बेयस प्रमेय स्पष्टीकरण, अनुप्रयोग, अभ्यास

बेयस प्रमेय एक ऐसी प्रक्रिया है जो हमें किसी घटना B की संभाव्यता वितरण और केवल A की संभाव्यता वितरण के संदर्भ में, किसी दिए गए B की सशर्त संभाव्यता को व्यक्त करने की अनुमति देती है।.

यह प्रमेय बहुत उपयोगी है, क्योंकि इसके लिए हम इस संभावना को संबंधित कर सकते हैं कि एक घटना A जो कि B को जानने के बाद घटित होती है, इस संभावना के साथ कि विपरीत होती है, अर्थात B, A को देता है।.

बेयस का प्रमेय रेवरेंड थॉमस बेयस द्वारा अठारहवीं शताब्दी के अंग्रेजी धर्मशास्त्री के रूप में एक चांदी का प्रस्ताव था जो गणितज्ञ भी थे। वह धर्मशास्त्र में कई कार्यों के लेखक थे, लेकिन वर्तमान में गणितीय संधियों के एक जोड़े के लिए जाना जाता है, जिनमें से उपरोक्त बेयर्स प्रमेय मुख्य परिणाम के रूप में सामने आया है।.

बेयस ने 1763 में प्रकाशित "ए एस्से टूवार्ड्स सॉल्विंग ऑफ द प्रॉसेस ऑफ चॉन्सेस" नामक एक पेपर में इस प्रमेय से निपटा, और जिस पर संभावनाओं के सिद्धांत में एक समस्या को हल करने के लिए बड़े काम विकसित किए गए। ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोगों के साथ अध्ययन.

सूची

• 1 स्पष्टीकरण
• बेयर्स प्रमेय के 2 अनुप्रयोग
  • २.१ संकल्प अभ्यास
• 3 संदर्भ

व्याख्या

सबसे पहले, इस प्रमेय को समझने के लिए, प्रायिकता सिद्धांत के कुछ बुनियादी विचार आवश्यक हैं, विशेष रूप से सशर्त संभाव्यता के लिए गुणन प्रमेय, जो बताता है कि

ई और ए के लिए एक नमूना स्थान एस की मनमानी घटनाओं.

और विभाजन की परिभाषा, जो हमें बताती है कि अगर हमारे पास ए₁ ,एक₂,..., ए_n एक नमूना स्थान S की घटनाएँ, ये S के विभाजन का निर्माण करेंगे, यदि A_मैं वे परस्पर अनन्य हैं और उनका मिलन S है.

यह होने के बाद, बी एक और घटना है। तब हम बी को देख सकते हैं

जहां ए_मैं B के साथ अन्तर्निहित पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएँ हैं.

और फलस्वरूप,

फिर, गुणन प्रमेय को लागू करना

दूसरी ओर, एआई दिए गए बी की सशर्त संभावना द्वारा परिभाषित किया गया है

पर्याप्त रूप से प्रतिस्थापित करने के लिए हमें किसी भी i

Bayes प्रमेय के अनुप्रयोग

इस परिणाम के लिए धन्यवाद, अनुसंधान समूहों और विविध निगमों ने ज्ञान पर आधारित प्रणालियों को बेहतर बनाने में कामयाबी हासिल की है.

उदाहरण के लिए, रोगों के अध्ययन में, बेयस प्रमेय इस संभावना की व्याख्या करने में मदद कर सकता है कि किसी बीमारी के साथ लोगों के समूह में एक बीमारी पाई जाएगी, जो डेटा की वैश्विक दरों और उक्त विशेषताओं की प्रमुखता के रूप में लेते हैं। स्वस्थ और बीमार दोनों तरह के लोग.

दूसरी ओर, उच्च प्रौद्योगिकियों की दुनिया में, विकसित होने वाली बड़ी कंपनियों को प्रभावित किया है, इस परिणाम के लिए धन्यवाद, सॉफ्टवेयर "फेसबुक पर आधारित".

रोज़मर्रा के उदाहरण के रूप में हमारे पास Microsoft Office सहायक है। बेयस प्रमेय सॉफ्टवेयर को उन समस्याओं का आकलन करने में मदद करता है जो उपयोगकर्ता प्रस्तुत करता है और यह निर्धारित करता है कि क्या प्रदान करना है और इस प्रकार उपयोगकर्ता की आदतों के अनुसार बेहतर सेवा प्रदान करने में सक्षम होना चाहिए।.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस सूत्र को हाल के दिनों तक नजरअंदाज कर दिया गया था, यह मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण है कि जब यह परिणाम 200 साल पहले विकसित हुआ था, तो उनके लिए बहुत कम व्यावहारिक उपयोग था। हालांकि, हमारे समय में, महान तकनीकी विकास के लिए धन्यवाद, वैज्ञानिकों ने इस परिणाम को अभ्यास में लाने के तरीके हासिल किए हैं.

