वेक्टर क्या है और इसके लक्षण क्या हैं?

एक वेक्टर यह एक मात्रा या घटना है जिसमें दो स्वतंत्र गुण हैं: परिमाण और दिशा। यह शब्द ऐसी राशि के गणितीय या ज्यामितीय निरूपण को भी दर्शाता है.

प्रकृति में वैक्टर के उदाहरण गति, बल, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र और वजन हैं। एक राशि या घटना जो केवल विशिष्ट दिशा के बिना परिमाण दिखाती है, स्केलर कहलाती है.

स्केलर्स के उदाहरणों में गति, द्रव्यमान, विद्युत प्रतिरोध और हार्ड डिस्क भंडारण क्षमता शामिल है.

वैक्टर को दो या तीन आयामों में रेखांकन द्वारा दर्शाया जा सकता है। परिमाण को एक खंड की लंबाई के रूप में दिखाया गया है। दिशा को खंड के अभिविन्यास और एक छोर पर एक तीर द्वारा दिखाया गया है.

ऊपर चित्रण दो आयामी आयताकार निर्देशांक (कार्तीय तल) में तीन वैक्टर और ध्रुवीय निर्देशांक में उनके समकक्ष को दर्शाता है.

भौतिकी में वैक्टर

भौतिकी में, जब आपके पास एक वेक्टर होता है, तो आपको दो मात्राओं को ध्यान में रखना होगा: इसकी दिशा और इसकी परिमाण। मात्राएँ जिनमें केवल एक परिमाण होता है, स्केलर कहलाती हैं। यदि एक स्केलर मात्रा को एक दिशा दी जाती है, तो एक वेक्टर बनाया जाता है.

नेत्रहीन, आप वैक्टर को तीर के रूप में देखते हैं, जो एकदम सही है क्योंकि एक तीर की एक स्पष्ट दिशा और एक स्पष्ट परिमाण है (तीर की लंबाई).

निम्नलिखित आकृति में तीर एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है जो तीर के पैर से शुरू होता है (जिसे पूंछ भी कहा जाता है) और सिर में समाप्त होता है.

भौतिकी में, एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए आमतौर पर एक मोटे अक्षर का उपयोग किया जाता है, हालांकि इसे एक तीर के साथ एक अक्षर के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।.

तीर का मतलब है कि यह केवल एक स्केलर मूल्य नहीं है, जिसे ए द्वारा दर्शाया जाएगा, बल्कि दिशा के साथ भी कुछ होगा.

वेक्टर और स्केलर के बीच अंतर

मान जो वैक्टर नहीं हैं वे स्केलर हैं। उदाहरण के लिए, 500 सेब की इतनी मात्रा एक स्केलर है, इसका कोई पता नहीं है, यह केवल एक परिमाण है। समय एक अदिश राशि है, इसकी कोई दिशा नहीं है.

हालाँकि, गति एक वेक्टर है क्योंकि यह न केवल मार्ग की एक परिमाण (गति) को निर्दिष्ट करता है, यह मार्ग की दिशा (और दिशा) को भी इंगित करता है।.

उदाहरण के लिए, वेग वेक्टर की कार्रवाई की रेखा हो सकती है

क्षैतिज से 30 ° हो। इसलिए, हम जानते हैं कि वस्तु किस दिशा में चलती है.

हालांकि, यह अभी भी यात्रा की दिशा को निर्दिष्ट नहीं करता है, चाहे वह हमसे दूर हो रहा हो या हमारे करीब हो रहा हो। इसलिए, हम उस दिशा को भी निर्दिष्ट करते हैं जिसमें वेक्टर एक तीर के माध्यम से कार्य करता है.

बल, त्वरण और दूरी की यात्राएं भी वैक्टर हैं। उदाहरण के लिए, यह कहना कि कार 10 मीटर चली गई, यह इंगित नहीं करती है कि वह किस दिशा में गई है। आंदोलन को पूरी तरह से निर्दिष्ट करने के लिए, आंदोलन की दिशा और दिशा को निर्दिष्ट करना भी आवश्यक है.

