लीनियर इंटरपोलेशन विधि, सॉल्व्ड एक्सरसाइज

रैखिक प्रक्षेप एक विधि है जो न्यूटन के सामान्य प्रक्षेप से उत्पन्न होती है और दो अज्ञात संख्याओं के बीच एक अज्ञात मूल्य का अनुमान लगाने की अनुमति देती है; वह है, एक मध्यवर्ती मूल्य है। यह अनुमानित कार्यों के लिए भी लागू किया जाता है, जहां मान एफ_(ए) और च_(बी) वे जाने जाते हैं और आप च के मध्यवर्ती को जानना चाहते हैं_{(एक्स)}.

विभिन्न प्रकार के प्रक्षेप होते हैं, जैसे कि रैखिक, द्विघात, घन और उच्च ग्रेड, सबसे सरल रेखीय सन्निकटन होता है। रैखिक प्रक्षेप के साथ भुगतान किया जाना चाहिए कि परिणाम उच्च ग्रेड के कार्यों द्वारा सन्निकटन के साथ के रूप में सटीक नहीं होगा.

सूची

• 1 परिभाषा
• 2 विधि
• 3 व्यायाम हल किए
  • ३.१ व्यायाम १
  • ३.२ व्यायाम २
• 4 संदर्भ

परिभाषा

रैखिक प्रक्षेप एक ऐसी प्रक्रिया है जो आपको दो अच्छी तरह से परिभाषित मूल्यों के बीच एक मूल्य को कम करने की अनुमति देती है, जो एक तालिका या एक रेखीय ग्राफ़ में हो सकती है.

उदाहरण के लिए, यदि आप जानते हैं कि 3 लीटर दूध की कीमत $ 4 है और 5 लीटर की कीमत $ 7 है, लेकिन आप जानना चाहते हैं कि 4 लीटर दूध का मूल्य क्या है, तो उस मध्यवर्ती मूल्य को निर्धारित करने के लिए प्रक्षेपित किया जाता है.

विधि

किसी फ़ंक्शन के मध्यवर्ती मान का अनुमान लगाने के लिए फ़ंक्शन f अनुमानित है_{(एक्स)} सीधी रेखा के माध्यम से आर_{(एक्स)}, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन "x" के साथ "x = a" और "x = b" के लिए रैखिक रूप से भिन्न होता है; अंतराल में (x) मान के लिए "x" है₀, एक्स₁) और (और₀, और₁), "y" का मान बिंदुओं के बीच की रेखा द्वारा दिया जाता है और निम्नलिखित संबंध द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(और - और₀) - (एक्स - एक्स₀) = (और₁ - और₀) X (x)₁ - एक्स₀)

एक प्रक्षेप रैखिक होने के लिए, यह आवश्यक है कि प्रक्षेप बहुपद डिग्री एक (n = 1) का हो, ताकि यह x के मानों में समायोजित हो जाए₀ और एक्स_1.

रैखिक प्रक्षेप त्रिकोणों की समानता पर आधारित है, ताकि, पिछली अभिव्यक्ति से ज्यामितीय रूप से व्युत्पन्न हो, हम "y" का मान प्राप्त कर सकते हैं, जो "x" के लिए अज्ञात मान का प्रतिनिधित्व करता है.

इस तरह से आपको निम्न करना होगा:

a = tan Ɵ = (विपरीत दिशा में)₁ Leg आसन्न पैर₁) = (विपरीत पक्ष₂ Leg आसन्न पैर₂)

दूसरे तरीके से व्यक्त किया, यह है:

(और - और₀) - (एक्स - एक्स₀) = (और₁ - और₀) X (x)₁ - एक्स₀)

समाशोधन "और" भावों का, आपके पास:

(और - और₀) _* (एक्स₁ - एक्स₀) = (एक्स - एक्स₀) _* (और₁ - और₀)

(और - और₀) = (और₁ - और₀) _* [(x - x₀) X (x)₁ - एक्स₀)]

इस प्रकार, हम रैखिक प्रक्षेप के लिए सामान्य समीकरण प्राप्त करते हैं:

य = य_{0 +} (और₁ - और₀) _* [(x - x₀) X (x)₁ - एक्स₀)]

सामान्य तौर पर, रैखिक प्रक्षेप वास्तविक कार्य के वास्तविक मूल्य पर एक छोटी सी त्रुटि देता है, हालांकि त्रुटि की तुलना में कम से कम है यदि आप सहजता से उस संख्या को चुनते हैं जिसे आप खोजना चाहते हैं।.

