समान शर्तों को कम करना (हल किए गए व्यायामों के साथ)

समान शब्दों की कमी यह एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए किया जाता है। एक बीजीय अभिव्यक्ति में, समान शब्द वे हैं जिनके समान चर हैं; अर्थात्, उनके पास एक पत्र द्वारा दर्शाए गए समान अज्ञात हैं, और उनके पास एक ही प्रतिपादक हैं.

कुछ मामलों में बहुपद व्यापक हैं, और एक समाधान तक पहुंचने के लिए आपको अभिव्यक्ति को कम करने की कोशिश करनी चाहिए; यह संभव है जब ऐसे शब्द हों जो समान हों, जिन्हें जोड़कर और बीजीय गुणों जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग को जोड़कर किया जा सकता है।.

सूची

• 1 स्पष्टीकरण
• 2 समान शर्तों की कटौती कैसे करें?
  • २.१ उदाहरण
  • 2.2 समान संकेतों के साथ समान शब्दों की कमी
  • 2.3 विभिन्न संकेतों के साथ समान शब्दों की कमी
• 3 संचालन में समान शर्तों को कम करना
  • 3.1 रकम में
  • 3.2 घटाव में
  • 3.3 गुणा में
  • ३.४ विभाग में
• 4 व्यायाम हल किए
  • 4.1 पहला व्यायाम
  • ४.२ दूसरा व्यायाम
• 5 संदर्भ

व्याख्या

समान घातांक के समान समान वर्णों द्वारा समान शब्द बनाए जाते हैं और कुछ मामलों में ये केवल उनके संख्यात्मक गुणांकों द्वारा विभेदित होते हैं.

समान शर्तों को भी माना जाता है जिनके पास चर नहीं हैं; यह है, उन शर्तों कि केवल स्थिरांक है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समान शब्द हैं:

- 6x² - 3x². दोनों शब्दों में एक ही चर x है².

- 4²ख³ + 2²ख³. दोनों शब्दों के समान चर हैं²ख³.

- 7 - 6. नियम स्थिर हैं.

वे शब्द जिनके समान चर हैं लेकिन विभिन्न घातांक के साथ गैर-समान शब्द हैं, जैसे:

- 9²b + 5ab। चर के विभिन्न घातांक होते हैं.

- 5x + y। चर अलग-अलग हैं.

- b - 8. एक शब्द का एक चर है, दूसरा एक स्थिर है.

समान शब्द जो एक बहुपद बनाते हैं, उन्हें पहचानना, इनको घटाकर एक किया जा सकता है, उन सभी को मिलाकर जो समान घातांक के साथ समान चर रखते हैं। इस तरह, अभिव्यक्ति की संख्या को कम करने वाले शब्दों को सरल बना दिया जाता है और इसके समाधान की गणना को आसान बनाया जाता है.

समान शब्दों की कमी कैसे करें?

समान शर्तों की कटौती अतिरिक्त और उत्पाद की वितरणशील संपत्ति को लागू करने के द्वारा की जाती है। निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग करके शर्तों में कमी की जा सकती है:

- पहले समान शर्तों को समूहीकृत किया जाता है.

- समान शर्तों के गुणांक (संख्याएँ जो चर के साथ होती हैं) जोड़ दी जाती हैं या घटा दी जाती हैं, और जैसा कि मामला हो सकता है, सहयोगी, कम्यूटेटिव या वितरण गुण लागू होते हैं।.

- प्राप्त किए गए नए शब्दों को लिखे जाने के बाद, इन संकेतों के सामने रखकर जो ऑपरेशन के परिणामस्वरूप हुए.

उदाहरण

निम्नलिखित अभिव्यक्ति की शर्तों को कम करें: 10x + 3y + 4x + 5y.

समाधान

सबसे पहले, शर्तों को उन लोगों के समूह के लिए आदेश दिया जाता है जो समान हैं, कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी को लागू करते हैं:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

फिर वितरणशील संपत्ति लागू की जाती है और चर के साथ आने वाले गुणांक को शब्दों की कमी प्राप्त करने के लिए जोड़ा जाता है:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) और

= 14x + 8y.

