एक समारोह के डोमेन और कंडोमिनियम क्या है? (हल किए गए उदाहरणों के साथ)

की अवधारणाओं किसी फ़ंक्शन का डोमेन और काउंटर डोमेन वे आमतौर पर विश्वविद्यालय के करियर की शुरुआत में सिखाए गए कलन पाठ्यक्रम में पढ़ाए जाते हैं.

डोमेन और डोमेन को परिभाषित करने से पहले, आपको पता होना चाहिए कि एक फ़ंक्शन क्या है। फंक्शन एफ दो सेटों के तत्वों के बीच किए गए पत्राचार का एक नियम (नियम) है.

जिन तत्वों को चुना जाता है, उन्हें फ़ंक्शन का डोमेन कहा जाता है और जिस सेट को इन तत्वों को f के माध्यम से भेजा जाता है उसे काउंटर डोमेन कहा जाता है.

गणित में, डोमेन ए और काउंटर डोमेन बी के साथ एक फ़ंक्शन को अभिव्यक्ति एफ: ए → बी द्वारा दर्शाया गया है.

उपरोक्त अभिव्यक्ति का कहना है कि सेट ए के तत्वों को पत्राचार कानून एफ के बाद बी सेट करने के लिए भेजा जाता है.

एक फ़ंक्शन सेट B के एक तत्व को सेट B के प्रत्येक तत्व को असाइन करता है.

डोमेन और काउंटर डोमेन

वास्तविक चर f (x) के वास्तविक कार्य को देखते हुए, हमारे पास यह है कि फ़ंक्शन का डोमेन उन सभी वास्तविक संख्याओं का होगा जैसे कि, जब f में मूल्यांकन किया जाता है, तो परिणाम एक वास्तविक संख्या होती है.

आमतौर पर किसी फ़ंक्शन का काउंटरडोम वास्तविक संख्या R का सेट होता है। विरोधाभास को फ़ंक्शन का आगमन सेट या कोडोमेन भी कहा जाता है f.

किसी फ़ंक्शन का काउंटर-डोमेन हमेशा R होता है?

नहीं। जब तक फ़ंक्शन का विस्तार से अध्ययन नहीं किया जाता है, तब तक इसे आमतौर पर काउंटर-डोमेन के रूप में वास्तविक संख्या आर के सेट के रूप में लिया जाता है.

लेकिन एक बार फ़ंक्शन का अध्ययन करने के बाद, एक अधिक उपयुक्त सेट को काउंटर-डोमेन के रूप में लिया जा सकता है, जो कि आर का सबसेट होगा.

पिछले पैराग्राफ में उल्लेखित उपयुक्त सेट फ़ंक्शन की छवि से मेल खाता है.

किसी फ़ंक्शन f की छवि या श्रेणी की परिभाषा उन सभी मूल्यों को संदर्भित करती है जो डोमेन के किसी तत्व का मूल्यांकन करने से आती है.

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण बताते हैं कि किसी फ़ंक्शन और उसकी छवि के डोमेन की गणना कैसे करें.

उदाहरण 1

चलो f (x) = 2 द्वारा परिभाषित एक वास्तविक कार्य है.

F का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि, जब f में मूल्यांकन किया जाता है, तो परिणाम एक वास्तविक संख्या होती है। फिलहाल प्रति-डोमेन R के बराबर है.

चूंकि दिए गए फ़ंक्शन स्थिर है (हमेशा 2 के बराबर), इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वास्तविक संख्या क्या चुनी गई है, क्योंकि जब f में इसका मूल्यांकन करते हैं तो परिणाम हमेशा 2 के बराबर होगा, जो कि एक वास्तविक संख्या है.

इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन के डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं; वह है, ए = आर.

अब यह ज्ञात है कि फ़ंक्शन का परिणाम हमेशा 2 के बराबर होता है, हमारे पास यह है कि फ़ंक्शन की छवि केवल संख्या 2 है, इसलिए फ़ंक्शन के काउंटरडोमेन को B = Img (f) = के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है। 2.

इसलिए, एफ: आर ​​→ २.

उदाहरण 2

मान लें कि g (x) = .x द्वारा परिभाषित एक वास्तविक फ़ंक्शन है.

जबकि g की छवि ज्ञात नहीं है, g का काउंटर डोमेन B = R है.

इस फ़ंक्शन के साथ आपको यह ध्यान रखना चाहिए कि वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित हैं; यानी शून्य से अधिक या उससे अधिक संख्या के लिए। उदाहरण के लिए, √-1 एक वास्तविक संख्या नहीं है.

इसलिए, फ़ंक्शन जी का डोमेन शून्य से अधिक या उसके बराबर सभी संख्याओं का होना चाहिए; यह है, x ≥ 0.

इसलिए, ए = [0, + 0).

सीमा की गणना करने के लिए यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जी (x) का कोई भी परिणाम, एक वर्गमूल होने के नाते, हमेशा शून्य से अधिक या बराबर होगा। वह है, बी = [०, + [).

निष्कर्ष में, जी: [0, + ∞) → [0, + ∞).

उदाहरण 3

यदि हमारे पास फ़ंक्शन h (x) = 1 / (x-1) है, तो हमारे पास यह फ़ंक्शन x = 1 के लिए परिभाषित नहीं है, क्योंकि हर में शून्य प्राप्त किया जाएगा और शून्य द्वारा विभाजन को परिभाषित नहीं किया गया है।.

दूसरी ओर, किसी भी अन्य वास्तविक मूल्य के लिए परिणाम एक वास्तविक संख्या होगी। इसलिए, डोमेन एक को छोड़कर सभी वास्तविक है; वह है, A = R \ 1.

इसी तरह से यह देखा जा सकता है कि परिणाम के रूप में प्राप्त किया जा सकने वाला एकमात्र मान 0 नहीं है, क्योंकि अंश के शून्य के बराबर होने के लिए अंश शून्य होना चाहिए.

इसलिए, फ़ंक्शन की छवि शून्य को छोड़कर सभी रियल का सेट है, इसलिए इसे काउंटर डोमेन B = R \ 0 के रूप में लिया जाता है.

निष्कर्ष में, h: R \ 1 → R \ 0.

टिप्पणी

डोमेन और छवि को एक ही सेट नहीं होना चाहिए, जैसा कि उदाहरण 1 और 3 में दिखाया गया है.

जब एक फ़ंक्शन कार्टेशियन प्लेन पर प्लॉट किया जाता है, तो डोमेन को एक्स अक्ष द्वारा और काउंटर डोमेन या रेंज को वाई अक्ष द्वारा दर्शाया जाता है।.

संदर्भ

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