समानताएं विशेषताएँ, प्रकार, क्षेत्र, आयतन

एक समानांतर खात एक ज्यामितीय निकाय है जो छह चेहरों से बनता है, जिसकी मुख्य विशेषता यह है कि उनके सभी चेहरे समांतर चतुर्भुज हैं और उनके विपरीत चेहरे भी एक दूसरे के समानांतर हैं। यह हमारे दैनिक जीवन में एक आम पॉलीहेड्रॉन है, क्योंकि हम इसे जूते के बक्से, एक ईंट के आकार, एक माइक्रोवेव के आकार, आदि में पा सकते हैं।.

एक पॉलीहेड्रॉन होने के नाते, समानांतर चतुर्भुज एक परिमित मात्रा को जोड़ता है और इसके सभी चेहरे सपाट होते हैं। यह प्रिज्म के समूह का हिस्सा है, जो कि पॉलीहेड्रा हैं जिसमें उनके सभी कोने दो समानांतर विमानों में समाहित हैं.

सूची

• 1 समानांतर चतुर्भुज के तत्व
  • १.१ मुख
  • 1.2 किनारों
  • 1.3 वर्टेक्स
  • 1.4 विकर्ण
  • 1.5 केंद्र
• समानता के 2 लक्षण
• 3 प्रकार
  • 3.1 विकर्णों की गणना
• 4 क्षेत्र
  • 4.1 एक ऑर्थोहेड्रॉन का क्षेत्र
  • 4.2 एक घन का क्षेत्रफल
  • ४.३ एक rhombohedron का क्षेत्रफल
  • 4.4 एक झूमर का क्षेत्रफल
• 5 एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन
  • ५.१ अचूक समानता
• 6 ग्रंथ सूची

समांतर कोश के तत्व

कैरस

वे समांतर चतुर्भुज द्वारा गठित क्षेत्रों में से प्रत्येक हैं जो समांतर कोश को सीमित करते हैं। एक पैरालीपाइप्ड में छह चेहरे होते हैं, जहां प्रत्येक चेहरे में चार आसन्न चेहरे होते हैं और एक विपरीत होता है। इसके अलावा, प्रत्येक पक्ष इसके विपरीत के साथ समानांतर है.

Aristas

वे दो चेहरे के सामान्य पक्ष हैं। कुल में एक समानांतर चतुर्भुज के बारह किनारे हैं.

शिखर

यह उन तीन चेहरों में से एक है जो एक-दूसरे से दो-दो होते हैं। एक समानांतर चतुर्भुज में आठ कोने होते हैं.

विकर्ण

एक समानांतर चतुर्भुज के दो विपरीत पक्षों को देखते हुए, हम एक रेखा खंड खींच सकते हैं जो एक चेहरे के शीर्ष से दूसरे के विपरीत शिखर तक जाता है.

इस खंड को समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण के रूप में जाना जाता है। प्रत्येक समानांतर चतुर्भुज में चार विकर्ण होते हैं.

केंद्र

यह वह बिंदु है जिस पर सभी विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं.

समांतर कोश की विशेषताएँ

जैसा कि हमने उल्लेख किया है, इस ज्यामितीय शरीर में बारह किनारों, छह चेहरे और आठ कोने हैं.

एक समानांतर चतुर्भुज में आप चार किनारों द्वारा गठित तीन सेटों की पहचान कर सकते हैं, जो एक दूसरे के समानांतर हैं। इसके अलावा, इन सेटों के किनारों की लंबाई समान होने की संपत्ति को भी पूरा करता है.

एक अन्य गुण जो समानता का गुण रखता है वह यह है कि वे उत्तल हैं, अर्थात यदि हम समांतर चतुर्भुज के आंतरिक से संबंधित किसी भी बिंदु को लेते हैं, तो कहा गया है कि उक्त जोड़ी द्वारा निर्धारित खंड भी समांतर कोश के अंदर होगा।.

इसके अलावा, उत्तल बहुभुज उत्तल पॉलीहेड के लिए यूलर प्रमेय का अनुपालन करते हैं, जो हमें चेहरे की संख्या, किनारों की संख्या और कोने की संख्या के बीच संबंध देता है। यह संबंध निम्नलिखित समीकरण के रूप में दिया गया है:

सी + वी = ए + २

इस विशेषता को यूलर की विशेषता के रूप में जाना जाता है.

जहाँ C, चेहरों की संख्या, V संख्याओं की संख्या और A के किनारों की संख्या है.

