उत्पाद क्रॉस गुण, अनुप्रयोग और हल किए गए व्यायाम



क्रॉस उत्पाद या उत्पाद वेक्टर यह दो या अधिक वैक्टरों को गुणा करने का एक तरीका है। वैक्टर को गुणा करने के तीन तरीके हैं, लेकिन इनमें से कोई भी शब्द के सामान्य अर्थों में गुणा नहीं है। इन रूपों में से एक वेक्टर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक तीसरा वेक्टर होता है.

वेक्टर उत्पाद, जिसे क्रॉस उत्पाद या बाहरी उत्पाद भी कहा जाता है, में अलग-अलग बीजगणितीय और ज्यामितीय गुण होते हैं। ये गुण बहुत उपयोगी हैं, खासकर भौतिकी के अध्ययन में.

सूची

  • 1 परिभाषा
  • 2 गुण
    • २.१ गुण १
    • २.२ संपत्ति २
    • २.३ गुण ३
    • 2.4 संपत्ति 4 (ट्रिपल स्केलर उत्पाद)
    • 2.5 संपत्ति 5 (ट्रिपल वेक्टर उत्पाद)
    • २.६ गुण ६
    • 2.7 संपत्ति 7
    • 2.8 संपत्ति 8
  • 3 अनुप्रयोग
    • 3.1 एक समानांतर चतुर्भुज की आयतन गणना
  • 4 व्यायाम हल किए
    • ४.१ व्यायाम १
    • ४.२ व्यायाम २
  • 5 संदर्भ

परिभाषा

सदिश उत्पाद की एक औपचारिक परिभाषा निम्नलिखित है: यदि A = (a1, a2, a3) और B = (b1, b2, b3) वैक्टर हैं, तो A और B का सदिश उत्पाद, जिसे हम AxB के रूप में निरूपित करेंगे:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

अंकन AxB के कारण, यह "ए क्रॉस बी" के रूप में पढ़ता है.

बाहरी उत्पाद का उपयोग करने का एक उदाहरण है कि यदि A = (1, 2, 3) और B = (3, -2, 4) वैक्टर हैं, तो हमारे पास वेक्टर उत्पाद की परिभाषा का उपयोग करना होगा:

Axb = (1, 2, 3) एक्स (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4 1 * (- 2) - 2 * 3)

एक्सबी = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

वेक्टर उत्पाद को व्यक्त करने का एक अन्य तरीका निर्धारकों द्वारा संकेतन द्वारा दिया गया है.

एक दूसरे आदेश निर्धारक की गणना निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

इसलिए, परिभाषा में दिए गए वेक्टर उत्पाद का सूत्र निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

यह आमतौर पर एक तीसरे क्रम निर्धारक में सरल किया जाता है:

जहाँ i, j, k उन वैक्टर का प्रतिनिधित्व करता है जो R का आधार बनाते हैं3.

क्रॉस उत्पाद व्यक्त करने के इस तरीके का उपयोग करते हुए, हमारे पास यह है कि पिछले उदाहरण को फिर से लिखा जा सकता है:

गुण

वेक्टर उत्पाद के कुछ गुण निम्नलिखित हैं:

संपत्ति १

यदि A, R में कोई वेक्टर है3, हमारे पास है:

- अक्ष = ०

- अक्ष ० = ०

- 0xA = 0

इन गुणों को केवल परिभाषा का उपयोग करके जांचना आसान है। अगर A = (a1, a2, a3) हमें करना है:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - aaa3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

यदि i, j, k R के इकाई आधार का प्रतिनिधित्व करते हैं3, हम उन्हें इस प्रकार लिख सकते हैं:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

के = (0, 0, 1)

फिर, हमें निम्नलिखित गुणों को पूरा करना होगा:

इन गुणों को याद रखने के लिए एक सामान्य नियम के रूप में, निम्नलिखित चक्र का आमतौर पर उपयोग किया जाता है:

वहाँ हमें ध्यान देना चाहिए कि कोई भी सदिश अपने आप में सदिश 0 में परिणाम करता है, और बाकी उत्पादों को निम्नलिखित नियम से प्राप्त किया जा सकता है:

दक्षिणावर्त दिशा में दो लगातार वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद निम्नलिखित वेक्टर देता है; और जब वामावर्त दिशा पर विचार करते हैं, तो परिणाम निम्न वेक्टर एक नकारात्मक संकेत के साथ होता है.

