गुणक सिद्धांत गिनती तकनीक और उदाहरण

गुणक सिद्धांत एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग गिनती की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है ताकि इसके तत्वों को सूचीबद्ध करने के लिए आवश्यक हो। इसे कॉम्बिनेटरियल विश्लेषण के मूल सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है; एक घटना कैसे हो सकती है यह निर्धारित करने के लिए क्रमिक गुणा पर आधारित है.

यह सिद्धांत स्थापित करता है, अगर कोई निर्णय (d)₁) n तरीकों से लिया जा सकता है और दूसरा निर्णय (d)₂) को m तरीकों से लिया जा सकता है, निर्णय लेने के तरीकों की कुल संख्या₁ और डी₂ n के गुणा के बराबर होगा _* मीटर। सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक निर्णय एक के बाद एक किया जाता है: तरीकों की संख्या = एन_{1 *} एन₂... _* एन_एक्स तरीके.

सूची

• 1 उदाहरण
  • १.१ उदाहरण १
  • १.२ उदाहरण २
• 2 गिनती की तकनीक
  • 2.1 का सिद्धांत
  • 2.2 क्रमचय का सिद्धांत
  • २.३ संयोजन का सिद्धांत
• 3 व्यायाम हल किए
  • ३.१ व्यायाम १
  • ३.२ व्यायाम २
• 4 संदर्भ

उदाहरण

उदाहरण 1

पाउला ने अपने दोस्तों के साथ फिल्मों में जाने की योजना बनाई है, और वह जो कपड़े पहनेंगी, उन्हें चुनने के लिए, मैंने 3 ब्लाउज और 2 स्कर्ट अलग-अलग किए। पाउला कितने तरीके से कपड़े पहन सकती है??

समाधान

इस मामले में, पाउला को दो निर्णय लेने चाहिए:

घ₁ = 3 ब्लाउज = n के बीच चुनें

घ₂ = 2 स्कर्ट = मी के बीच चुनें

इस तरह पाउला ने एन _* ड्रेसिंग के विभिन्न तरीकों को बनाने के लिए मी निर्णय.

n _* म = ३_* 2 = 6 निर्णय.

गुणक सिद्धांत ट्री आरेख की तकनीक से आता है, जो एक आरेख है जो सभी संभावित परिणामों से संबंधित है, ताकि प्रत्येक एक परिमित संख्या हो सके.

उदाहरण 2

मारियो बहुत प्यासा था, इसलिए वह जूस खरीदने के लिए बेकरी में गया। लुइस उसे जवाब देता है और उसे बताता है कि उसके दो आकार हैं: बड़ा और छोटा; और चार स्वाद: सेब, नारंगी, नींबू और अंगूर। मारियो रस का चयन कितने तरीकों से कर सकता है?

समाधान

आरेख में यह देखा जा सकता है कि रस को चुनने के लिए मारियो के 8 अलग-अलग तरीके हैं और यह कि गुणक सिद्धांत में, यह परिणाम n के गुणन द्वारा प्राप्त किया जाता है।_*मीटर। अंतर केवल इतना है कि इस आरेख के माध्यम से आप जान सकते हैं कि मारियो के रस को चुनने के तरीके कैसे हैं.

दूसरी ओर, जब संभावित परिणामों की संख्या बहुत बड़ी होती है, तो गुणक सिद्धांत का उपयोग करना अधिक व्यावहारिक होता है.

गिनती की तकनीक

काउंटिंग तकनीक एक सीधी गिनती बनाने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली विधियाँ हैं, और इस प्रकार उन संभावित व्यवस्थाओं की संख्या को जानती हैं जो किसी दिए गए सेट के तत्व हो सकते हैं। ये तकनीक कई सिद्धांतों पर आधारित हैं:

जोड़ का सिद्धांत

यह सिद्धांत बताता है कि, यदि दो घटनाएँ m और n एक ही समय में नहीं हो सकती हैं, तो पहली या दूसरी घटना के तरीके की संख्या m + n का योग हो सकती है:

रूपों की संख्या = m + n ... + x अलग-अलग रूप.

