विश्लेषणात्मक ज्यामिति क्या अध्ययन, इतिहास, अनुप्रयोग

विश्लेषणात्मक ज्यामिति एक विशिष्ट समन्वय प्रणाली में बुनियादी बीजगणित तकनीकों और गणितीय विश्लेषण को लागू करके लाइनों और ज्यामितीय आंकड़ों का अध्ययन करें.

नतीजतन, विश्लेषणात्मक ज्यामिति गणित की एक शाखा है जो ज्यामितीय आंकड़ों के सभी आंकड़ों का विस्तार से विश्लेषण करती है, जो कि, मात्रा, कोण, क्षेत्र, चौराहे के बिंदुओं, उनकी दूरी, अन्य के बीच में कहते हैं।.

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की मौलिक विशेषता यह है कि यह सूत्रों के माध्यम से ज्यामितीय आंकड़ों के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है.

उदाहरण के लिए, हलकों को दूसरी डिग्री के बहुपद समीकरणों द्वारा दर्शाया जाता है जबकि लाइनें पहले डिग्री के बहुपद समीकरणों के साथ व्यक्त की जाती हैं.

विश्लेषणात्मक ज्यामिति सत्रहवीं शताब्दी में उन समस्याओं के उत्तर प्रदान करने की आवश्यकता से उभरी, जिनका अब तक कोई समाधान नहीं था। उनके पास रेने डेसकार्टेस और पियरे डी फ़र्मेट के शीर्ष प्रतिनिधि थे.

वर्तमान में, कई लेखक इसे गणित के इतिहास में एक क्रांतिकारी रचना के रूप में इंगित करते हैं, क्योंकि यह आधुनिक गणित की शुरुआत का प्रतिनिधित्व करता है.

सूची

• 1 विश्लेषणात्मक ज्यामिति का इतिहास
  • 1.1 विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मुख्य प्रतिनिधि
  • 1.2 पियरे डी फ़र्मेट
  • 1.3 रेने डेसकार्टेस
• विश्लेषणात्मक ज्यामिति के 2 मौलिक तत्व 
  • 2.1 कार्टेशियन समन्वय प्रणाली
  • 2.2 आयताकार समन्वय प्रणाली
  • 2.3 ध्रुवीय समन्वय प्रणाली 
  • 2.4 लाइन का कार्टेशियन समीकरण
  • 2.5 सीधी रेखा
  • 2.6 शंकु
  • 2.7 परिधि
  • 2.8 परवलय
  • 2.9 दीर्घवृत्त 
  • 2.10 हाइपरबोला
• 3 अनुप्रयोग
  • 3.1 सैटेलाइट डिश
  • 3.2 हैंगिंग ब्रिज
  • ३.३ खगोलीय विश्लेषण
  • 3.4 कैसग्रेन टेलिस्कोप
• 4 संदर्भ

विश्लेषणात्मक ज्यामिति का इतिहास

विश्लेषणात्मक ज्यामिति शब्द फ्रांस में सत्रहवीं शताब्दी में उन समस्याओं के उत्तर देने की आवश्यकता से उत्पन्न होता है जिन्हें अलगाव में बीजगणित और ज्यामिति का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था, लेकिन समाधान दोनों के संयुक्त उपयोग में था.

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मुख्य प्रतिनिधि

सत्रहवीं शताब्दी के दौरान, दो फ्रांसीसी लोगों ने, जीवन के संयोग से, जांच की कि एक या दूसरे तरीके से विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माण का अंत हुआ। ये लोग थे पियरे डी फ़र्मेट और रेने डेकार्टेस.

वर्तमान में यह माना जाता है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माता रेने डेसकार्टेस थे। ऐसा इसलिए है क्योंकि उन्होंने अपनी किताब फ़र्मेट से पहले प्रकाशित की थी और डेसकार्टेस के साथ गहराई भी विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विषय से संबंधित है.

हालाँकि, फ़र्मेट और डेसकार्टेस दोनों ने पाया कि रेखाएँ और ज्यामितीय आंकड़े समीकरणों द्वारा व्यक्त किए जा सकते हैं और समीकरणों को लाइनों या ज्यामितीय आंकड़ों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।.

दोनों द्वारा की गई खोजों के अनुसार, यह कहा जा सकता है कि दोनों विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माता हैं.

पियरे डी फ़र्मेट

पियरे डी फ़र्मेट एक फ्रांसीसी गणितज्ञ थे, जिनका जन्म 1601 में हुआ था और 1665 में उनकी मृत्यु हो गई थी। अपने जीवन के दौरान उन्होंने यूक्लिड, एपोलोनियस और पैपस की ज्यामिति का अध्ययन किया, ताकि उस समय मौजूद माप की समस्याओं को हल किया जा सके।.

इसके बाद इन अध्ययनों ने ज्यामिति के निर्माण को गति दी। उन्होंने कहा कि उनकी पुस्तक में व्यक्त किया जा रहा है "समतल और ठोस स्थानों का परिचय"(एड लोको प्लेन्स एट सॉलिडोस इसागोगे), जो 1679 में उनकी मृत्यु के 14 साल बाद प्रकाशित हुआ था.

