न्यूनतम वर्ग विधि, हल किए गए व्यायाम और यह क्या कार्य करता है

की विधि सबसे कम वर्ग कार्यों के सन्निकटन में सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक है। यह विचार एक वक्र को खोजने के लिए है, जैसे कि ऑर्डर किए गए जोड़े का एक सेट दिया गया है, यह फ़ंक्शन बेहतर रूप से डेटा का अनुमान लगाता है। फ़ंक्शन एक रेखा, एक द्विघात वक्र, एक घन वक्र, आदि हो सकता है।.

विधि का विचार निर्देशांक (घटक Y) में अंतरों के वर्गों के योग को कम करना है, चुने हुए फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न बिंदुओं और डेटा सेट से संबंधित बिंदुओं के बीच।.

सूची

• 1 कम से कम चौकोर विधि
• 2 व्यायाम हल किए
  • २.१ व्यायाम १
  • २.२ व्यायाम २
• 3 यह किस लिए है??
• 4 संदर्भ

कम से कम वर्ग विधि

विधि देने से पहले, हमें पहले इस बारे में स्पष्ट होना चाहिए कि "बेहतर दृष्टिकोण" का क्या अर्थ है। मान लें कि हम एक लाइन y = b + mx की तलाश करते हैं, जो n बिंदुओं के एक सेट का प्रतिनिधित्व करती है, जिसका नाम (X1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn) है.

जैसा कि पिछले आंकड़े में दिखाया गया है, यदि चर x और y, लाइन y = b + mx से संबंधित थे, तो x = X1 के लिए y का संबंधित मान b + mx1 होगा। हालाँकि, यह मान y के वास्तविक मान से अलग है, जो y = y1 है.

याद रखें कि विमान में, दो बिंदुओं के बीच की दूरी निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है:

इसे ध्यान में रखते हुए, यह निर्धारित करने के लिए कि लाइन y = b + mx का चयन कैसे करें जो दिए गए डेटा को सबसे अच्छी तरह से बताता है, यह उस रेखा के चयन का उपयोग करने के लिए समझ में आता है जो मापदंड के रूप में बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्गों का योग कम करता है और सीधे.

चूँकि अंक (X1, y1) और (X1, b + mx1) के बीच की दूरी y1- (b + mx1) है, इसलिए हमारी समस्या संख्या m और b को खोजने के लिए कम है, ताकि निम्नलिखित योग न्यूनतम हो:

इस स्थिति को पूरा करने वाली रेखा को "अंक (X1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)" के लिए सबसे कम वर्ग रेखा के सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।.

एक बार समस्या हल हो जाने के बाद, हमें बस कम से कम चौकोर अंदाजा लगाने के लिए एक तरीका चुनना होगा। यदि अंक (X1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) सभी लाइन y = mx + b पर हों, तो हमें मेल करना होगा और:

इस अभिव्यक्ति में:

अंत में, यदि अंक आपस में नहीं मिलते हैं, तो y-Au = 0 और समस्या का सदिश या ऐसा पता लगाने में अनुवाद किया जा सकता है कि यूक्लिडियन मानदंड न्यूनतम हो.

वेक्टर को कम करना उतना मुश्किल नहीं है जितना आप सोच सकते हैं। चूँकि A एक मैट्रिक्स nx2 है और u एक 2 × 1 मैट्रिक्स है, इसलिए हमारे पास यह है कि वेक्टर Au R में एक वेक्टर हैⁿ और यह A की छवि से संबंधित है, जो R का एक उप-समूह हैⁿ एक आयाम के साथ दो से अधिक नहीं.

हम मानेंगे कि n = 3 दिखाने के लिए कौन सी प्रक्रिया है जिसका पालन किया जाना चाहिए। यदि n = 3, ए की छवि एक विमान या रेखा होगी जो मूल से गुजरती है.

आज्ञा देना कम से कम वेक्टर हो। जब हम देखते हैं कि चित्र में y-Au कम से कम है जब यह ए की छवि के लिए orthogonal है। अर्थात, यदि v न्यूनतम वेक्टर है, तो ऐसा होता है:

फिर, हम उपरोक्त को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

यह तभी हो सकता है जब:

अंत में, v को साफ़ करते हुए, हमें निम्न करना होगा:

ए के बाद से ऐसा करना संभव है^टीA तब तक उलटा होता है जब तक n अंक दिए गए होते हैं जब तक कि डेटा समतल नहीं होता है.

अब, यदि हम एक पंक्ति की तलाश में हैं, तो हम एक परबोला ढूंढना चाहते हैं (जिसकी अभिव्यक्ति y = a + b + cx होगी।²) कि n डेटा बिंदुओं के लिए एक बेहतर सन्निकटन था, इस प्रक्रिया को नीचे वर्णित किया जाएगा.