टाइप

हम निम्न प्रकारों में उनके चेहरे के आधार पर समानताएं वर्गीकृत कर सकते हैं:

घनाभ

वे समानताएं हैं जहां उनके चेहरे छह आयतों द्वारा बनते हैं। प्रत्येक आयत उन लोगों के साथ लंबवत है जो इसे साझा करते हैं। वे हमारे दैनिक जीवन में सबसे आम हैं जो जूते के बक्से और ईंटों का सामान्य तरीका है.

घन या नियमित हेक्साहेड्रॉन

यह पिछले एक का एक विशेष मामला है, जहां प्रत्येक चेहरा एक वर्ग है.

क्यूब भी ज्यामितीय निकायों का हिस्सा है जिसे प्लैटोनिक ठोस कहा जाता है। एक प्लैटोनिक ठोस एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन है, जिससे इसके चेहरे और इसके आंतरिक कोण दोनों एक दूसरे के बराबर हैं.

romboedro

यह अपने चेहरे पर हीरे के साथ एक समानता है। ये हीरे एक-दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि वे किनारों को साझा करते हैं.

Romboiedro

इसके छह चेहरे rhomboids हैं। स्मरण करो कि एक रुबॉइड एक बहुभुज है जिसमें चार भुजाएँ और चार कोण हैं जो दो-दो के बराबर हैं। रॉमबॉइड्स समांतर चतुर्भुज हैं जो न तो वर्गाकार हैं, न ही आयताकार, न ही रंबल.

दूसरी ओर, तिरछी समानताएं वे हैं जिनमें कम से कम एक ऊंचाई इसके किनारे से सहमत नहीं है। इस वर्गीकरण में हम rhombohedrons और rhombichedrons को शामिल कर सकते हैं.

विकर्ण गणना

एक ऑर्थोहेड्रोन के विकर्ण की गणना करने के लिए हम आर के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं³.

स्मरण करो कि एक ऑर्थोहेड्रोन की विशेषता है कि प्रत्येक पक्ष किनारे साझा करने वाले पक्षों के साथ लंबवत है। इस तथ्य से हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि प्रत्येक किनारा उन लोगों के साथ लंबवत है जो शीर्ष साझा करते हैं.

एक ऑर्थोहेड्रोन के विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

1. हम एक चेहरे के विकर्ण की गणना करते हैं, जिसे हम आधार के रूप में डालेंगे। इसके लिए हम पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हैं। इस विकर्ण का नाम d_ख.

2. फिर डी के साथ_ख हम एक नया सही त्रिकोण बना सकते हैं, जैसे कि कहा गया त्रिभुज का कर्ण विकर्ण D है.

3. हम फिर से पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हैं और हमारे पास कहा जाता है कि विकर्ण की लंबाई है:

अधिक ग्राफिक तरीके से विकर्णों की गणना करने का एक और तरीका मुफ्त वैक्टर के योग के साथ है.

याद रखें कि वेक्टर बी की पूंछ को वेक्टर ए की नोक से रखकर दो मुक्त वैक्टर ए और बी जोड़े जाते हैं.

वेक्टर (A + B) वह है जो A की पूंछ से शुरू होता है और B के सिरे पर समाप्त होता है.

एक समानता पर विचार करें, जिससे हम एक विकर्ण की गणना करना चाहते हैं.

हम किनारों को सुविधाजनक रूप से उन्मुख वैक्टर के साथ पहचानते हैं.

फिर हम इन वैक्टर को जोड़ते हैं और परिणामस्वरूप वेक्टर समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण होगा.

क्षेत्र

एक समानता का क्षेत्र उनके चेहरे के प्रत्येक क्षेत्र के योग द्वारा दिया गया है.

यदि हम आधार में से किसी एक पक्ष को निर्धारित करते हैं,

एक_एल + 2A_बी = कुल क्षेत्रफल

जहां ए_एल आधार से सटे सभी पक्षों के क्षेत्रों के योग के बराबर है, जिसे पार्श्व क्षेत्र और ए कहा जाता है_बी आधार क्षेत्र है.

हम जिस सूत्र पर काम कर रहे हैं, उसके आधार पर हम जिस सूत्र पर काम कर रहे हैं, उसके आधार पर हम सूत्र को फिर से लिख सकते हैं.

एक ऑर्थोहेड्रॉन का क्षेत्र

यह सूत्र द्वारा दिया गया है

A = 2 (ab + bc + ca).