शक्ति भी एक सदिश राशि है क्योंकि यदि आप किसी वस्तु को अपनी ओर खींचते हैं तो वह आपके करीब आती है, और यदि आप वस्तु को अपने से दूर धकेल देते हैं। इसलिए बल की एक दिशा और एक भावना है, और इसलिए, यह एक वेक्टर है.

उदाहरण

वेक्टर द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी के उदाहरण के रूप में, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

सोने की थैली की खोज करो

मान लीजिए एक शिक्षक आपको बताता है: "सोने का एक बैग कक्षा के बाहर है, इसे खोजने के लिए, 20 मीटर चलें।" यह कथन निश्चित रूप से आपको दिलचस्पी देगा, हालांकि, सोने की थैली को खोजने के लिए घोषणा में शामिल पर्याप्त जानकारी नहीं है.

सोने के बैग को खोजने के लिए आवश्यक विस्थापन का पूरी तरह से वर्णन नहीं किया गया है। दूसरी ओर, मान लीजिए कि आपका शिक्षक आपसे कहता है: "सोने का एक बैग कक्षा के बाहर स्थित है, इसे खोजने के लिए कक्षा के द्वार के केंद्र से 30 मीटर की दिशा में उत्तर की ओर 30 ° की दिशा में चलें".

यह कथन अब विस्थापन वेक्टर का पूरा विवरण प्रदान करता है, जो एक संदर्भ या प्रस्थान की स्थिति (वर्ग के दरवाजे के केंद्र) के संबंध में परिमाण (20 मीटर) और दिशा (उत्तर के 30 ° पश्चिम) को सूचीबद्ध करता है। ).

जब तक परिमाण और दिशा दोनों का संकेत नहीं मिलता तब तक वेक्टर मात्रा पूरी तरह से वर्णित नहीं होती है.

कार विस्थापन

जब हम एक कार में चलते हैं तो हम विभिन्न वैक्टरों का उपयोग करते हैं। हर बार जब हम गति बदलते हैं तो ये वैक्टर दिखाई देते हैं.

जब हम दूसरी कार को ओवरटेक करने के लिए तेज करते हैं, तो हम दिशा और गति चर जोड़ रहे हैं जो एक नया वेक्टर बनाते हैं.

दूसरी ओर, जब हम गति को कम करना चाहते हैं, तो हम कहावत घटने के लिए वैक्टर को घटा रहे हैं.

एक और अर्थ में, जब हम गति को बदले बिना रिवर्स करते हैं, तो हम उस सदिश को संशोधित कर रहे हैं जो कार की गति से निकलता है.

एक दरवाजा खोलो

जब हम एक दरवाजा खोलते हैं तो हम कई वैक्टर का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, हमें दरवाजे की घुंडी को मोड़ने के लिए एक निश्चित दिशा में एक बल छापना चाहिए, फिर हमें एक बल को छापते हुए दरवाजे को एक दिशा में धक्का देना चाहिए.

ये बल और दिशा मान उन वैक्टरों से मेल खाते हैं जिनका उपयोग एक दरवाजा खोलने के लिए किया जाता है। एक दरवाजा बंद करने की प्रक्रिया, एक नया वेक्टर उत्पन्न करेगी, जिसमें इसका मूल्य इसे खोलने के लिए शुरू में दिए गए के संबंध में नकारात्मक होगा.

एक बॉक्स ले जाएँ

जब हम एक बॉक्स को धक्का देना चाहते हैं जो बहुत भारी है, तो हमें इसकी पार्श्व सतह पर एक बल लगाना चाहिए। इस बल को एक दिशा में लगाया जाना चाहिए, ताकि बॉक्स हिल सके.