यह त्रुटि तब होती है जब आप एक सीधी रेखा के साथ वक्र के मान को अनुमानित करने का प्रयास करते हैं; उन मामलों के लिए अंतराल को अधिक सटीक बनाने के लिए अंतराल के आकार को कम किया जाना चाहिए.

दृष्टिकोण के संबंध में बेहतर परिणामों के लिए, प्रक्षेप करने के लिए ग्रेड 2, 3 या उससे भी उच्च ग्रेड फ़ंक्शन का उपयोग करना उचित है। इन मामलों के लिए टेलर प्रमेय एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है.

हल किए गए अभ्यास

व्यायाम 1

निम्न तालिका में प्रस्तुत किए जाने के बाद एक ऊष्मायन में मौजूद प्रति इकाई मात्रा में बैक्टीरिया की संख्या। आप जानना चाहते हैं कि 3.5 घंटे के लिए बैक्टीरिया की मात्रा क्या है.

समाधान

संदर्भ तालिका एक मान स्थापित नहीं करती है जो 3.5 घंटे के समय के लिए बैक्टीरिया की मात्रा को इंगित करता है लेकिन क्रमशः 3 और 4 घंटे के समय के लिए उच्च और निम्न मान है। इस तरह से:

एक्स₀ = 3 और₀ = 91

x = 3.5 y =?

एक्स₁ = 4 और₁ = 135

अब, गणितीय समीकरण को प्रक्षेपित मान ज्ञात करने के लिए लागू किया जाता है, जो निम्नलिखित है:

य = य_{0 +} (और₁ - और₀) _* [(x - x₀) X (x)₁ - एक्स₀)].

फिर संबंधित मान बदल दिए जाते हैं:

y = 91 + (135 - 91) _* [(३,५ - ३) 3 (४ - ३)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0.5

य = ११३.

इस प्रकार यह प्राप्त होता है कि 3.5 घंटे के लिए, बैक्टीरिया की मात्रा 113 है, जो 3 और 4 घंटे के समय में मौजूद बैक्टीरिया की मात्रा के बीच एक मध्यवर्ती स्तर का प्रतिनिधित्व करता है.

व्यायाम २

लुइस की एक आइसक्रीम फैक्ट्री है, और वह अगस्त में किए गए खर्चों से होने वाली आय को निर्धारित करने के लिए एक अध्ययन करना चाहता है। कंपनी का प्रबंधक एक ग्राफ बनाता है जो उस रिश्ते को व्यक्त करता है, लेकिन लुइस जानना चाहता है:

अगस्त के लिए आय क्या है, अगर 55,000 डॉलर का खर्च किया गया था??

समाधान

आय और व्यय के मूल्यों के साथ एक ग्राफ दिया जाता है। लुइस जानना चाहते हैं कि अगस्त की आय क्या है अगर कारखाने में $ 55,000 का खर्च था। यह मान सीधे ग्राफ़ में परिलक्षित नहीं होता है, लेकिन इसके मुकाबले उच्च और निम्न मान हैं.

पहले एक तालिका बनाई गई है जहाँ आसानी के साथ मूल्यों का संबंध है:

अब, y के मूल्य को निर्धारित करने के लिए प्रक्षेप सूत्र का उपयोग किया जाता है

य = य_{0 +} (और₁ - और₀) _* [(x - x₀) X (x)₁ - एक्स₀)]

फिर संबंधित मान बदल दिए जाते हैं:

y = 56,000 + (78,000 - 56,000) _* [(55,000 - 45,000) ((62,000 - 45,000)]

y = 56,000 + (22,000) _* [(10,000) ÷ (17,000)]

y = 56,000 + (22,000) _* (0.588)

y = 56,000 + 12,936

y = $ 68,936.

यदि अगस्त में $ 55,000 का व्यय किया गया था, तो आय $ 68,936 थी.

संदर्भ

1. आर्थर गुडमैन, एल। एच। (1996)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ बीजगणित और त्रिकोणमिति। पियर्सन शिक्षा.
2. हार्प, पी। डी। (2000)। ज्यामितीय समूह सिद्धांत में विषय। शिकागो विश्वविद्यालय प्रेस.
3. हेज़ेविंकल, एम। (2001)। रैखिक प्रक्षेप ", गणित का विश्वकोश.
4. , जे। एम। (1998)। इंजीनियरिंग के लिए संख्यात्मक तरीकों के तत्व। UASLP.
5. , ई। (2002)। प्रक्षेप का एक कालक्रम: प्राचीन खगोल विज्ञान से आधुनिक संकेत और छवि प्रसंस्करण तक। IEEE की कार्यवाही.
6. संख्यात्मक, आई। ए। (2006)। जेवियर टामस, जोर्डी क्यूडरोस, लुसिनियो गोंजालेज.