समानता के गुण

समानता के गुण वे दो गणितीय वस्तुओं के बीच संबंध को संदर्भित करते हैं, या तो संख्याएं या चर। इसे प्रतीक "=" द्वारा निरूपित किया जाता है, जो हमेशा इन दो वस्तुओं के बीच में जाता है। इस अभिव्यक्ति का उपयोग यह स्थापित करने के लिए किया जाता है कि दो गणितीय ऑब्जेक्ट एक ही वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं; दूसरे शब्द में, दो वस्तुएं समान हैं.

ऐसे मामले हैं जिनमें समानता का उपयोग करना तुच्छ है। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि 2 = 2। हालांकि, जब यह चर की बात आती है तो यह अब तुच्छ नहीं है और इसके विशिष्ट उपयोग हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास y = x है और दूसरी ओर x = 7 है, तो आप उस y = 7 का भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं.

पिछला उदाहरण समानता के गुणों में से एक पर आधारित है, जैसा कि शीघ्र ही देखा जाएगा। ये गुण समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक हैं (चर शामिल समानताएं), जो गणित में एक बहुत महत्वपूर्ण हिस्सा बनाते हैं.

सूची

• 1 समानता के गुण क्या हैं?
  • 1.1 चिंतनशील संपत्ति
  • 1.2 सममित संपत्ति
  • १.३ सकर्मक संपत्ति
  • 1.4 समान संपत्ति
  • 1.5 रद्दीकरण संपत्ति
  • 1.6 प्रतिस्थापन संपत्ति
  • 1.7 एक समानता में शक्ति की संपत्ति
  • 1.8 एक समानता में जड़ की संपत्ति
• 2 संदर्भ

समानता के गुण क्या हैं?

चिंतनशील संपत्ति

समानता के मामले में, चिंतनशील संपत्ति, बताती है कि प्रत्येक संख्या अपने आप समान है और किसी भी वास्तविक संख्या b के लिए b = b के रूप में व्यक्त की जाती है.

समानता के विशेष मामले में यह संपत्ति स्पष्ट प्रतीत होती है, लेकिन संख्याओं के बीच एक अन्य प्रकार के संबंध में यह नहीं है। दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक संबंध इस संपत्ति को पूरा नहीं करता है। उदाहरण के लिए, "रिश्ते से कम" का ऐसा मामला (<); ningún número es menor que sí mismo.

सममित गुण

समानता के लिए सममित संपत्ति कहती है कि यदि a = b है, तो b = a। कोई बात नहीं क्या चर में आदेश का उपयोग किया जाता है, यह समानता संबंध द्वारा संरक्षित किया जाएगा.

इस संपत्ति का एक निश्चित सादृश्य इसके अतिरिक्त के मामले में कम्यूटेटिव संपत्ति के साथ देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, इस संपत्ति के कारण यह y = 4 या 4 = y लिखने के बराबर है.

सकर्मक संपत्ति

समानता में सकर्मक गुण बताता है कि यदि a = b और b = c है, तो a = c है। उदाहरण के लिए, 2 + 7 = 9 और 9 = 6 + 3; इसलिए, सकर्मक संपत्ति से हमारे पास 2 + 7 = 6 + 3 है.

एक साधारण आवेदन निम्नलिखित है: मान लीजिए कि जूलियन 14 साल का है और मारियो रोजा की ही उम्र का है। यदि रोजा जूलियन के रूप में एक ही उम्र का है, तो मारियो कितना पुराना है??

इस परिदृश्य के पीछे सकर्मक संपत्ति का उपयोग दो बार किया जाता है। गणितीय रूप से इसकी व्याख्या इस तरह की जाती है: "ए" मारियो की उम्र, "बी" रोजा की उम्र और जूलियन की उम्र "सी"। यह ज्ञात है कि b = c और वह c = 14 है.

सकर्मक संपत्ति के लिए हमारे पास b = 14 है; यानी रोजा 14 साल की है। चूंकि a = b और b = 14, फिर से सकर्मक गुण का उपयोग करके हमारे पास a = 14 है; यह है, कि मारियो की उम्र भी 14 वर्ष है.