यदि n डेटा पॉइंट्स पैराबोला में होते हैं, तो यह निम्न होगा:

तो:

इसी तरह से हम y = Au लिख सकते हैं। यदि सभी बिंदु परवलय में नहीं हैं, तो हमारे पास यह है कि y-Au किसी भी वेक्टर यू के लिए शून्य से अलग है और हमारी समस्या फिर से है: R3 में एक वेक्टर यू ढूंढें जैसे कि इसका आदर्श || y-Au || जितना संभव हो उतना छोटा हो.

पिछली प्रक्रिया को दोहराकर, हम उस वेक्टर पर पहुंच सकते हैं जिसे खोजा गया है:

हल किए गए अभ्यास

व्यायाम 1

उस रेखा का पता लगाएं जो अंक (1,4), (-2,5), (3, -1) और (4,1) को सबसे बेहतर मानती है.

समाधान

हमारे पास है:

तो:

इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि बिंदुओं को सबसे अच्छी तरह से फिट करने वाली रेखा निम्न द्वारा दी गई है:

व्यायाम २

मान लीजिए कि एक वस्तु 200 मीटर की ऊंचाई से गिराई गई है। गिरते समय, निम्नलिखित उपाय किए जाते हैं:

हम जानते हैं कि टाइम टी पास करने के बाद उक्त ऑब्जेक्ट की ऊंचाई, निम्न द्वारा दी गई है:

यदि हम g का मान प्राप्त करना चाहते हैं, तो हम एक परबोला पा सकते हैं जो तालिका में दिए गए पांच बिंदुओं के लिए एक बेहतर सन्निकटन है, और इस प्रकार हमारे पास गुणांक होगा जो t के साथ है² यदि माप सटीक हैं, तो यह (-1/2) g तक एक उचित सन्निकटन होगा.

हमारे पास है:

और फिर:

तो डेटा बिंदुओं को निम्न द्विघात अभिव्यक्ति द्वारा समायोजित किया जाता है:

फिर, आपको निम्न करना होगा:

यह एक ऐसा मान है जो यथोचित रूप से सही के करीब है, जो कि g = 9.81 m / s है². जी का अधिक सटीक अनुमान प्राप्त करने के लिए अधिक सटीक टिप्पणियों से शुरू करना आवश्यक होगा.

इसके लिए क्या है??

प्राकृतिक या सामाजिक विज्ञान में होने वाली समस्याओं में कुछ गणितीय अभिव्यक्ति के माध्यम से विभिन्न चर के बीच होने वाले संबंधों को लिखना सुविधाजनक है.

उदाहरण के लिए, हम एक सरल सूत्र के माध्यम से लागत (C), आय (I) और अर्थशास्त्र में मुनाफे (U) से संबंधित कर सकते हैं:

भौतिकी में, हम गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाले त्वरण से संबंधित हो सकते हैं, जिस समय कोई वस्तु गिर रही है और कानून द्वारा वस्तु की ऊंचाई:

पिछली अभिव्यक्ति में एस_या उस वस्तु की प्रारंभिक ऊंचाई है और वी_या आपकी प्रारंभिक गति है.

हालाँकि, इन जैसे सूत्रों को खोजना कोई आसान काम नहीं है; आम तौर पर यह कई डेटा के साथ काम करने के लिए पेशेवर पर निर्भर है और विभिन्न डेटा के बीच संबंधों को खोजने के लिए बार-बार कई प्रयोग करते हैं (यह सत्यापित करने के लिए कि प्राप्त परिणाम स्थिर हैं).

इसे प्राप्त करने का एक सामान्य तरीका यह है कि एक विमान में प्राप्त आंकड़ों को बिंदुओं के रूप में दर्शाया जाए और एक सतत कार्य की तलाश की जाए जो इन बिंदुओं को बेहतर तरीके से दृष्टिकोण करे.

फ़ंक्शन को खोजने के तरीकों में से एक यह है कि दिए गए डेटा को "सर्वश्रेष्ठ अनुमानित करता है" कम से कम वर्गों की विधि द्वारा है.

इसके अलावा, जैसा कि हमने अभ्यास में भी देखा था, इस पद्धति के लिए धन्यवाद, हम भौतिक स्थिरांक के काफी करीब हो सकते हैं.

संदर्भ

1. चार्ल्स डब्ल्यू कर्टिस रेखीय बीजगणित। स्प्रिंगर-Velarg
2. कै लाई चुंग स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के साथ प्राथमिक क्षमता सिद्धांत। स्प्रिंगर-वर्लग न्यूयॉर्क इंक
3. रिचर्ड एल एल बर्डन और जे। डगलस फेयरेस। संख्यात्मक विश्लेषण (7ed)। थॉम्पसन लर्निंग.
4. स्टेनली आई। ग्रॉसमैन। रैखिक बीजगणित के अनुप्रयोग। MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA डे MEXICO
5. स्टेनली आई। ग्रॉसमैन। रेखीय बीजगणित MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA डे MEXICO