इसी तरह की शर्तों को कम करने के लिए उन संकेतों को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है जो उनके पास गुणांक हैं जो चर के साथ हैं। तीन संभावित मामले हैं:

समान संकेतों के साथ समान शब्दों की कमी

इस मामले में गुणांक जोड़ दिए जाते हैं और परिणाम से पहले शर्तों के संकेत को रखा जाता है। इसलिए, यदि वे सकारात्मक हैं, तो परिणामी शब्द सकारात्मक होंगे; इस मामले में कि शर्तें नकारात्मक हैं, परिणाम में चर के साथ संकेत (-) होगा। उदाहरण के लिए:

a) 22ab² + 12AB² = 34 एबी².

बी) -18x³ - 9x³ - 6 = -27x³ - 6.

समान शर्तों को कम करना cविभिन्न संकेतों पर

इस मामले में गुणांक घटाए जाते हैं, और परिणाम के सामने अधिक गुणांक का संकेत रखा जाता है। उदाहरण के लिए:

ए) 15x²और - 4x²और + 6x²और - 11x²और

= (15x)²और + 6x²y) + (- 4x²और - 11x²वाई)

= 21x²y + (-15x)²वाई)

= 21x²और - 15x²और

= 6x²और.

बी) -5 ए³b + 3 ए³बी - 4 ए³बी + ए³ख

= (3 ए³बी + ए³बी) + (-5 ए³बी - 4 ए³ख)

= 4 ए³b - 9 ए³ख

= -5 ए³ख.

इस तरह, अलग-अलग संकेतों वाले समान शब्दों को कम करने के लिए, एक एकल योगात्मक शब्द उन सभी के साथ बनता है, जिनमें सकारात्मक चिह्न (+) होते हैं, गुणांक जोड़ दिए जाते हैं और परिणाम चर के साथ होते हैं.

उसी तरह से एक सबट्रेक्टिव शब्द बनता है, उन सभी शब्दों के साथ जिनमें नकारात्मक चिन्ह (-) होता है, गुणांक जुड़ जाते हैं और परिणाम चर के साथ होता है.

अंत में गठित दो शर्तों के योगों को घटाया जाता है, और इसका परिणाम सबसे बड़ा है.

संचालन में समान शर्तों को कम करना

समान शब्दों की कमी बीजगणित का एक संचालन है, जिसे इसके अलावा, घटाव, गुणा और बीजगणितीय भाग में लागू किया जा सकता है.

रकम में

जब आपके पास समान शब्दों के साथ कई बहुपद होते हैं, तो उन्हें कम करने के लिए, आप प्रत्येक बहुपद की शर्तों को अपने संकेत रखते हुए आदेश देते हैं, फिर एक के बाद एक लिखते हैं और समान शर्तों को कम करते हैं। उदाहरण के लिए, हमारे पास निम्नलिखित बहुपद हैं:

3x - 4xy + 7x²और + 5xy².

- 6x²और - 2xy + 9 xy² - 8x.

घटाव में

एक बहुपद को दूसरे से घटाने के लिए, minuend लिखा जाता है और फिर उसके बदले हुए संकेतों के साथ सबट्रेंड किया जाता है, और फिर समान शर्तों को घटाया जाता है। उदाहरण के लिए:

5 वीं³ - 3AB² + 3 बी²ग

6AB² + 2³ - 8b²ग

इस प्रकार, बहुपदों को 3a में संक्षेपित किया जाता है³ - 9AB² + 11b²ग.

गुणा में

बहुपद के एक उत्पाद में गुणकों के प्रत्येक शब्द के लिए गुणक बनाते हैं, जो गुणक बनाते हैं, यह देखते हुए कि गुणन के संकेत समान हैं यदि वे सकारात्मक हैं.

वे केवल तभी बदले जाएंगे जब किसी शब्द से गुणा किया जाए जो नकारात्मक हो; यही है, जब एक ही संकेत के दो शब्द गुणा किए जाते हैं तो परिणाम सकारात्मक (+) होगा, और जब उनके अलग-अलग संकेत होंगे तो परिणाम नकारात्मक होगा (-).