हल किए गए व्यायाम

व्यायाम 1

एक सेल्युलर कंपनी की दो मशीनें A और B हैं। उत्पादित 54% सेल फोन मशीन A द्वारा बनाए गए हैं और बाकी मशीन B. द्वारा नहीं बनाए गए हैं।.

ए द्वारा किए गए दोषपूर्ण सेल फोन का अनुपात 0.2 और बी का 0.5 है। क्या संभावना है कि उक्त कारखाने का एक सेल फोन दोषपूर्ण है? क्या संभावना है कि, यह जानते हुए कि एक सेल फोन दोषपूर्ण है, मशीन ए से आता है?

समाधान

यहाँ, आपके पास एक प्रयोग है जो दो भागों में किया जाता है; पहले भाग में घटनाएं घटती हैं:

A: मशीन A द्वारा बनाया गया सेल फ़ोन.

बी: मशीन बी द्वारा बनाया गया सेल फोन.

चूँकि मशीन A 54% सेल फोन का उत्पादन करता है और शेष मशीन B द्वारा निर्मित होता है, मशीन B 46% सेल फोन का उत्पादन करता है। इन घटनाओं की संभावनाएँ दी गई हैं, अर्थात्:

पी (ए) = 0.54.

पी (बी) = 0.46.

प्रयोग के दूसरे भाग की घटनाएं हैं:

डी: दोषपूर्ण सेल.

ई: गैर-दोषपूर्ण सेल.

जैसा कि बयान में कहा गया है, इन घटनाओं की संभावना पहले भाग में प्राप्त परिणाम पर निर्भर करती है:

P (D | A) = 0.2 |.

पी (डी | बी) = 0.5.

इन मूल्यों का उपयोग करते हुए, आप इन घटनाओं के पूरक की संभावनाओं को भी निर्धारित कर सकते हैं, अर्थात्:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

= 0.8

और

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0.5

= 0.5.

अब, घटना डी को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:

सशर्त संभाव्यता के लिए गुणन प्रमेय का उपयोग करना, इसका परिणाम है:

जिसके साथ पहले प्रश्न का उत्तर दिया जाता है.

अब हमें बस P (A | D) की गणना करने की आवश्यकता है, जिसके लिए Bayes Theorem लागू होता है:

बेयस प्रमेय के लिए धन्यवाद, यह कहा जा सकता है कि सेल ए को मशीन ए द्वारा बनाया गया था, यह जानते हुए कि सेल फोन दोषपूर्ण है, 0.319 है.

व्यायाम २

तीन बक्सों में सफेद और काली गेंद होती है। उनमें से प्रत्येक की संरचना इस प्रकार है: यू 1 = 3 बी, 1 एन, यू 2 = 2 बी, 2 एन, यू 3 = 1 बी, 3 एन.

बक्से में से एक को यादृच्छिक पर चुना जाता है और इसमें से एक यादृच्छिक गेंद निकाली जाती है, जो सफेद हो जाती है। सबसे अधिक संभावना है कि कौन सा बॉक्स चुना गया है?

समाधान

U1, U2 और U3 के माध्यम से, हम चुने हुए बॉक्स का भी प्रतिनिधित्व करेंगे.

इन घटनाओं में S का एक विभाजन होता है और यह सत्यापित होता है कि P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 है क्योंकि बॉक्स का चुनाव यादृच्छिक है.

अगर B = निकाली गई गेंद सफ़ेद है, तो हमारे पास P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 होगी। .

हम जो प्राप्त करना चाहते हैं, वह संभावना है कि गेंद को बॉक्स से बाहर निकाल दिया गया था, यह जानते हुए कि गेंद सफेद थी, अर्थात, P (Ui | B), और देखें कि कौन से तीन मानों को जानना सबसे ज्यादा है। बॉक्स सफेद गेंद की निकासी की सबसे अधिक संभावना है.

बॉक्सों में से सबसे पहले बायस प्रमेय को लागू करना:

और अन्य दो के लिए:

P (U2 | B) = 2/6 और P (U3 | B) = 1/6.

फिर, पहले बक्से में से एक है जिसमें सफेद गेंद की निकासी के लिए चुने जाने की अधिक संभावना है.

संदर्भ

1. कै लाई चुंग स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के साथ प्राथमिक क्षमता सिद्धांत। स्प्रिंगर-वर्लग न्यूयॉर्क इंक
2. Kenneth.H। Rosen। असतत गणित और उसके अनुप्रयोग। S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPA .A.
3. पॉल एल मेयर। संभाव्यता और सांख्यिकीय अनुप्रयोग। इंक माक्सिकान अल्हंब्रा.
4. सीमोर लिप्सचुट्ज़ पीएच.डी. 2000 असतत गणित हल समस्याओं। मैकग्रा-हिल.
5. सीमोर लिप्सचुट्ज़ पीएच.डी. सिद्धांत और संभावना की समस्याएं। मैकग्रा-हिल.