समान संपत्ति

समरूप संपत्ति वह है, यदि किसी समानता के दोनों पक्षों को एक ही राशि में जोड़ा या गुणा किया जाता है, तो समानता संरक्षित है। उदाहरण के लिए, यदि 2 = 2, तो 2 + 3 = 2 + 3, जो स्पष्ट है, तो 5 = 5। जब समीकरण को हल करने की बात आती है तो इस संपत्ति की अधिक उपयोगिता होती है.

उदाहरण के लिए, मान लें कि आपको समीकरण x-2 = 1 को हल करने के लिए कहा गया है। यह याद रखना सुविधाजनक है कि एक समीकरण को हल करने में एक विशिष्ट संख्या या पहले से निर्दिष्ट चर के आधार पर शामिल चर (या चर) को स्पष्ट रूप से निर्धारित करना शामिल है।.

समीकरण x-2 = 1 पर लौटते हुए, क्या किया जाना चाहिए यह स्पष्ट रूप से पता लगाना है कि x कितना मूल्य है। ऐसा करने के लिए, चर को साफ़ करना होगा.

यह गलत तरीके से सिखाया गया है कि इस मामले में, जैसा कि नंबर 2 नकारात्मक है, यह सकारात्मक संकेत के साथ समानता के दूसरी तरफ से गुजरता है। लेकिन इसे इस तरह से कहना सही नहीं है.

मूल रूप से, जो किया जा रहा है वह समान संपत्ति को लागू करने के लिए है, जैसा कि हम नीचे देखेंगे। विचार "x" को साफ़ करना है; यही है, इसे समीकरण के एक तरफ अकेले छोड़ दें। अधिवेशन के द्वारा इसे आमतौर पर बाईं ओर रखा जाता है.

इस उद्देश्य के लिए, जिस संख्या को आप "समाप्त" करना चाहते हैं, वह है -2। इसे करने का तरीका 2 जोड़ रहा होगा, चूंकि -2 + 2 = 0 और x + 0 = 0। समानता में बदलाव किए बिना ऐसा करने में सक्षम होने के लिए, उसी ऑपरेशन को दूसरी तरफ लागू किया जाना चाहिए.

यह समान संपत्ति को महसूस करने की अनुमति देता है: x-2 = 1 के रूप में, यदि संख्या 2 को समानता के दोनों किनारों पर जोड़ा जाता है, तो वर्दी संपत्ति का कहना है कि समान को परिवर्तित नहीं किया गया है। फिर हमारे पास वह x-2 + 2 = 1 + 2 है, जो कि x = 3 कहने के बराबर है। इससे समीकरण हल हो जाएगा.

इसी तरह, यदि आप समीकरण (1/5) y-1 = 9 को हल करना चाहते हैं, तो आप निम्नानुसार एकसमान संपत्ति का उपयोग करके आगे बढ़ सकते हैं:

आम तौर पर, निम्नलिखित कथन दिए जा सकते हैं:

- यदि ए-बी = सी-बी, तो ए = सी.

- यदि x-b = y, तो x = y + b.

- यदि (1 / a) z = b, तो z = a ×

- यदि (1 / c) a = (1 / c) b, तो a = b.

रद्द करने की संपत्ति

रद्द करने वाली संपत्ति एक समान स्वामित्व का एक विशेष मामला है, विशेष रूप से घटाव और विभाजन के मामले पर विचार (जो अंत में, इसके अलावा और गुणन के अनुरूप है)। यह संपत्ति इस मामले को अलग से मानती है.

उदाहरण के लिए, यदि 7 + 2 = 9, तो 7 = 9-2। या यदि 2y = 6, तो y = 3 (दोनों पक्षों द्वारा दो को विभाजित करते हुए).

पिछले मामले के अनुरूप, रद्दीकरण संपत्ति के माध्यम से निम्नलिखित कथन स्थापित किए जा सकते हैं:

- यदि a + b = c + b, तो a = c.

- यदि x + b = y, तो x = y-b.

- यदि az = b, तो z = b / a.

- यदि सीए = सीबी, तो ए = बी.