उदाहरण के लिए:

a) (a + b) _* (ए + बी)

= ए² + ab + ab + b²

= ए² + 2ab + बी².

बी) (ए + बी) _* (ए - बी)

= ए² - ab + ab - बी²

= ए² - ख².

ग) (ए - बी) _* (ए - बी)

= ए² - ab - एबी + बी²

= ए² - 2ab + बी².

विभाजन में

जब आप एक विभाजन के माध्यम से दो बहुपद को कम करना चाहते हैं तो आपको तीसरा बहुपद ज्ञात करना होगा, जब दूसरे (भाजक) से गुणा किया जाता है, तो पहले बहुपद में परिणाम होता है (लाभांश).

उसके लिए, लाभांश और विभाजक की शर्तों का आदेश दिया जाना चाहिए, बाएं से दाएं, ताकि दोनों चर एक ही क्रम में हों.

फिर डिवीजन बनाया जाता है, पहले टर्म से डिवाइडर के बाईं ओर के डिवाइडर के बीच में शुरू होता है, हमेशा प्रत्येक टर्म के संकेतों को ध्यान में रखता है.

उदाहरण के लिए, बहुपद को कम करें: 10x⁴ - 48x³और + 51x²और² + 4 xy³ - 15y⁴ इसे बहुपद के बीच विभाजित करना: -5x² + 4xy + 3y².

परिणामी बहुपद -2x है² + 8xy - 5y².

हल किए गए अभ्यास

पहला व्यायाम

दिए गए बीजीय अभिव्यक्ति की शर्तों को कम करें:

15 वीं² - 8ab + 6a² - 6ab - 9 + 4 ए² - १३ आब.

समाधान

इस राशि के कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी को एक ही वेरिएबल की शर्तों के अनुसार लागू किया जाता है:

15 वीं² - 8ab + 6a² - 6ab + 9 + 4a² - 13

= (15 ए² + 6² + 4²) + (- +ab - ६ab) + (९ - १३).

फिर गुणन की वितरण संपत्ति को लागू किया जाता है:

15 वीं² - 8ab + 6a² - 6ab + 9 + 4a² - 13

= (15 + 6 + 4) ए² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

अंत में, प्रत्येक पद के गुणांकों को जोड़कर और घटाकर उनका सरलीकरण किया जाता है:

15 वीं² - 8ab + 6a² - 6ab + 9 + 4a² - 13

= 25 ए² - 14ab - 4.

दूसरा व्यायाम

निम्नलिखित बहुपद के उत्पाद को सरल कीजिए:

(8x³ + 7xy²)_*(8x³ - 7 xy²).

समाधान

पहले बहुपद के प्रत्येक शब्द को दूसरे से गुणा करें, यह ध्यान में रखते हुए कि शब्दों के संकेत अलग-अलग हैं; इसलिए, इसके गुणन का परिणाम नकारात्मक होगा, साथ ही घातांक के कानूनों को भी लागू किया जाना चाहिए.

(8x³ + 7xy²) _* (8x³ - 7xy²)

= 64 एक्स⁶ - 56 एक्स³_* xy² + 56 एक्स³_* xy² - 49 एक्स²और⁴

= 64 एक्स⁶ - 49 एक्स²और⁴.

संदर्भ

1. एंजल, ए। आर। (2007)। प्राथमिक बीजगणित पियर्सन शिक्षा,.
2. बाल्डोर, ए। (1941)। बीजगणित। हवाना: संस्कृति.
3. जेरोम ई। कॉफमैन, के। एल। (2011)। प्राथमिक और मध्यवर्ती बीजगणित: एक संयुक्त दृष्टिकोण। फ्लोरिडा: सेंगेज लर्निंग.
4. स्मिथ, एस.ए. (2000)। बीजगणित। पियर्सन शिक्षा.
5. विजिल, सी। (2015)। बीजगणित और उसके अनुप्रयोग.