पियरे डी फ़र्मेट ने 1623 में ज्यामितीय स्थानों पर अपोलोनियस के प्रमेयों के लिए विश्लेषणात्मक ज्यामिति को लागू किया था। यह वह भी था जिसने तीन आयामों के स्थान पर पहली बार विश्लेषणात्मक ज्यामिति लागू की थी.

रेने डेसकार्टेस

कार्टिसियस के रूप में भी जाना जाता था, एक गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और दार्शनिक थे जिनका जन्म 31 मार्च, 1596 को फ्रांस में हुआ था और उनकी मृत्यु 1650 में हुई थी.

रेने डेसकार्टेस ने 1637 में अपनी पुस्तक प्रकाशित की। "सही ड्राइविंग कारण और विज्ञान में सत्य की खोज की विधि पर प्रवचन"बेहतर रूप में जाना जाता है"विधि"और वहां से विश्लेषणात्मक ज्यामिति शब्द को दुनिया के लिए पेश किया गया था। इसका एक परिशिष्ट "ज्योमेट्री" था.

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मौलिक तत्व 

विश्लेषणात्मक ज्यामिति निम्नलिखित तत्वों से बनी है:

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली

इस प्रणाली का नाम रेने डेसकार्टेस के नाम पर रखा गया है.

यह वह नहीं था, जिसने उसका नाम लिया, न ही जिसने कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को पूरा किया, लेकिन वह वह था जिसने सकारात्मक संख्याओं के साथ समन्वय की बात की और भविष्य के विद्वानों को इसे पूरा करने की अनुमति दी।.

यह प्रणाली आयताकार समन्वय प्रणाली और ध्रुवीय समन्वय प्रणाली से बना है.

आयताकार समन्वय प्रणाली

यह एक दूसरे के लिए लंबवत दो संख्यात्मक लाइनों की रेखा से बनने वाले विमान को आयताकार समन्वय प्रणाली कहा जाता है, जहां कट-ऑफ पॉइंट आम शून्य के साथ मेल खाता है.

तब यह प्रणाली एक क्षैतिज रेखा और एक ऊर्ध्वाधर रेखा से बनी होगी.

क्षैतिज रेखा एक्स की धुरी या अनुपस्थिति की धुरी है। ऊर्ध्वाधर रेखा वाई की धुरी या निर्देशकों की धुरी होगी.

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली 

यह प्रणाली एक निश्चित रेखा और रेखा पर एक निश्चित बिंदु के संबंध में एक बिंदु की सापेक्ष स्थिति की पुष्टि करने के लिए जिम्मेदार है.

लाइन का कार्टेशियन समीकरण

यह समीकरण एक रेखा से प्राप्त होता है जब दो बिंदुओं को ज्ञात किया जाता है कि ऐसा कहां होता है.

सीधी रेखा

यह वह है जो विचलन नहीं करता है और इसलिए इसमें कोई वक्र या कोण नहीं है.

शंकुधर

वे सीधी रेखाओं द्वारा परिभाषित वक्र हैं जो एक निश्चित बिंदु से और एक वक्र के बिंदु से गुजरते हैं.

दीर्घवृत्त, परिधि, परवलय और अतिबला शंकु वक्र हैं। अगला, उनमें से प्रत्येक का वर्णन किया गया है.

परिधि

इसे बंद सपाट वक्र की परिधि कहा जाता है जो समतल के सभी बिंदुओं द्वारा निर्मित होता है जो आंतरिक बिंदु के समतुल्य होता है, अर्थात परिधि के केंद्र के लिए.

दृष्टांत

यह एक निश्चित बिंदु (फ़ोकस) और एक निश्चित रेखा (डाइरेक्स) से समतुल्य समतल के बिंदुओं का स्थान है। इसलिए, दिशानिर्देश और फोकस वही हैं जो परवलय को परिभाषित करते हैं.

पेराबोला एक जेनरेट्रिक्स के समानांतर एक विमान द्वारा क्रांति की शंक्वाकार सतह के एक खंड के रूप में प्राप्त किया जा सकता है.

अंडाकार 

इसे बंद वक्र के लिए दीर्घवृत्त कहा जाता है जो एक बिंदु का वर्णन एक विमान में इस तरह से करता है कि दो (2) नियत बिंदुओं (जिसे foci कहा जाता है) की दूरी स्थिर है।.

अतिशयोक्ति

हाइपरबोला, वक्र को विमान के बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं (foci) की दूरी के बीच का अंतर स्थिर होता है.

हाइपरबोला में समरूपता का एक अक्ष होता है, जो फोकल अक्ष को foci से गुजरता है। इसके पास एक और खंड है जो उस खंड का लंबवत है जो चरम बिंदुओं से तय होता है.