इन गुणों के लिए धन्यवाद हम देख सकते हैं कि वेक्टर उत्पाद सराहनीय नहीं है; उदाहरण के लिए, यह ध्यान देने के लिए पर्याप्त है कि मैं x j i j x i। निम्नलिखित संपत्ति हमें बताती है कि एक्सबी और बीएक्सए सामान्य रूप से कैसे संबंधित हैं.

संपत्ति २

यदि A और B R वैक्टर हैं3, हमारे पास है:

एक्सबी = - (बीएक्सए).

प्रदर्शन

यदि A = (a1, a2, a3) और B = (b1, b2, b3), बाहरी उत्पाद की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

हम यह भी देख सकते हैं कि यह उत्पाद निम्नलिखित उदाहरण के साथ संबद्ध नहीं है:

ix (ixj) = ixk = - j लेकिन (ixi) xj = 0xj = 0

इससे हम यह देख सकते हैं कि:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

संपत्ति ३

यदि A, B, C R वैक्टर हैं3 और r एक वास्तविक संख्या है, निम्नलिखित सत्य है:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

इन गुणों के लिए धन्यवाद हम बीजगणित के नियमों का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद की गणना कर सकते हैं, बशर्ते कि आदेश का सम्मान किया जाए। उदाहरण के लिए:

यदि A = (1, 2, 3) और B = (3, -2, 4), तो हम उन्हें R के विहित आधार पर फिर से लिख सकते हैं।3.

इस प्रकार, A = i + 2j + 3k और B = 3i - 2j + 4k। फिर, पिछले गुणों को लागू करना:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - २ (ixj) + ४ (ixk) + ६ (jxi) - ४ (jxj) + i (jxk) + ९ (kxi) - ६ (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (के) 4 (- जे) + 6 (- कश्मीर) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (जे) - 6 (- i) 12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

संपत्ति 4 (ट्रिपल स्केलर उत्पाद)

जैसा कि हमने शुरुआत में उल्लेख किया है, वेक्टर उत्पाद के अलावा वैक्टर को गुणा करने के अन्य तरीके भी हैं। इन तरीकों में से एक अदिश उत्पाद या आंतरिक उत्पाद है, जिसे ए whose बी के रूप में दर्शाया गया है और जिसकी परिभाषा है:

यदि एक = (A1, A2, A3) और B = (B1, B2, बी 3), तो बी = a1b1 एक ∙ + a2b2 + A3B3

वह संपत्ति जो दोनों उत्पादों से संबंधित है, को ट्रिपल स्केलर उत्पाद के रूप में जाना जाता है.

यदि A, B, और C R वैक्टर हैं3, फिर A then BxC = AxB x C

एक उदाहरण के रूप में, आइए देखें कि, A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) और C = (- 5, 1, - 4), यह संपत्ति पूरी हो गई है.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 9k

A - BxC = (1, 1, - 2) - (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) = (17) = - 74

दूसरी ओर:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

Axb ∙ सी = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1 - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) (7) (- 4) = - 74

एक और ट्रिपल उत्पाद एक्स (बीएक्ससी) है, जिसे ट्रिपल वेक्टर उत्पाद के रूप में जाना जाता है.

संपत्ति 5 (ट्रिपल वेक्टर उत्पाद)

यदि A, B और C R वैक्टर हैं3,  तो:

कुल्हाड़ी (BxC) = (A B C) B - (A C B) C

एक उदाहरण के रूप में, आइए देखें कि, A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) और C = (- 5, 1, - 4), यह संपत्ति पूरी हो गई है.

पिछले उदाहरण से हम जानते हैं कि BxC = (- 18, - 22, 17)। आइए एक्स (बीएक्ससी) की गणना करें:

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

दूसरी ओर, हमें निम्न करना होगा:

A) C = (1, 1, - 2) - (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) + (- 1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A) B = (1, 1, - 2) - (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

तो, हमारे पास है:

(A) C) B - (A C B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3,) - 12) = (- 27,19, -4)

संपत्ति ६

यह वैक्टर के ज्यामितीय गुणों में से एक है। यदि A और B R में दो वैक्टर हैं3 और and वह कोण है जो इन के बीच बनता है, फिर:

|| एक्सबी || = || A |||| B || पाप (A), कहाँ || ∙ || एक वेक्टर के मॉड्यूल या परिमाण को दर्शाता है.