उदाहरण 1

निम्नलिखित orthohedron को देखते हुए, पक्षों के साथ = 6 सेमी, बी = 8 सेमी और सी = 10 सेमी, समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्र और उसके विकर्ण की लंबाई की गणना करें.

एक orthohedron के क्षेत्र के लिए सूत्र का उपयोग करना है

ए = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 सेमी².

ध्यान दें कि चूंकि यह एक ऑर्थोहेड्रॉन है, इसलिए इसके चार विकर्णों में से किसी की लंबाई समान है.

अंतरिक्ष के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना है

डी = (6)² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

एक घन का क्षेत्र

चूंकि प्रत्येक किनारे की लंबाई समान है, इसलिए हमारे पास एक = बी और ए = सी है। हमारे पास पिछले फॉर्मूले में मौजूद है

अ = २ (आ + आ + आ) = २ (३ अ)²) = 6 ए²

ए = 6 ए²

उदाहरण 2

गेम कंसोल के बॉक्स में क्यूब का आकार होता है। अगर हम उपहार बॉक्स के साथ इस बॉक्स को लपेटना चाहते हैं, तो हम यह जानकर कितना कागज खर्च करेंगे कि क्यूब के किनारों की लंबाई 45 सेमी है?

क्यूब क्षेत्र के सूत्र का उपयोग करके हम इसे प्राप्त करते हैं

A = 6 (45 सेमी)² = 6 (2025 सेमी²= 12150 सेमी²

एक rhombohedron का क्षेत्र

चूंकि उनके सभी चेहरे समान हैं, इसलिए उनमें से किसी एक के क्षेत्र की गणना करना और इसे छह से गुणा करना पर्याप्त है.

हम निम्नलिखित सूत्र के साथ अपने विकर्णों का उपयोग करके हीरे के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं

एक_आर = (Dd) / २

इस फार्मूले का उपयोग करते हुए यह निम्नानुसार है कि rhombohedron का कुल क्षेत्रफल है

एक_टी = 6 (Dd) / 2 = 3 डी.

उदाहरण 3

निम्नलिखित rhombohedron के चेहरे एक rhombus द्वारा निर्मित होते हैं जिनके विकर्ण D = 7 सेमी और d = 1 सेमी होते हैं। आपका क्षेत्र होगा

ए = 3 (7 सेमी) (4 सेमी) = 84 सेमी².

एक समचतुर्भुज का क्षेत्र

एक समचतुर्भुज के क्षेत्र की गणना करने के लिए हमें उस रचना के क्षेत्र की गणना करनी चाहिए जो इसे बनाता है। चूंकि समानांतर चतुर्भुज उस संपत्ति का अनुपालन करते हैं जो विपरीत पक्षों का एक ही क्षेत्र होता है, हम पक्षों को तीन जोड़े में जोड़ सकते हैं.

इस तरह से हमारे पास आपका क्षेत्र होगा

एक_टी = 2 बी₁ज₁ + 2 बी₂ज₂ + 2 बी₃ज₃

जहां बी_मैं पक्षों और पक्षों के साथ जुड़े आधार हैं_मैं उक्त ठिकानों के अनुरूप इसकी सापेक्ष ऊँचाई.

उदाहरण 4

निम्नलिखित समानता पर विचार करें,

जहाँ पक्ष A और भुजा A '(इसके विपरीत पक्ष) का आधार b = 10 है और ऊँचाई h = 6. के रूप में चिह्नित क्षेत्र का मान होगा

एक₁ = 2 (10) (6) = 120

B और B के पास b = 4 और h = 6 है, तब

एक₂ = 2 (4) (6) = 48

और C और C 'में b = 10 और h = 5 है, इसलिए

एक₃ = 2 (10) (5) = 100

अंत में rhombohedron का क्षेत्र है

ए = 120 + 48 + 100 = 268.

एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन

वह सूत्र जो हमें एक समांतर चतुर्भुज का आयतन प्रदान करता है, वह उसके चेहरे के ऊंचाई से उसके चेहरे के क्षेत्रफल का गुणनफल है, जिसे वह चेहरा कहते हैं।.

वी = ए_सीज_सी

समानांतर चतुर्भुज के प्रकार के आधार पर सूत्र को सरल बनाया जा सकता है.

इसलिए हमारे पास एक उदाहरण है कि ऑर्थोहेड्रॉन का आयतन किसके द्वारा दिया जाएगा

वी = एबीसी.

