आंशिक अंशों के मामले और उदाहरण

आंशिक अंश वे बहुपद द्वारा निर्मित अंश हैं, जिसमें भाजक एक रैखिक या द्विघात बहुपद हो सकता है और, इसके अलावा, कुछ शक्ति तक उठाया जा सकता है। कभी-कभी, जब हमारे पास तर्कसंगत कार्य होते हैं, तो इस कार्य को आंशिक अंशों या साधारण अंशों के योग के रूप में फिर से लिखना बहुत उपयोगी होता है.

ऐसा इसलिए है क्योंकि इस तरह से हम इन कार्यों को बेहतर तरीके से जोड़ सकते हैं, विशेष रूप से उन मामलों में जिनमें इस एप्लिकेशन को एकीकृत करना आवश्यक है। एक तर्कसंगत कार्य केवल दो बहुपदों के बीच का भागफल है, और यह उचित या अनुचित हो सकता है.

यदि अंश के बहुपद का अंश हर की तुलना में छोटा होता है, तो इसे अपने स्वयं के तर्कसंगत कार्य कहा जाता है; अन्यथा, यह एक अनुचित तर्कसंगत कार्य के रूप में जाना जाता है.

सूची

• 1 परिभाषा
• 2 मामले
  • २.१ केस १
  • २.२ केस २
  • २.३ केस ३
  • २.४ केस ४
• 3 अनुप्रयोग
  • 3.1 व्यापक गणना
  • 3.2 सामूहिक कार्रवाई का कानून
  • 3.3 विभेदक समीकरण: लॉजिस्टिक समीकरण
• 4 संदर्भ

परिभाषा

जब हमारे पास एक अनुचित तर्कसंगत कार्य होता है, तो हम भाजक के बहुपद को भाजक के बहुपद के बीच में विभाजित कर सकते हैं और इस प्रकार t (x) + s (x) / x के भाग के एल्गोरिथ्म का पालन करते हुए अंश p (x) / q (x) को फिर से लिखते हैं। q (x), जहां t (x) एक बहुपद है और s (x) / q (x) स्वयं का एक तर्कसंगत कार्य है.

एक आंशिक अंश बहुपद का कोई उचित कार्य है, जिसका हर एक रूप (अक्ष + b) हैⁿ ओ (कुल्हाड़ी)²+ बीएक्स + सी)ⁿ, यदि बहुपद कुल्हाड़ी² + bx + c में वास्तविक जड़ें नहीं हैं और n एक प्राकृतिक संख्या है.

आंशिक अंशों में एक तर्कसंगत कार्य को फिर से लिखने के लिए, सबसे पहले रैखिक और / या द्विघात कारकों के उत्पाद के रूप में हर कोन (x) को कारक बनाना है। एक बार जब यह किया जाता है, तो आंशिक अंश निर्धारित होते हैं, जो उक्त कारकों की प्रकृति पर निर्भर करते हैं.

मामलों

हम कई मामलों पर अलग से विचार करते हैं.

केस 1

Q (x) के कारक सभी रैखिक हैं और कोई भी दोहराया नहीं जाता है। वह है:

q (x) = (a)₁x + बी₁) (ए₂x + बी₂) ... (ए_रोंx + बी_रों)

वहाँ, कोई रैखिक कारक दूसरे के समान नहीं है। जब यह मामला होगा तो हम लिखेंगे:

p (x) / q (x) = A₁/ (ए₁x + बी₁) + ए₂/ (ए₂x + बी₂) ... + ए_रों/ (ए_रोंx + बी_रों).

जहां ए₁,एक₂,..., ए_रों वे स्थिरांक हैं जिन्हें आप खोजना चाहते हैं.

उदाहरण

हम तर्कसंगत कार्यों को सरल अंशों में विघटित करना चाहते हैं:

(x - 1) / (x)³+3x²+2x)

हम हर को कारक बनाने के लिए आगे बढ़ते हैं, जो है:

एक्स³ + 3x² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

तो:

(x - 1) / (x)³+3x²+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

कम से कम कई सामान्य आवेदन करके, आप इसे प्राप्त कर सकते हैं:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

हम स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों को प्राप्त करना चाहते हैं, जो उन जड़ों को प्रतिस्थापित करके पाया जा सकता है जो प्रत्येक शर्तों को रद्द करते हैं। हमारे पास x के लिए 0 को प्रतिस्थापित करना:

0 - 1 = ए (0 + 1) (0 + 2) + बी (0 + 2) 0 + सी (0 + 1) 0.