इस संपत्ति की ज्यामितीय व्याख्या इस प्रकार है:

A = PR और B = PQ करें। फिर, वैक्टर A और B द्वारा निर्मित कोण त्रिभुज RQP का कोण P है, जैसा कि निम्न आकृति में दिखाया गया है.

इसलिए, समीपवर्ती पक्षों के क्षेत्रफल का क्षेत्रफल PR और PQ है || A |||| B .. sin (||), क्योंकि हम आधार के रूप में ले सकते हैं || A || और इसकी ऊंचाई द्वारा दिया गया है। B || sin (by).

इस वजह से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि || AxB || कहा समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्र है.

उदाहरण

यह देखते हुए एक पी (1, -2.3), क्यू (4, 3, -1), आर (2, 2,1) और एस (5,7, -3) चतुर्भुज, बताते हैं कि चतुर्भुज कहा की निम्नलिखित कोने यह एक समानांतर चतुर्भुज है और अपने क्षेत्र को खोजने.

इसके लिए हम पहले वैक्टर का निर्धारण करते हैं जो चतुर्भुज के पक्षों की दिशा निर्धारित करते हैं। यह है:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

बी = पीआर = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

जैसा कि हम देख सकते हैं कि ए और सी में एक ही वेक्टर निर्देशक है, जिसके लिए हमारे पास यह है कि दोनों समानांतर हैं; उसी तरह यह बी और डी के साथ होता है। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है.

कहा समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए, हम BxA की गणना करते हैं:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - ६ आई - २ जे -। के.

इसलिए, चुकता क्षेत्र होगा:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि समानांतर चतुर्भुज क्षेत्र 89 का वर्गमूल होगा.

संपत्ति 7

दो वैक्टर A और B R में समानांतर हैं3 हां और केवल अगर एक्सबी = 0

प्रदर्शन

यह स्पष्ट है कि यदि A या B अशक्त वेक्टर है, तो यह इस प्रकार है कि AxB = 0. चूंकि शून्य वेक्टर किसी अन्य वेक्टर के समानांतर है, तो संपत्ति वैध है.

यदि दोनों वैक्टर में से कोई भी शून्य वेक्टर नहीं है, तो हमारे पास यह है कि उनके परिमाण शून्य से अलग हैं; वह, दोनों || ए || B 0 के रूप में || B || ≠ 0, तो हम || एक्सबी || = 0 यदि और केवल यदि पाप (Θ) = ०, और यह तब होता है जब और केवल and = π या Θ = ० हो तो.

इसलिए, हम एक्सबी = 0 का निष्कर्ष निकाल सकते हैं यदि और केवल तभी π = Θ या can = 0, जो केवल तब होता है जब दोनों वैक्टर एक दूसरे के समानांतर होते हैं.

संपत्ति 8

यदि A और B R में दो वैक्टर हैं3, तब एक्सबी ए और बी दोनों के लिए लंबवत है.

प्रदर्शन

इस प्रदर्शन के लिए, याद रखें कि दो वैक्टर लंबवत हैं यदि A equal B शून्य के बराबर है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि:

A but AxB = AxA, B, लेकिन AxA 0. के बराबर है। इसलिए, हमें निम्न करना होगा:

ए = एक्सबी = 0 = बी = 0.

इसके द्वारा हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि A और AxB एक दूसरे के लंबवत हैं। एक अनुरूप तरीके से, हमें निम्न करना होगा:

एक्सबी। बी = ए x बीएक्सबी.

BxB = 0 के रूप में, हमें निम्न करना होगा:

एक्सबी। बी = ए = ० = ०.

इसलिए, एक्सबी और बी एक दूसरे के लंबवत हैं और इसके साथ ही संपत्ति का प्रदर्शन किया जाता है। यह बहुत उपयोगी है, क्योंकि वे हमें एक विमान के समीकरण को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं.

उदाहरण 1

P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) और R (2, 1, 3) से गुजरने वाले समतल का एक समीकरण प्राप्त करें।.

A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) और B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2)। फिर A = - i + 3j + k और B = i - 2j + k। उन तीन बिंदुओं द्वारा गठित विमान को खोजने के लिए यह एक वेक्टर को खोजने के लिए पर्याप्त है जो विमान के लिए सामान्य है, जो कि एक्ससीबी है.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

इस वेक्टर के साथ, और बिंदु P (1, 3, 2) को लेते हुए, हम विमान का समीकरण निम्नानुसार निर्धारित कर सकते हैं:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

तो, हमारे पास है कि विमान का समीकरण 5x + 2y - z - 9 = 0 है.