उदाहरण

एंटोनियो एक यात्रा करना चाहता है, लेकिन यह तय नहीं करता है कि कौन सा गंतव्य है; दक्षिण पर्यटन एजेंसी में वे आपको न्यूयॉर्क या लास वेगास की यात्रा करने के लिए एक पदोन्नति प्रदान करते हैं, जबकि पूर्व पर्यटन एजेंसी आपको फ्रांस, इटली या स्पेन की यात्रा करने की सलाह देती है। एंटोनियो की पेशकश में कितने अलग-अलग यात्रा विकल्प हैं?

समाधान

दक्षिण पर्यटन एजेंसी के साथ एंटोनियो के 2 विकल्प (न्यूयॉर्क या लास वेगास) हैं, जबकि पूर्वी पर्यटन एजेंसी के पास 3 विकल्प हैं (फ्रांस, इटली या स्पेन)। विभिन्न विकल्पों की संख्या है:

विकल्पों की संख्या = m + n = 2 + 3 = 5 विकल्प.

क्रमपरिवर्तन का सिद्धांत

यह विशेष रूप से सभी या कुछ तत्वों को आदेश देने के बारे में है जो एक सेट बनाते हैं, तत्वों के साथ होने वाली सभी संभावित व्यवस्थाओं की गिनती को सुविधाजनक बनाने के लिए।.

N विभिन्न तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या, सभी को एक साथ लिया जाता है:

_nपी_n = एन!

उदाहरण

चार दोस्त एक तस्वीर लेना चाहते हैं और जानना चाहते हैं कि कितने विभिन्न रूपों का ऑर्डर दिया जा सकता है.

समाधान

आप उन सभी संभावित तरीकों के सेट को जानना चाहते हैं जिनमें 4 लोगों को तस्वीर लेने के लिए रखा जा सकता है। तो, आपको निम्न करना होगा:

₄पी₄ = ४! = 4_*3_*2_*1 = 24 विभिन्न तरीके.

यदि n उपलब्ध तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या r तत्वों द्वारा गठित सेट के कुछ हिस्सों द्वारा ली जाती है, तो इसे निम्न रूप में दर्शाया जाता है:

_nपी_{आर =} n! R (एन - आर)!

उदाहरण

कक्षा कक्ष में 10 स्थान हैं। यदि 4 छात्र कक्षा में उपस्थित होते हैं, तो कितने अलग-अलग तरीकों से छात्र पदों पर कब्जा कर सकते हैं?

समाधान

कुर्सियों के सेट की कुल संख्या 10 है, और इनमें से केवल 4 का उपयोग किया जाएगा। दिए गए फार्मूले को परमिट की संख्या निर्धारित करने के लिए लागू किया जाता है:

_nपी_आर = एन! R (एन - आर)!

₁₀पी₄ = १०! 4 (10 - 4)!

₁₀पी₄ = १०! ÷ ६!

₁₀पी₄= 10_* 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*१ ÷ ६_*5_*4_*3_*2_*पदों को भरने के लिए 1 = 5040 तरीके.

ऐसे मामले हैं जिनमें सेट के कुछ उपलब्ध तत्व दोहराए जाते हैं (वे समान हैं)। सभी तत्वों को एक साथ लेने वाली व्यवस्था की संख्या की गणना करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

_nपी_आर = एन! ÷ n₁!_* n₂!... n_आर!

उदाहरण

"भेड़िया" शब्द से चार अक्षरों के कितने अलग-अलग शब्द बन सकते हैं?

समाधान

इस मामले में हमारे पास 4 तत्व (अक्षर) हैं, जिनमें से दो बिल्कुल समान हैं। दिए गए सूत्र को लागू करते हुए, हम जानते हैं कि कितने अलग-अलग शब्द हैं:

_nपी_आर = एन! ÷ n₁!_* n₂!... n_आर!

₄पी_{2, 1.1} = ४! ÷ २!_*1!_*1!