- 1 = 2 ए

ए = - 1/2.

हमारे लिए x - के लिए प्रतिस्थापन 1:

- 1 - 1 = ए (- 1 + 1) (- 1 + 2) + बी (- 1 + 2) (- 1) + सी (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - बी

बी = २.

स्थानापन्न - 2 के लिए x हमारे पास है:

- 2 - 1 = ए (- 2 + 1) (- 2 + 2) + बी (- 2 + 2) (- 2) + सी (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2 सी

सी = -3/2.

इस तरह, मान ए = -1/2, बी = 2 और सी = -3/2 प्राप्त होते हैं।.

ए, बी और सी के मूल्यों को प्राप्त करने के लिए एक और तरीका है। यदि समीकरण x के दाईं ओर - 1 = ए (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x +) 1) x हम शब्दों को मिलाते हैं, हमारे पास है:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

जैसा कि यह बहुपदों की समानता है, हमारे पास यह है कि बाईं ओर के गुणांक दाहिने पक्ष के लोगों के बराबर होने चाहिए। इसके परिणामस्वरूप समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली होती है:

अ + ब + स = ०

3 ए + 2 बी + सी = 1

2A = - 1

समीकरणों की इस प्रणाली को हल करते समय, हम ए = -1/2, बी = 2 और सी = -3/2 परिणाम प्राप्त करते हैं.

अंत में, हमें प्राप्त मूल्यों को बदलना है:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

केस 2

क्यू (एक्स) के कारक सभी रैखिक हैं और कुछ दोहराया जाता है। मान लीजिए कि (कुल्हाड़ी + बी) एक ऐसा कारक है जिसे बार-बार "s" दोहराया जाता है; फिर, इस कारक के लिए आंशिक अंशों का योग है.

एक_रों/ (कुल्हाड़ी + बी)^रों + एक_{एस 1}/ (कुल्हाड़ी + बी)^{एस 1} +... + ए₁/ (कुल्हाड़ी + बी).

जहां ए_रों,एक_{एस 1},..., ए₁ वे निर्धारित किए जाने वाले स्थिरांक हैं। निम्नलिखित उदाहरण के साथ हम दिखाएंगे कि इन स्थिरांक को कैसे निर्धारित किया जाए.

उदाहरण

आंशिक अंशों में विघटित करें:

(x - 1) / (x)²(x - 2)³)

हम आंशिक अंशों के योग के रूप में तर्कसंगत कार्य लिखते हैं:

(x - 1) / (x)²(x - 2)³) = ए / एक्स² + बी / एक्स + सी / (एक्स - २)³ + डी / (x - 2)² + ई / (x - 2).

तो:

x - 1 = A (x - 2)³ + B (x - 2)³x + Cx² + डी (एक्स - 2) एक्स² + ई (x - 2)²एक्स²

एक्स के लिए 2 को प्रतिस्थापित करना, हमें निम्न करना होगा:

7 = 4 सी, अर्थात्, सी = 7/4.

हमारे पास x के लिए 0 को प्रतिस्थापित करना:

- 1 = -8 ए या ए = 1/8.

इन मानों को पिछले समीकरण में विकसित करने और विकसित करने के लिए, हमें निम्न करना होगा:

x - 1 = 1/8 (x)³ - 6x² + 12x - 8) + बीएक्स (एक्स)³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4x² +dx³ - 2DX² + भूतपूर्व²(एक्स² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6 बी + डी - 4 ई) एक्स³ + (- 2D + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² +(3/2 - 8 बी) एक्स - 1.

गुणांक मिलान करके, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

बी + ई = 0;

1/8 - 6 बी + डी - 4 ई = 1;

- 3/4 + 12 बी + 7/4 - 2 डी + 4 ई = 0

3/2 - 8 बी = 0.

सिस्टम को हल करना, हमारे पास है:

बी = 3/16; डी = 5/4; ई = - 3/16.

इस वजह से, हमें निम्न करना होगा:

(x - 1) / (x)²(x - 2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)³ + (5/4) / (x - 2)² - (3/16) / (x - 2).