इस मामले में, वेक्टर बॉक्स को स्थानांतरित करने के लिए लागू बल और दिशा के संयोजन से परिणाम होगा.

मामले में बल को बॉक्स को धक्का देने के लिए उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन इसे लंबवत रूप से उठाने के लिए, एक नया वेक्टर दिखाई देगा.

इस वेक्टर में ऊर्ध्वाधर अक्ष शामिल होगा, जिस पर बॉक्स उठाया जाता है और बल इसे उठाने के लिए लगाया जाता है.

एक शतरंज टाइल ले जाएँ

पिछले उदाहरण की तरह, एक शतरंज की चिप को टेबल की सतह पर ले जाया जा सकता है - किसी दिए गए दिशा में और, एक विशिष्ट बल को लागू करते हुए - बोर्ड पर अपनी स्थिति बदलने के लिए, एक वेक्टर का निर्माण.

इसे बोर्ड से अलग भी उठाया जा सकता है, जिससे एक नया वेक्टर बन सकता है.

एक बटन दबाएं

एक बोटो को केवल एक ही दिशा में दबाया जाएगा, उसी सिस्टम द्वारा दिया जाएगा जिसमें बटन होता है.

उस बटन को दबाने के लिए, उंगली के साथ एक बल लगाना आवश्यक है। इस आंदोलन के अभ्यास से, एक वेक्टर परिणाम देगा.

बिलियर्ड खेलते हैं

लकड़ी के क्यू के साथ एक बिलियर्ड बॉल को हिट करने की क्रिया का तुरंत परिणाम होता है, क्योंकि इसमें दो परिमाणों का प्रभाव होता है: शक्ति और दिशा.

एक विशेष दिशा में ले जाने के लिए, बिलियर्ड बॉल पर एक बल लगाया जाएगा। टेबल पर बिलियर्ड बॉल में पहले से स्थापित भावना होगी, जो खिलाड़ी के निर्णय पर निर्भर करेगी.

एक खिलौना कार खींच रहा है

जब एक बच्चा अपनी खिलौना कार लेता है और उसे रस्सी पर खींचता है, या बस उसे अपने हाथों से पकड़ता है, तो वह कई वैक्टर पैदा कर रहा होगा.

जितनी बार बच्चा गति या दिशा बदलता है जिसमें कार चलती है, यह एक नया वेक्टर बनाएगा.

वेक्टर के चर, इस मामले में, उस ऊर्जा से बने होंगे जो बच्चा कार पर लागू होता है और जिस दिशा में वह उसे स्थानांतरित करना चाहता है।.

वैक्टर का प्रतिनिधित्व

वेक्टर मात्रा को अक्सर स्केल किए गए वेक्टर आरेख द्वारा दर्शाया जाता है.

वेक्टर आरेख एक विशिष्ट दिशा में पैमाने पर खींचे गए तीर का उपयोग करके एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक उपयुक्त वेक्टर आरेख में कई विशेषताएं होनी चाहिए:

• एक पैमाने स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध है.
• एक वेक्टर तीर एक विशिष्ट दिशा में (तीर के साथ) खींचा जाता है। वेक्टर तीर में एक सिर और एक पूंछ होती है.
• वेक्टर की परिमाण और दिशा स्पष्ट रूप से लेबल की गई है.

एक वेक्टर का पता

वैक्टर को पूर्व, पश्चिम, दक्षिण और उत्तर में निर्देशित किया जा सकता है। लेकिन कुछ वैक्टर पूर्वोत्तर (45 ° कोण पर) को निर्देशित होते हैं। इसलिए, एक वेक्टर की दिशा की पहचान करने की स्पष्ट आवश्यकता है जो उत्तर, दक्षिण, पूर्व या पश्चिम पर निर्भर नहीं करता है.

किसी भी सदिश की दिशा का वर्णन करने के लिए कई प्रकार के सम्मेलन हैं, हालांकि, उनमें से केवल दो को नीचे समझाया जाएगा.