जहां ए, बी और सी ऑर्थोहेड्रोन किनारों की लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं.

और क्यूब के विशेष मामले में है

वी = ए³

उदाहरण 1

कुकीज़ के बक्से के लिए तीन अलग-अलग मॉडल हैं और आप जानना चाहते हैं कि इनमें से कौन से मॉडल में आप अधिक कुकीज़ स्टोर कर सकते हैं, यानी किस बॉक्स में सबसे अधिक मात्रा है.

पहला एक घन है जिसकी धार की लंबाई = 10 सेमी है

इसकी मात्रा V = 1000 सेमी होगी³

दूसरे में किनारे बी = 17 सेमी, सी = 5 सेमी, डी = 9 सेमी हैं

और इसलिए इसकी मात्रा V = 765 सेमी है³

और तीसरे में ई = 9 सेमी, एफ = 9 सेमी और जी = 13 सेमी है

और इसकी मात्रा V = 1053 सेमी है³

इसलिए, सबसे बड़ी मात्रा वाला बॉक्स तीसरा है.

एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन प्राप्त करने का एक और तरीका वेक्टर बीजगणित का सहारा लेना है। विशेष रूप से, ट्रिपल स्केलर उत्पाद.

ज्यामितीय व्याख्याओं में से एक जिसमें ट्रिपल स्केलर उत्पाद है, समांतर चतुर्भुज की मात्रा है, जिसके किनारे तीन वैक्टर हैं जो एक ही बिंदु के रूप में एक ही शीर्ष साझा करते हैं.

इस तरह से अगर हमारे पास एक समानता है और हम जानना चाहते हैं कि इसकी मात्रा क्या है, तो यह आर में एक समन्वय प्रणाली में इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त है।³ मूल के साथ इसके एक कोने का मिलान.

फिर हम किनारों को दर्शाते हैं जो वैक्टर के साथ मूल में रहते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है.

और इस तरह से हमारे पास यह है कि उक्त समांतर कोश की मात्रा किसके द्वारा दी गई है

वी = | एक्सबी ∙ सी |

या समकक्ष मात्रा 3 × 3 मैट्रिक्स का निर्धारक है, जो किनारे के वैक्टर के घटकों द्वारा बनाई गई है.

उदाहरण 2

आर में अगले समानांतर चतुर्भुज का प्रतिनिधित्व करके³ हम देख सकते हैं कि इसे निर्धारित करने वाले वैक्टर निम्नलिखित हैं

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) और w = (-0.25, -4, 4)

ट्रिपल स्केलर उत्पाद का उपयोग करना हमारे पास है

वी = | (uxv) | w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) = w = (0,0, - 15) -0 (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि V = 60

अब आर 3 में निम्नलिखित समानताएं पर विचार करें जिनके किनारों को वैक्टर द्वारा निर्धारित किया जाता है

ए = (2, 5, 0), बी = (6, 1, 0) और सी = (3, 4, 4)

निर्धारकों का उपयोग करना हमें देता है

इसलिए हमारे पास कहा गया है कि उक्त समानता की मात्रा 112 है.

दोनों मात्रा की गणना के समान तरीके हैं.

बिल्कुल सही समानता है

इसे यूलर की ईंट (या यूलर के ब्लॉक) के रूप में जाना जाता है, जो एक ऑर्थोहेड्रॉन है जो उस संपत्ति को पूरा करती है, जिसके किनारों की लंबाई और उसके प्रत्येक चेहरे के विकर्णों की लंबाई पूर्णांक होती है.

जबकि यूलर उस संपत्ति को पूरा करने वाले ऑर्थोहेड्रों का अध्ययन करने वाला पहला वैज्ञानिक नहीं था, उसने उनके बारे में दिलचस्प परिणाम पाए.

छोटे यूलर ईंट की खोज पॉल हैल्के ने की थी और इसके किनारों की लंबाई a = 44, b = 117 और c = 240 है.

संख्या सिद्धांत में एक खुली समस्या इस प्रकार है

क्या सही ओर्थोहेड्रॉन हैं?

वर्तमान में, इस प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता है, क्योंकि यह साबित करना संभव नहीं है कि ये निकाय मौजूद नहीं हैं, लेकिन दोनों में से कोई भी नहीं मिला है.

अब तक जो दिखाया गया है वह सही समानता है। सबसे पहले खोजे जाने वाले इसके किनारों की लंबाई 103, 106 और 271 है.

ग्रन्थसूची

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