केस 3

क्यू (एक्स) के कारक द्विघात रेखीय हैं, बिना किसी द्विघात कारक को दोहराया। इस मामले के लिए द्विघात कारक (कुल्हाड़ी)² + bx + c) आंशिक अंश (Ax + B) / (ax) से मेल खाती है² + bx + c), जहां कॉन्स्टेंट A और B वे हैं जिन्हें आप निर्धारित करना चाहते हैं.

निम्न उदाहरण दिखाता है कि इस मामले में आगे कैसे बढ़ना है

उदाहरण

सरल अंशों (x + 1) / (x) में विघटित करें³ - 1).

सबसे पहले हम हर को कारक बनाते हैं, जो हमें परिणाम के रूप में देता है:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

हम देख सकते हैं कि (एक्स² + x + 1) एक इरेड्यूबल क्वाड्रैटिक बहुपद है; अर्थात्, इसकी वास्तविक जड़ें नहीं हैं। आंशिक अंशों में इसका अपघटन निम्नानुसार होगा:

(x + 1) / (x - 1) (x)² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x)² + x +1)

इससे हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं:

x + 1 = (A + B) x² +(A - B + C) x + (A - C)

बहुपद की समानता का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

ए + बी = 0;

ए - बी + सी = 1;

ए - सी = 1;

इस प्रणाली से हमारे पास ए = 2/3, बी = - 2/3 और सी = 1/3 है। स्थानापन्न करना, हमें निम्न करना होगा:

(x + 1) / (x - 1) (x)² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x)² + x +1).

केस 4

अंत में, केस 4 वह होता है जिसमें q (x) के कारक रैखिक और द्विघात होते हैं, जहाँ कुछ रेखीय द्विघात कारक दोहराए जाते हैं.

इस मामले में, हाँ (कुल्हाड़ी)² + bx + c) एक द्विघात कारक है जिसे "s" बार दोहराया जाता है, फिर कारक (कुल्हाड़ी) के लिए आंशिक अंश² + bx + c) होगा:

(ए₁x + B) / (कुल्हाड़ी)² + bx + c) + ... + (A)_{एस 1}एक्स + बी_{एस 1}) / (कुल्हाड़ी)² + बीएक्स + सी)^{एस 1} + (ए_रोंएक्स + बी_रों) / (कुल्हाड़ी)² + बीएक्स + सी)^रों

जहां ए_रों, एक_{एस 1},..., ए और बी_रों, बी_{एस 1},..., B वे स्थिरांक हैं जिन्हें आप निर्धारित करना चाहते हैं.

उदाहरण

हम आंशिक परिमेय में निम्नलिखित तर्कसंगत कार्य को तोड़ना चाहते हैं:

(x - 2) / (x (x)² - 4x + 5)²)

एक्स की तरह² - 4x + 5 एक अप्रासंगिक द्विघात कारक है, हमारे पास यह है कि आंशिक अंशों में इसका अपघटन निम्न द्वारा दिया जाता है:

(x - 2) / (x (x)² - 4x + 5)²) = ए / एक्स + (बीएक्स + सी) / (एक्स)² - 4x +5) + (Dx + E) / (x)² - 4x + 5)²

सरलीकरण और विकास, हमारे पास है:

x - 2 = A (x)² - 4x + 5)² + (Bx + C) (x)² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8 ए - 4 बी + सी) एक्स³ + (26 ए + 5 बी - 4 सी + डी) एक्स² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

ऊपर से हमारे पास समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली है:

ए + बी = 0;

- 8 ए - 4 बी + सी = 0;

26 ए + 5 बी - 4 सी + डी = 0;

- 40 ए + 5 सी + ई = 1;

२५ ए = २.

सिस्टम को हल करते समय, हमें निम्न करना होगा:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 और E = - 3/5.

प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करते समय हमारे पास:

(x - 2) / (x (x)² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x)² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x)² - 4x + 5)²

अनुप्रयोगों

व्यापक गणना

आंशिक अंशों का उपयोग मुख्य रूप से अभिन्न कलन के अध्ययन के लिए किया जाता है। नीचे हम आंशिक अंशों का उपयोग करके अभिन्न बनाने के कुछ उदाहरण देखेंगे.

