सरोवर नियम किस प्रकार के निर्धारकों और प्रकार के निर्धारकों में

सररस नियम इसका उपयोग 3 × 3 के निर्धारकों के परिणाम की गणना करने के लिए किया जाता है। इनका उपयोग रेखीय समीकरणों को हल करने और यह जानने के लिए किया जाता है कि क्या वे संगत हैं.

संगत प्रणालियां आपको समाधान को अधिक आसानी से प्राप्त करने की अनुमति देती हैं। वे यह निर्धारित करने के लिए भी उपयोग किए जाते हैं कि वैक्टर के सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और वेक्टर स्थान का आधार बनाते हैं.

ये अनुप्रयोग मैट्रिसेस की अक्षमता पर आधारित हैं। यदि एक मैट्रिक्स नियमित होता है, तो इसका निर्धारक 0. से भिन्न होता है। यदि यह एकवचन है, तो इसका निर्धारक 0. है। निर्धारक केवल वर्ग मैट्रिक्स में गणना की जा सकती है.

किसी भी क्रम के मैट्रिक्स की गणना करने के लिए, लैपल प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है। यह प्रमेय हमें उच्च आयामों के मेट्रिसेस को सरल बनाने की अनुमति देता है, छोटे निर्धारकों के sums में जो हम मुख्य मैट्रिक्स का विघटन करते हैं.

यह पुष्टि करता है कि मैट्रिक्स का निर्धारक प्रत्येक संलग्न मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा प्रत्येक पंक्ति या स्तंभ के उत्पादों के योग के बराबर है।.

यह निर्धारकों को कम कर रहा है ताकि डिग्री n का निर्धारक, n-1 का n निर्धारक बने। यदि हम इस नियम को क्रमिक रूप से लागू करते हैं, तो हम आयाम 2 (2 × 2) या 3 (3 × 3) के निर्धारक प्राप्त कर सकते हैं, जहां गणना करना बहुत आसान है.

सररस नियम

पियरे फ्रेडरिक सररस 19 वीं शताब्दी के एक फ्रांसीसी गणितज्ञ थे। संख्यात्मक समीकरणों के भीतर, समीकरणों को सुलझाने और विविधताओं की गणना के तरीकों पर आधारित उनके अधिकांश गणितीय ग्रंथ हैं.

अपने एक ग्रंथ में, उन्होंने यांत्रिकी के सबसे जटिल रहस्यों में से एक को हल किया। व्यक्त भागों की समस्याओं को हल करने के लिए, सर्रस ने वैकल्पिक आयताकार आंदोलनों के परिवर्तन को एक समान परिपत्र आंदोलनों में पेश किया। इस नई प्रणाली को सर्रस तंत्र के रूप में जाना जाता है.

इस गणितज्ञ को दिया गया सबसे प्रसिद्ध शोध वह था जिसमें उन्होंने निर्धारकों की गणना का एक नया तरीका पेश किया था, लेख में "नोवेल्स मेथोड्स ला रेज़ोल्यूशन डेस एविएशन्स" (समीकरणों को हल करने के लिए नया तरीका, जो कि प्रकाशित हुआ वर्ष 1833. रैखिक समीकरणों को हल करने के इस तरीके को सररस के नियम के रूप में जाना जाता है.

सर्रस का नियम 3 × 3 मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की अनुमति देता है, लाप्लास प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता के बिना, बहुत सरल और अधिक सहज विधि का परिचय देता है। सर्रस नियम के मूल्य की जांच करने में सक्षम होने के लिए, हम आयाम 3 के किसी भी मैट्रिक्स को लेते हैं:

इसके निर्धारक की गणना इसके मुख्य विकर्णों के उत्पाद द्वारा की जाएगी, उलटे विकर्णों से उत्पाद को घटाकर। यह इस प्रकार होगा:

सर्रस नियम हमें निर्धारक के विकर्णों की गणना करते समय बहुत सरल दृष्टि प्राप्त करने की अनुमति देता है। मैट्रिक्स के पिछले दो स्तंभों को जोड़कर इसे सरल बनाया जाएगा। इस प्रकार, आप अधिक स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि आपके मुख्य विकर्ण कौन से हैं और उत्पाद की गणना के लिए कौन से व्युत्क्रम हैं।.

इस छवि के माध्यम से हम सारस नियम के आवेदन को देख सकते हैं, हम प्रारंभिक मैट्रिक्स के ग्राफिक प्रतिनिधित्व के नीचे पंक्ति 1 और 2 को शामिल करते हैं। इस तरह, मुख्य विकर्ण तीन विकर्ण हैं जो पहले स्थान पर दिखाई देते हैं.

