधारण अंतर समीकरणों के समाधान खोजने के लिए भी किया जा सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है.

उदाहरण

का समाधान

प्रारंभिक स्थितियों के साथ x (0) = 8 e और (0) = 3.

अगर हमें करना है

तो

हम में संकल्प परिणाम

और लाप्लास व्युत्क्रम रूपांतर को लागू करते समय हमारे पास है

यांत्रिकी और विद्युत सर्किट

भौतिकी में लाप्लास परिवर्तन का बहुत महत्व है, मुख्य रूप से मैकेनिकल और इलेक्ट्रिकल सर्किट के लिए अनुप्रयोग हैं.

एक साधारण विद्युत परिपथ निम्नलिखित तत्वों से बना होता है

एक स्विच, एक बैटरी या स्रोत, एक प्रारंभ करनेवाला, एक रोकनेवाला और एक संधारित्र। जब स्विच बंद होता है तो एक विद्युत प्रवाह उत्पन्न होता है जिसे i (t) द्वारा निरूपित किया जाता है। संधारित्र प्रभार को q (t) द्वारा निरूपित किया जाता है.

किर्छॉफ के दूसरे नियम द्वारा, स्रोत E द्वारा बंद सर्किट में उत्पादित वोल्टेज को वोल्टेज की प्रत्येक बूंद के योग के बराबर होना चाहिए.

विद्युत धारा i (t) संधारित्र में i = dq / dt द्वारा चार्ज q (t) से संबंधित है। दूसरी ओर, वोल्टेज ड्रॉप प्रत्येक तत्व में निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

एक रोकनेवाला में वोल्टेज ड्रॉप iR = R (dq / dt) है

एक प्रारंभ करनेवाला में वोल्टेज ड्रॉप L (di / dt) = L (d) है²q / dt²)

संधारित्र में वोल्टेज ड्रॉप q / C है

इस डेटा के साथ और दूसरे किरचॉफ कानून को बंद सरल सर्किट पर लागू करने के साथ, एक दूसरा आदेश अंतर समीकरण प्राप्त होता है जो सिस्टम का वर्णन करता है और हमें q (टी) के मूल्य को निर्धारित करने की अनुमति देता है।.

उदाहरण

एक प्रारंभ करनेवाला, एक संधारित्र और एक रोकनेवाला एक बैटरी ई से जुड़ा हुआ है, जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है। प्रारंभ करनेवाला 2 हेनरीज़ का होता है, जो 0.02 फ़ार्स के संधारित्र और 16 ओणम का प्रतिरोध करता है। समय t = 0 पर सर्किट बंद है। किसी भी समय लोड और वर्तमान का पता लगाएं t> 0 यदि E = 300 वोल्ट.

हमारे पास है कि इस सर्किट का वर्णन करने वाला विभेदक समीकरण निम्नलिखित है

जहाँ प्रारंभिक शर्तें q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0) हैं.

लाप्लास परिवर्तन को लागू करने से हमें वह मिलता है

और समाशोधन Q (t)

फिर, व्युत्क्रम लाप्लास को लागू करने से हमारे पास परिवर्तन होता है

संदर्भ

1. जी। होलब्रुक, जे। (1987). इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरों के लिए लाप्लास रूपांतरण. Limusa.
2. रुइज़, एल। एम।, और हर्नांडेज़, एम। पी। (2006). विभेदक समीकरण और लाप्लास अनुप्रयोगों के साथ बदल जाते हैं. संपादकीय यूपीवी.
3. सीमन्स, जी। एफ। (1993). अनुप्रयोगों और ऐतिहासिक नोटों के साथ विभेदक समीकरण. मैकग्रा-हिल.
4. स्पीगेल, एम। आर। (1991). लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म. मैकग्रा-हिल.
5. ज़िल, डी। जी।, और कुलेन, एम। आर। (2008). सीमा पर मूल्यों की समस्याओं के साथ विभेदक समीकरण. सेंगेज लर्निंग एडिटर्स, एस.ए..