उदाहरण 1

हम अभिन्न गणना करना चाहते हैं:

हम देख सकते हैं कि भाजक q (x) = (t + 2)²(t + 1) रैखिक कारकों से बना होता है जहां इनमें से एक दोहराता है; इसके लिए हम केस 2 में हैं.

हमारे पास है:

1 / (टी + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² +B / (t + 2) + C / (t + 1)

हम समीकरण को फिर से लिखते हैं और हमारे पास है:

1 = ए (टी + 1) + बी (टी + 2) (टी + 1) + सी (टी + 2)²

यदि t = - 1, तो हमें निम्न करना होगा:

1 = ए (0) + बी (1) (0) + सी (1)

1 = सी

यदि t = - 2, यह हमें देता है:

1 = ए (- 1) + बी (0) (- 1) + सी (0)

ए = - 1

फिर, यदि t = 0:

1 = ए (1) + बी (2) (1) + सी (2)

ए और सी के मूल्यों को प्रतिस्थापित करना:

1 = - 1 + 2 बी + 4

1 = 3 + 2 बी

2 बी = - 2

ऊपर से हमारे पास वह B = - 1 है.

हम अभिन्न को फिर से लिखते हैं:

हम इसे प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं:

यह परिणाम है:

उदाहरण 2

निम्नलिखित अभिन्न हल करें:

इस मामले में हम क्ष (x) = x को कारक कर सकते हैं² - 4 as q (x) = (x - 2) (x + 2)। स्पष्ट रूप से हम मामले 1 में हैं। इसलिए:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

इसे इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:

5x - 2 = ए (एक्स + 2) + बी (एक्स - 2)

यदि x = - 2, हमारे पास है:

- 12 = ए (0) + बी (- 4)

ब = ३

और अगर x = 2:

8 = ए (4) + बी (0)

ए = २

इस प्रकार, हमें दिए गए अभिन्न हल करने के लिए हल करने के लिए बराबर है:

यह हमें एक परिणाम के रूप में देता है:

उदाहरण 3

अभिन्न हल करें:

हमारे पास q (x) = 9x है⁴ + एक्स² , कि हम क्ष (x) = x में कारक कर सकते हैं²(9x² + 1).

इस अवसर पर हमारे पास एक दोहराया रैखिक कारक और एक द्विघात कारक है; वह है, हम मामले 3 में हैं.

हमारे पास है:

1 / एक्स²(9x² + 1) = ए / एक्स² + B / x + (Cx + D) / (9x)² + 1)

1 = ए (9x)² + 1) + बीएक्स (9x)² + 1) + Cx² + dx²

बहुपत्नी के समूह की समानता का उपयोग करना, हमारे पास है:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

ए = 1;

बी = 0;

9 ए + डी = 0;

9 बी + सी = 0

समीकरणों की इस प्रणाली से हमें:

डी = - 9 और सी = 0

इस तरह, हमारे पास:

उपरोक्त हल करके, हमारे पास:

सामूहिक कार्रवाई का कानून

अभिन्न कलन के लिए लागू आंशिक अंशों का एक दिलचस्प अनुप्रयोग रसायन विज्ञान में पाया जाता है, बड़े पैमाने पर कार्रवाई के कानून में अधिक सटीक रूप से.

मान लें कि हमारे पास दो पदार्थ हैं, ए और बी, जो एक साथ आते हैं और एक पदार्थ सी बनाते हैं, ताकि समय के संबंध में सी की मात्रा का व्युत्पन्न किसी भी समय ए और बी की मात्रा के उत्पाद के लिए आनुपातिक हो।.

हम निम्नानुसार बड़े पैमाने पर कार्रवाई के कानून को व्यक्त कर सकते हैं:

इस अभिव्यक्ति में α ए की तुलना में ग्राम की प्रारंभिक मात्रा है और बी के अनुरूप ग्राम की प्रारंभिक मात्रा है.

इसके अलावा, आर और एस क्रमशः ए और बी के ग्राम की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं जो आर + एस के ग्राम के रूप में संयोजित होते हैं। इसके भाग के लिए, एक्स समय पर पदार्थ सी के ग्राम की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, और के। आनुपातिकता की निरंतरता। उपरोक्त समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:

निम्नलिखित परिवर्तन करना:

हमारे पास यह समीकरण बन जाता है:

इस अभिव्यक्ति से हम प्राप्त कर सकते हैं:

जहाँ हाँ yes बी, आंशिक अंशों का उपयोग एकीकरण के लिए किया जा सकता है.

