विभेदकों का उपयोग करते हुए अनुमोदन की गणना

गणित में एक सन्निकटन एक ऐसी संख्या है जो किसी चीज़ का सटीक मूल्य नहीं है, लेकिन इसके इतना करीब है कि इसे उस मान के लिए उपयोगी माना जाता है.

जब सन्निकटन गणित में किया जाता है तो ऐसा इसलिए होता है क्योंकि मैन्युअल रूप से यह मुश्किल है (या कभी-कभी असंभव) यह जानना चाहता है कि वांछित मूल्य क्या है.

सन्निकटन के साथ काम करते समय मुख्य उपकरण एक फ़ंक्शन का अंतर है.

एक फ़ंक्शन f का अंतर, जिसे xf (x) द्वारा निरूपित किया गया है, स्वतंत्र चर में परिवर्तन से गुणा किए गए फ़ंक्शन f के व्युत्पन्न से अधिक नहीं है, अर्थात, (f (x) = f '(x) * Δx.

कभी-कभी Sometimesf और .x के बजाय df और dx का उपयोग किया जाता है.

अंतर का उपयोग करते हुए दृष्टिकोण

अंतर के माध्यम से एक अनुमान लगाने के लिए लागू किया गया सूत्र एक सीमा के रूप में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा से उत्पन्न होता है.

यह सूत्र द्वारा दिया गया है:

f (x) (f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * ≈x.

यहाँ यह समझा जाता है कि Δx = x-x0, इसलिए, x = x0 + understoodx। इसका उपयोग करके सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है

f (x0 + Δx) x f (x0) + f '(x0) * Δx.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि "x0" एक मनमाना मूल्य नहीं है, लेकिन एक मूल्य ऐसा है कि f (x0) आसानी से जाना जाता है; इसके अलावा, "f (x)" केवल वह मान है जिसे हम अनुमानित करना चाहते हैं.

वहाँ बेहतर सन्निकटन हैं?

जवाब है हां। पिछला वाला "रैखिक सन्निकटन" कहे जाने वाले सन्निकटन का सबसे सरल है.

बेहतर गुणवत्ता वाले सन्निकटन (त्रुटि छोटी है) के लिए "टेलर पॉलिनॉमिअल्स" नामक अधिक डेरिवेटिव के साथ बहुपद का उपयोग किया जाता है, साथ ही अन्य संख्यात्मक विधियों जैसे कि न्यूटन-राफसन विधि दूसरों के बीच में हैं।.

रणनीति

पालन ​​करने की रणनीति है:

- सन्निकटन करने के लिए एक उपयुक्त फ़ंक्शन f चुनें और मान "x" जैसे कि f (x) वह मान है जिसे आप अनुमानित करना चाहते हैं.

- एक मान "x0" चुनें, "x" के करीब, जैसे कि f (x0) की गणना करना आसान है.

- Δx = x-x0 की गणना करें.

- फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें और f '(x0).

- सूत्र में डेटा बदलें.

सुप्तावस्था सन्निकटन अभ्यास

क्या जारी है में व्यायाम की एक श्रृंखला है जहां अंतर का उपयोग करके अनुमान लगाया जाता है.

पहला व्यायाम

लगभग √3.

समाधान

रणनीति के बाद, एक उपयुक्त कार्य चुनना होगा। इस मामले में यह देखा जा सकता है कि चुनने का कार्य f (x) = thex होना चाहिए और अनुमानित मान f (3) = √3 है.

अब हमें "3" के करीब "x0" मान चुनना होगा ताकि f (x0) की गणना करना आसान हो। यदि आप "x0 = 2" चुनते हैं, तो आपके पास "x0" "3" के करीब है, लेकिन f (x0) = f (2) = is2 की गणना करना आसान नहीं है.

"X0" का मान सुविधाजनक है जो "4" है, क्योंकि "4" "3" के करीब है और भी f (x0) = f (4) = √4 = 2.

यदि "x = 3" और "x0 = 4", तो 3-4x = 3-4 = -1। अब हम f के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। वह है, f '(x) = 1/2 * sox, ताकि f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

आपके द्वारा प्राप्त सूत्र में सभी मानों को प्रतिस्थापित करना:

√3 = f (3) + 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/3/75.

यदि एक कैलकुलेटर का उपयोग किया जाता है, तो यह प्राप्त किया जाता है कि ≈3.71.73205 ... यह दर्शाता है कि पिछला परिणाम वास्तविक मूल्य का एक अच्छा अनुमान है.

दूसरा व्यायाम

लगभग √10.

समाधान

जैसा कि इससे पहले कि यह एक फ़ंक्शन f (x) = inx और इस मामले में x = 10 के रूप में चुना गया है.

इस अवसर में चुने जाने वाले x0 का मान "x0 = 9" है। हमारे पास तब Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 और f '(9) = 1/2 *9 = 1/2 * 3 = 1/6 है.

सूत्र में मूल्यांकन करते समय आपको वह मिलता है

√10 = f (10) + 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

एक कैलकुलेटर का उपयोग करने से आपको that10 calculator 3.1622776 मिलता है ... यहां आप यह भी देख सकते हैं कि इससे पहले एक अच्छा सन्निकटन प्राप्त किया गया था.

तीसरा व्यायाम

लगभग rox10, जहां ic घनमूल को दर्शाता है.

समाधान

स्पष्ट रूप से इस अभ्यास में उपयोग किया जाने वाला फ़ंक्शन f (x) = thex है और "x" का मान "10" होना चाहिए.

एक मान जो "10" के करीब है जैसे कि उसकी घनमूल ज्ञात है "x0 = 8"। फिर हमारे पास wex = 10-8 = 2 और f (x0) = f (8) = 2. हमारे पास भी वह f '(x) = 1/3 * ²x² है, और फलस्वरूप f' (8) = 1/3 * 38² = 1/3 * =64 = 1/3 * 4 = 1/12.

सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करते हुए, यह प्राप्त किया जाता है कि:

³√10 = f (10) + 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.66% ... .

कैलकुलेटर कहता है कि ≈10 15 2.15443469 ... इसलिए, पाया गया सन्निकटन अच्छा है.

चौथा व्यायाम

लगभग ln (1.3), जहां "ln" प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन को दर्शाता है.

समाधान

सबसे पहले, फ़ंक्शन f (x) = ln (x) चुना जाता है और "x" का मान 1.3 है। अब, लघुगणक समारोह के बारे में थोड़ा जानकर, हम जान सकते हैं कि ln (1) = 0, और "1" भी "1.3" के करीब है। इसलिए, "x0 = 1" चुना जाता है और इसलिए 1.3x = 1.3 - 1 = 0.3.

दूसरी ओर f '(x) = 1 / x, ताकि f' (1) = 1 हो। दिए गए सूत्र में मूल्यांकन करते समय आपको निम्न करना होगा:

ln (1.3) = f (1.3) = 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

कैलकुलेटर का उपयोग करते समय आपको ln (1.3) have 0.262364 करना होता है ... इसलिए बनाया गया सन्निकटन अच्छा होता है.

संदर्भ

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