₄पी_{2, 1, 1} = (४)_*3_*2_*1) 2 (2)_*1)_*1_*1

₄पी_{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 विभिन्न शब्द.

संयोजन का सिद्धांत

यह सभी या कुछ तत्वों को ठीक करने के बारे में है जो एक विशिष्ट क्रम के बिना एक सेट बनाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास एक XYZ सरणी है, तो यह ZXY, YZX, ZYX सरणियों के समान होगा; इसका कारण यह है कि एक ही क्रम में नहीं होने के बावजूद, प्रत्येक व्यवस्था के तत्व समान हैं.

जब सेट (n) के कुछ तत्वों (r) को लिया जाता है, तो संयोजन का सिद्धांत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

_nसी_{आर =} n! R (एन - आर)! आर!

उदाहरण

एक स्टोर में वे 5 अलग-अलग प्रकार की चॉकलेट बेचते हैं। आप कितने अलग-अलग तरीकों से 4 चॉकलेट चुन सकते हैं?

समाधान

इस मामले में आपको स्टोर में बेचे जाने वाले 5 प्रकारों में से 4 चॉकलेटों को चुनना होगा। जिस क्रम में उन्हें चुना जाता है वह मायने नहीं रखता है और इसके अलावा, एक प्रकार की चॉकलेट को दो बार से अधिक चुना जा सकता है। सूत्र को लागू करना, आपको निम्न करना होगा:

_nसी_आर = एन! R (एन - आर)! आर!

₅सी₄ = ५! 4 (५ - ४)! 4!

₅सी₄ = ५! ! (1)! 4!

₅सी₄ = 5_*4_*3_*2_*१ ÷ ४_*3_*2_*1

₅सी₄ = 4 चॉकलेट्स चुनने के लिए 120 ocol 24 = 5 अलग-अलग तरीके.

जब सेट (n) के सभी तत्वों (r) को लिया जाता है, तो संयोजन का सिद्धांत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

_nसी_{n =} n!

हल किए गए अभ्यास

व्यायाम 1

आपके पास 14 सदस्यों वाली एक बेसबॉल टीम है। एक गेम के लिए आप कितने तरीकों से 5 पोजीशन असाइन कर सकते हैं?

समाधान

सेट 14 तत्वों से बना है और आप 5 विशिष्ट पदों को निर्दिष्ट करना चाहते हैं; यह, वह आदेश मायने रखता है। क्रमपरिवर्तन सूत्र लागू किया जाता है जहां n उपलब्ध तत्व आर के द्वारा गठित सेट के कुछ हिस्सों द्वारा लिए जाते हैं.

_nपी_{आर =} n! R (एन - आर)!

जहाँ n = 14 और r = 5. इसे सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है:

₁₄पी₅ = 14! 5 (14 - 5)!

₁₄पी₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄पी₅ = 9 गेम पोजीशन को असाइन करने के लिए 240 240 तरीके.

व्यायाम २

यदि 9 सदस्यों का एक परिवार यात्रा पर जाता है और लगातार सीटों के साथ अपने टिकट खरीदता है, तो वे कितने अलग तरीके से बैठ सकते हैं?

समाधान

यह लगभग 9 तत्व हैं जो लगातार 9 सीटों पर कब्जा कर लेंगे.

पी₉ = 9!

पी₉ = 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 = 362 880 बैठने के विभिन्न तरीके.

संदर्भ

1. हॉपकिंस, बी (2009)। शिक्षण असतत गणित के लिए संसाधन: कक्षा परियोजनाओं, इतिहास मॉड्यूल, और लेख.
2. जॉनसनबो, आर। (2005)। असतत गणित पियर्सन शिक्षा,.
3. लुत्फ़िया, एल.ए. (2012)। परिमित और असतत गणित समस्या सॉल्वर। रिसर्च एंड एजुकेशन एसोसिएशन एडिटर्स.
4. पडरो, एफ। सी। (2001)। असतत गणित Politec। कैटालुन्या का.
5. स्टेनर, ई। (2005)। लागू विज्ञान के लिए गणित। Reverte.