उदाहरण

उदाहरण के लिए एक पदार्थ C को B के साथ एक पदार्थ A के संयोजन से उत्पन्न होता है, इस तरह से कि द्रव्यमान का नियम मिलता है जहाँ a और b के मान क्रमशः 8 और 6 हैं। एक समीकरण दें जो हमें समय के कार्य के रूप में ग्राम सी का मूल्य देता है.

दिए गए जन कानून में मूल्यों को प्रतिस्थापित करना, हमारे पास है:

जब हमारे पास अलग-अलग चर होते हैं:

यहाँ 1 / (8 - x) (6 - x) आंशिक अंशों के योग के रूप में लिखा जा सकता है:

इस प्रकार, 1 = ए (6 - x) + बी (8 - x)

यदि हम x को 6 में स्थान देते हैं, तो हमारे पास वह B = 1/2 है; और 8 के लिए एक्स प्रतिस्थापन, हमारे पास ए = - 1/2 है.

आंशिक अंशों द्वारा समेकित करना हमारे पास है:

यह हमें एक परिणाम के रूप में देता है:

विभेदक समीकरण: लॉजिस्टिक समीकरण

एक अन्य अनुप्रयोग जो आंशिक अंशों को दिया जा सकता है वह लॉजिस्टिक डिफरेंशियल समीकरण में है। सरल मॉडल में हमारे पास यह है कि किसी जनसंख्या की वृद्धि दर उसके आकार के अनुपात में होती है; वह है:

यह मामला एक आदर्श है और इसे तब तक यथार्थवादी माना जाता है जब तक कि ऐसा न हो कि जनसंख्या को बनाए रखने के लिए एक सिस्टम में उपलब्ध संसाधन अपर्याप्त हैं.

इन स्थितियों में यह सोचना अधिक उचित है कि एक अधिकतम क्षमता है, जिसे हम L कहेंगे, जो कि सिस्टम को बनाए रख सकता है, और यह कि विकास दर उपलब्ध आकार से गुणा जनसंख्या के आकार के लिए आनुपातिक है। यह तर्क निम्नलिखित अंतर समीकरण की ओर जाता है:

इस अभिव्यक्ति को लॉजिस्टिक डिफरेंशियल समीकरण कहा जाता है। यह एक अलग-अलग अंतर समीकरण है जिसे आंशिक अंशों द्वारा एकीकरण की विधि से हल किया जा सकता है.

उदाहरण

एक उदाहरण उस जनसंख्या पर विचार करने के लिए होगा जो निम्नलिखित लॉजिस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन y '= 0.0004y (1000 - y) के अनुसार बढ़ती है, जिसका प्रारंभिक डेटा 400 है। हम समय टी = 2 पर जनसंख्या का आकार जानना चाहते हैं, जहां टी मापा जाता है वर्षों में.

यदि हम लिबनिज संकेतन के साथ एक और 'एक फ़ंक्शन के रूप में लिखते हैं जो टी पर निर्भर करता है, तो हमें निम्न करना होगा:

बाईं ओर के अभिन्न को आंशिक भिन्न द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है:

यह अंतिम समानता निम्नानुसार फिर से लिखी जा सकती है:

- सबस्टिट्यूटिंग y = 0 हमारे पास A बराबर है 1/1000.

- सबस्टिट्यूटिंग y = 1000 हमारे पास है कि B 1/1000 के बराबर है.

इन मूल्यों के साथ अभिन्न इस प्रकार छोड़ दिया जाता है:

समाधान है:

प्रारंभिक डेटा का उपयोग करना:

जब समाशोधन और हम छोड़ दिया है:

फिर हमारे पास t = 2 है:

अंत में, 2 साल बाद जनसंख्या का आकार लगभग 597.37 है.

संदर्भ

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2. कॉर्टेज़, आई।, और सांचेज़, सी। (S.f.). 801 ने अभिन्न हल किए. तचिरा का राष्ट्रीय प्रायोगिक विश्वविद्यालय.
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4. परसेल, ई। जे।, वरबर्ग, डी।, और रिग्डन, एस। ई। (2007). गणना. मेक्सिको: पियर्सन एजुकेशन.
5. साएंज़, जे। (S.f.). व्यापक गणना. कर्ण.