प्रतिस्थापन संपत्ति

यदि हम किसी गणितीय वस्तु का मूल्य जानते हैं, तो प्रतिस्थापन संपत्ति कहती है कि इस मूल्य को किसी भी समीकरण या अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि b = 5 और a = bx है, तो दूसरी समानता में "b" के मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास a = 5x है.

एक अन्य उदाहरण निम्नलिखित है: यदि "m" "n" को विभाजित करता है और "n" को "m" से विभाजित करता है, तो यह "m = n" होना चाहिए.

वास्तव में, यह कहने के लिए कि "एम" "एन" को विभाजित करता है (या समकक्ष, "एम" "एन" का एक भाजक है) का अर्थ है कि विभाजन एम is एन सटीक है; यही है, "m" को "n" से विभाजित करके आपको एक पूर्णांक मिलता है, दशमलव संख्या नहीं। यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है कि एक पूर्णांक "k" मौजूद है जैसे कि m = k × n.

चूंकि "एन" भी "एम" को विभाजित करता है, फिर एक पूर्णांक "पी" मौजूद है जैसे कि एन = पी × एम। प्रतिस्थापन संपत्ति के लिए, हमारे पास वह n = p × k × n है, और ऐसा होने के लिए दो संभावनाएँ हैं: n = 0, जिस स्थिति में हमारी पहचान होगी 0 = 0; या p × k = 1, जहां पहचान को n = n होना चाहिए.

मान लीजिए कि "n" नॉनवेज है। फिर आवश्यक रूप से p × k = 1; इसलिए, पी = 1 और के = 1। प्रतिस्थापन संपत्ति का फिर से उपयोग करना, जब k = 1 को समानता m = k × n (या समतुल्य, p = 1 में n = p × m) से प्रतिस्थापित किया जा रहा है, तो अंत में यह प्राप्त किया जाता है कि m = n, जो कि प्रदर्शित होना चाहता था.

एक समानता में सत्ता का स्वामित्व

जैसा कि पहले देखा गया था कि यदि किसी समतुल्य की दोनों स्थितियों में योग, गुणन, घटाव या विभाजन के रूप में ऑपरेशन किया जाता है, तो इसे संरक्षित रखा जाता है, उसी तरह से अन्य प्रचालनों को लागू किया जा सकता है जो एक समानता में परिवर्तन नहीं करते हैं.

कुंजी हमेशा समानता के दोनों किनारों पर यह करना है और अग्रिम में यह सुनिश्चित करना है कि ऑपरेशन किया जा सकता है। ऐसा है सशक्तीकरण का मामला; यही है, अगर एक समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति के लिए उठाया जाता है, तो अभी भी एक समानता है.

उदाहरण के लिए, 3 = 3 के रूप में, फिर 3²= ३² (९ = ९)। सामान्य तौर पर, एक पूर्णांक "n" दिया जाता है, यदि x = y, तो xⁿ= यⁿ.

एक समानता में जड़ की संपत्ति

यह पोटेंशिएशन का एक विशेष मामला है और इसे तब लागू किया जाता है जब पावर एक गैर-पूर्णांक परिमेय संख्या हो, जैसे कि the, जो वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करता है। इस संपत्ति में कहा गया है कि यदि एक ही जड़ को समानता के दोनों किनारों पर लागू किया जाता है (जहां भी संभव हो), समानता को संरक्षित किया जाता है.

पिछले मामले के विपरीत, यहां आपको उस रूट की समता के साथ सावधान रहना चाहिए जो लागू होने जा रहा है, क्योंकि यह अच्छी तरह से ज्ञात है कि एक नकारात्मक संख्या की जड़ भी अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है.

इस मामले में कि कट्टरपंथी सम है, कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि x³= -8, भले ही यह एक समानता है, आप उदाहरण के लिए, दोनों तरफ एक वर्गमूल लागू नहीं कर सकते। हालाँकि, यदि आप एक घन मूल (जो अधिक सुविधाजनक है यदि आप स्पष्ट रूप से x का मूल्य जानना चाहते हैं) लागू कर सकते हैं, तो 1 x = -2 प्राप्त कर सकते हैं.

संदर्भ

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