1-एक वेक्टर की दिशा को अक्सर पूर्व, पश्चिम, उत्तर या दक्षिण में अपनी "पूंछ" के आसपास वेक्टर के रोटेशन कोण के रूप में व्यक्त किया जाता है.

उदाहरण के लिए, यह कहा जा सकता है कि एक वेक्टर में पश्चिम की ओर 40 ° उत्तर का पता होता है (जिसका अर्थ है कि पश्चिम की ओर इशारा करते हुए एक वेक्टर को 40 ° उत्तर दिशा की ओर मोड़ दिया गया है) या यह 65 ° डिग्री की दिशा है दक्षिण के पूर्व में (जिसका अर्थ है कि दक्षिण की ओर इशारा करते हुए एक वेक्टर 65 ° पूर्व की ओर घूम गया है).

2-वेक्टर की दिशा को अक्सर वेक्टर के वामावर्त दिशा में एक मोड़ कोण के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस सम्मेलन का उपयोग करते हुए, 30 ° दिशा वाला एक वेक्टर एक वेक्टर है जिसे पूर्व की तुलना में एक वामावर्त दिशा में 30 ° घुमाया गया है.

160 ° दिशा वाला एक वेक्टर एक वेक्टर है जिसे पूर्व की तुलना में प्रति-घड़ी की दिशा में 160 ° घुमाया गया है। 270 ° दिशा वाला एक वेक्टर एक वेक्टर है जिसे पूर्व की तुलना में एक वामावर्त दिशा में 270 ° घुमाया गया है.

एक वेक्टर का परिमाण

स्केल किए गए वेक्टर आरेख में एक वेक्टर की परिमाण को तीर की लंबाई द्वारा दर्शाया गया है। तीर को एक चुने हुए पैमाने के अनुसार एक सटीक लंबाई के साथ खींचा जाता है.

उदाहरण के लिए, यदि आप एक वेक्टर खींचना चाहते हैं जिसमें 20 मीटर की परिमाण है, तो आप स्केल 1 सेमी = 5 मीटर के रूप में चुन सकते हैं, और 4 सेमी की लंबाई के साथ एक तीर खींच सकते हैं।.

समान पैमाने (1 सेमी = 5 मीटर) का उपयोग करते हुए, 15 मीटर के विस्थापन वेक्टर को 3 सेमी लंबे वेक्टर तीर द्वारा दर्शाया जाएगा।.

उसी तरह, 25 मीटर का विस्थापन वेक्टर लंबाई में 5 सेमी के तीर द्वारा दर्शाया गया है। और अंत में, 18 मीटर के विस्थापन वेक्टर को 3,6 सेमी लंबे तीर द्वारा दर्शाया गया है.

वैक्टर की अन्य विशेषताएं

समानता: यह कहा जाता है कि दो वैक्टर समान होते हैं यदि उनके पास एक ही परिमाण और दिशा हो। समान रूप से वे समान होंगे यदि उनके निर्देशांक समान हैं.

विपक्ष: दो वैक्टर विपरीत हैं यदि उनके पास एक ही परिमाण है लेकिन विपरीत दिशा है.

Paralelos: दो वैक्टर समानांतर होते हैं यदि उनकी दिशा समान होती है लेकिन जरूरी नहीं कि वे एक ही परिमाण हों, या प्रतिपद समानांतर हों यदि उनके विपरीत दिशा हो लेकिन जरूरी नहीं कि एक ही परिमाण हो.

वेक्टर इकाई: एक यूनिट वेक्टर किसी भी वेक्टर की लंबाई के साथ होता है.

वेक्टर शून्य: शून्य वेक्टर शून्य लंबाई वाला वेक्टर है। किसी भी अन्य वेक्टर के विपरीत, इसकी एक मनमानी या अनिश्चित दिशा है, और इसे सामान्य नहीं किया जा सकता है

संदर्भ

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