अनुप्रयोगों

दैनिक जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विभिन्न अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, हम परवलय, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मूलभूत तत्वों में से एक, आज के रोज इस्तेमाल होने वाले कई उपकरणों में पा सकते हैं। इनमें से कुछ उपकरण निम्नलिखित हैं:

सैटेलाइट डिश

पैराबोलिक एंटेना में एक परावोल के परिणामस्वरूप उत्पन्न एक परावर्तक होता है जो उक्त एंटीना की धुरी पर घूमता है। इस क्रिया के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली सतह को पैराबोलॉइड कहा जाता है.

पैराबोलॉइड की इस क्षमता को परवलय की ऑप्टिकल संपत्ति या परावर्तन गुण कहा जाता है, और इसके लिए धन्यवाद यह संभव है कि पैराबॉलाइड विद्युत चुम्बकीय तरंगों को प्रतिबिंबित करता है जो इसे खिला तंत्र से प्राप्त करता है जो एंटीना बनाता है.

लटकते पुल

जब एक रस्सी वजन रखती है जो सजातीय है, लेकिन एक ही समय में, रस्सी के वजन से काफी अधिक है, तो परिणाम एक परवलय होगा.

निलंबन पुलों के निर्माण के लिए यह सिद्धांत आवश्यक है, जो आमतौर पर स्टील केबलों की व्यापक संरचनाओं द्वारा समर्थित होते हैं.

संयुक्त राज्य अमेरिका में सैन फ्रांसिस्को शहर में स्थित गोल्डन गेट ब्रिज, या आकाशी जलडमरूमध्य के ग्रेट ब्रिज जैसे संरचनाओं में हैंगिंग ब्रिजों में परबोला के सिद्धांत का उपयोग किया गया है और यह द्वीप के द्वीपों को जोड़ता है उस देश के मुख्य द्वीप होंशो के साथ अवाजी.

खगोलीय विश्लेषण

विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी खगोल विज्ञान के क्षेत्र में बहुत विशिष्ट और निर्धारित उपयोग करती है। इस मामले में, विश्लेषणात्मक ज्यामिति का तत्व जो केंद्र चरण लेता है, वह दीर्घवृत्त है; जोहान्स केपलर के ग्रहों की गति का कानून इसका एक प्रतिबिंब है.

केप्लर, गणितज्ञ और जर्मन खगोलशास्त्री ने निर्धारित किया कि दीर्घवृत्त वह वक्र था जिसने मंगल की गति को बेहतर बनाया; पहले उन्होंने कोपरनिकस द्वारा प्रस्तावित परिपत्र मॉडल की कोशिश की थी, लेकिन अपने प्रयोगों के बीच, उन्होंने कहा कि दीर्घवृत्त का उपयोग उस ग्रह के समान एक कक्षा खींचने के लिए किया गया था जिसका उन्होंने अध्ययन किया था।.

दीर्घवृत्त के लिए धन्यवाद, केपलर पुष्टि कर सकता है कि ग्रह अण्डाकार कक्षाओं में चले गए; यह विचार केप्लर के तथाकथित दूसरे कानून की देन था.

इस खोज से, बाद में अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ आइजैक न्यूटन ने समृद्ध किया, ग्रहों की परिक्रमा आंदोलनों का अध्ययन करना और उस ज्ञान को बढ़ाना संभव था, जिसके बारे में हमारे पास ब्रह्मांड था.

कैसग्रेन टेलिस्कोप

कैसग्रेन टेलिस्कोप का नाम इसके आविष्कारक, फ्रांसीसी मूल के भौतिक विज्ञानी लॉरेंट कैसग्रेन के नाम पर रखा गया है। इस दूरबीन में विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सिद्धांतों का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह मुख्य रूप से दो दर्पणों से बना होता है: पहला अवतल और परवलयिक होता है, और दूसरा इसे उत्तल और अतिशयोक्तिपूर्ण होने की विशेषता है.

इन दर्पणों का स्थान और प्रकृति अनुमति देता है कि गोलाकार विपथन के रूप में जाना जाने वाला दोष नहीं होता है; यह दोष किसी दिए गए लेंस के फोकस में प्रकाश की किरणों को परावर्तित होने से रोकता है.

Cassegrain दूरबीन ग्रह अवलोकन के लिए बहुत उपयोगी है, इसके अलावा काफी बहुमुखी और संभालना आसान है.

संदर्भ

1. विश्लेषणात्मक ज्यामिति। 20 अक्टूबर, 2017 को britannica.com से लिया गया
2. विश्लेषणात्मक ज्यामिति। 20 अक्टूबर 2017 को encyclopediafmath.org से लिया गया
3. विश्लेषणात्मक ज्यामिति। 20 अक्टूबर, 2017 को khancademy.org से लिया गया
4. विश्लेषणात्मक ज्यामिति। 20 अक्टूबर, 2017 को wikipedia.org से लिया गया
5. विश्लेषणात्मक ज्यामिति। Whitman.edu से 20 अक्टूबर, 2017 को लिया गया
6. विश्लेषणात्मक ज्यामिति। 20 अक्टूबर, 2017 को stewartcalculus.com से लिया गया
7. विमान विश्लेषणात्मक ज्यामिति। 20 अक्टूबर, 2017 को पुनर्प्राप्त