तीन रिवर्स विकर्ण, बदले में, वे हैं जो पहले पीठ में दिखाई देते हैं.

इस तरह, विकर्ण अधिक दृश्य तरीके से दिखाई देते हैं, निर्धारक के संकल्प को जटिल किए बिना, यह पता लगाने की कोशिश करते हैं कि मैट्रिक्स के कौन से तत्व प्रत्येक विकर्ण के हैं.

जैसा कि यह छवि में दिखाई देता है, हम विकर्णों को चुनते हैं और प्रत्येक फ़ंक्शन के परिणामी उत्पाद की गणना करते हैं। नीले रंग में दिखाई देने वाले विकर्ण वे हैं जो जोड़ते हैं। इनके योग के लिए, हम उन विकर्णों के मूल्य को घटाते हैं जो लाल रंग में दिखाई देते हैं.

संपीड़न को आसान बनाने के लिए, हम बीजगणितीय शब्दों और उप-शब्दों का उपयोग करने के बजाय एक संख्यात्मक उदाहरण का उपयोग कर सकते हैं.

यदि हम कोई 3 × 3 मैट्रिक्स लेते हैं, उदाहरण के लिए:

सर्रस नियम को लागू करने के लिए, और इसे अधिक दृश्य तरीके से हल करने के लिए, हमें क्रमशः पंक्ति 1 और 2 को पंक्ति 4 और 5 के रूप में शामिल करना चाहिए। पंक्ति 1 को 4 वें स्थान पर और पंक्ति 2 को 5 वें स्थान पर रखना महत्वपूर्ण है। क्योंकि यदि हम उनका आदान-प्रदान करते हैं, तो सारस नियम प्रभावी नहीं होगा.

निर्धारक की गणना करने के लिए, हमारा मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

गणना जारी रखने के लिए, हम मुख्य विकर्णों के तत्वों को गुणा करते हैं। जो अवरोही बाएं से शुरू होते हैं, वे सकारात्मक संकेत लेंगे; जबकि रिवर्स विकर्ण, जो कि दाईं ओर से शुरू होते हैं, एक नकारात्मक संकेत ले जाते हैं.

इस उदाहरण में, नीले वाले एक सकारात्मक संकेत के साथ और लाल वाले नकारात्मक चिह्न के साथ जाएंगे। सररस नियम की अंतिम गणना इस प्रकार होगी:

निर्धारकों के प्रकार

आयाम का निर्धारक १

यदि मैट्रिक्स का आयाम 1 है, तो मैट्रिक्स इस रूप में होता है: A = (a)

इसलिए, इसका निर्धारक निम्नानुसार होगा: det (A) = | A | = a

सारांश में, मैट्रिक्स ए का निर्धारक मैट्रिक्स ए के निरपेक्ष मूल्य के बराबर है, जो इस मामले में ए है.

आयाम का निर्धारक २

यदि हम आयाम 2 के मैट्रिक्स में जाते हैं, तो हम टाइप के मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

जहां इसके निर्धारक को निम्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

इस निर्धारक का संकल्प इसके मुख्य विकर्ण के गुणन पर आधारित होता है, जो उत्पाद को इसके व्युत्क्रम से घटाता है।.

एक स्वैच्छिक नियम के रूप में, हम अपने नियतांक को याद रखने के लिए निम्न आरेख का उपयोग कर सकते हैं:

आयाम 3 का निर्धारक

यदि मैट्रिक्स का आयाम 3 है, तो परिणामस्वरूप मैट्रिक्स इस प्रकार होगा:

इस मैट्रिक्स के निर्धारक को सरस नियम के माध्यम से इस प्रकार हल किया जाएगा:

संदर्भ

1. जेनी ओलिव (1998) मैथ्स: ए स्टूडेंट सर्वाइवल गाइड। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस.
2. रिचर्ड जे। ब्राउन (2012) 30-सेकंड मैथ्स: द 50 मोस्ट माइंड-एक्सपैंडिंग थ्योरीज़ इन मैथमेटिक्स। आइवी प्रेस लिमिटेड.
3. डेव किर्कबी (2004) मैथ्स कनेक्ट। हिनेमैन.
4. अओल एसेन (2013) ए स्टडी ऑन दि कंपिनटेशन ऑफ़ द कंपिनेंट्स ऑफ़ 3 3 3 मैट्रिक्स। लैप लैंबर्ट अकादमिक प्रकाशन.
5. एंथोनी निकोलायड्स (1994) निर्धारक और मेट्रिसेस। प्रकाशन पारित करें.
6. जेसी रसेल (2012) सारस का नियम.
7. एम। कैस्टलेइरो विल्ल्बा (2004) रैखिक बीजगणित का परिचय। ईएसआईसी संपादकीय.