उदाहरण 2

बिंदु पी युक्त विमान के समीकरण का पता लगाएं (, 4, 0 - 2) और के विमानों एक्स प्रत्येक करने के लिए खड़ा - y + 0 z = और 2x + y - 4Z - 5 = 0 .

यह जानते हुए कि एक प्लेन कुल्हाड़ी से + cz + d = 0 का सामान्य वेक्टर (a, b, c) है, हमारे पास वह (1, -1,1) x - y + z = 0 y () का एक सामान्य वेक्टर है 2.1, - 4) 2x + y - 4z - 5 = 0 का एक सामान्य वेक्टर है.

इसलिए, वांछित विमान के लिए एक सामान्य वेक्टर को लंबवत होना चाहिए (1, -1,1) और a (2, 1, - 4)। कहा वेक्टर है:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

फिर, हमारे पास यह है कि जो विमान की मांग की गई है, उसमें वह बिंदु P (4,0, - 2) है और इसमें वेक्टर (3,6,3) सामान्य वेक्टर के रूप में है.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

अनुप्रयोगों

एक समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना

एक अनुप्रयोग जिसमें ट्रिपल स्केलर उत्पाद है, एक समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना करने में सक्षम है, जिसके किनारों को वैक्टर A, B और C द्वारा दिया गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

हम इस एप्लिकेशन को निम्न तरीके से घटा सकते हैं: जैसा कि हमने पहले कहा, वेक्टर एक्सबी एक वेक्टर है जो ए और बी के विमान के लिए सामान्य है। हमारे पास यह भी है कि वेक्टर - (एक्सबी) एक और वेक्टर है जिसे प्लेन कहा जाता है।.

हम सामान्य वेक्टर को चुनते हैं जो वेक्टर C के साथ सबसे छोटा कोण बनाता है; सामान्यता के नुकसान के बिना, एक्सबी को सदिश होने दें जिसका कोण C के साथ सबसे छोटा है.

हमारे पास है कि एक्सबी और सी दोनों के लिए एक ही प्रारंभिक बिंदु है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जो समांतर चतुर्भुज का आधार बनाता है। AxB || इसलिए, यदि समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई h द्वारा दी गई है, तो हमारे पास इसकी मात्रा होगी:

वी = || एक्सबी || एच ||.

दूसरी ओर, एक्सबी और सी के बीच स्केलर उत्पाद पर विचार करें, जिसे निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

हालाँकि, त्रिकोणमितीय गुणों से हमारे पास वह h = || C || cos (,) है, इसलिए हमें निम्न करना होगा:

इस तरह, हमें निम्न करना होगा:

सामान्य शब्दों में, हमारे पास एक समानांतर चतुर्भुज का मान ट्रिपल स्केलर उत्पाद AxB Ax C के निरपेक्ष मान द्वारा दिया गया है.

हल किए गए अभ्यास

व्यायाम 1

P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) और S = (2, 6, 9) के बिंदुओं को देखते हुए, ये बिंदु एक समानांतर रेखा बनाते हैं जिनके किनारों वे पीक्यू, पीआर और पीएस हैं। उक्त समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए.

समाधान

यदि हम लेते हैं:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- बी = पीआर = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

ट्रिपल स्केलर उत्पाद की संपत्ति का उपयोग करना, हमारे पास है:

एक्सबी = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

एक्सबी ∙ सी = (8, -2, 20), (-3, 2, 2) = -24 -4 +80- 52.

इसलिए, हमारे पास कहा गया है कि कहा गया आयताकार का आयतन 52 है.

व्यायाम २

एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए जिसके किनारे A = PQ, B = PR और C = PS द्वारा दिए गए हैं, जहाँ बिंदु P, Q, R और S हैं (1, 3, 4), (3, 5, 3) (2, 1, 6) और (2, 2, 5), क्रमशः.

समाधान

पहले हमारे पास ए = (2, 2, -1), बी = (1, -2, 2), सी = (1, -1, 1) है।.

हम एक्सबी = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6) की गणना करते हैं.

तब हम एक्सबी: सी की गणना करते हैं:

एक्सबी) सी = (2, -5, -6) 1 (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

इस प्रकार हम निष्कर्ष निकालते हैं कि कहा गया समानांतर चतुर्भुज की मात्रा 1 घन इकाई है.

संदर्भ

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