समूहन द्वारा सामान्य कारक क्या है? 6 उदाहरण

समूहन द्वारा सामान्य कारक फैक्टरिंग का एक तरीका है, जिसके माध्यम से बहुपद का एक और अधिक सरलीकृत रूप बनाने के लिए एक बहुपद की शर्तों को "समूहीकृत" किया जाता है।. 

समूहन द्वारा फैक्टरिंग का एक उदाहरण 2 × 2 + 8x + 3x + 12 फैक्टरेड फॉर्म (2x + 3) (x + 4) के बराबर है.

समूहन द्वारा कारक में, बहुपद की शर्तों के बीच के सामान्य कारकों की तलाश की जाती है और बाद में, बहुपद को सरल बनाने के लिए वितरण गुण को लागू किया जाता है; यही कारण है कि, कभी-कभी, इसे समूहन द्वारा सामान्य कारक कहा जाता है. 

समूहीकरण द्वारा कारक के लिए कदम

चरण n ° १

आपको यह सुनिश्चित होना चाहिए कि बहुपद की चार शर्तें हैं; यदि यह एक ट्रिनोमियल है (तीन शब्दों के साथ), तो इसे चार शब्दों के बहुपद में बदलना चाहिए.

चरण n ° 2

निर्धारित करें कि क्या चार शब्दों का एक सामान्य कारक है। यदि हां, तो हमें सामान्य कारक को निकालना होगा और बहुपद को फिर से लिखना होगा.

उदाहरण के लिए: 5 × 2 + 10 x + 25x + 5

सामान्य कारक: 5

5 (x2 + 2x + 5x + 1) 

चरण n ° 3

यदि पहले दो शब्दों का सामान्य कारक अंतिम दो शब्दों के सामान्य कारक से भिन्न होता है, तो सामान्य कारकों वाले शब्दों को समूहीकृत किया जाना चाहिए और बहुपद को फिर से लिखना चाहिए.

उदाहरण के लिए: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4

5 × 2 + 10 x: 5x में सामान्य कारक

2x + 4: 2 में सामान्य कारक

5x (x + 2) + 2 (x + 2) 

चरण n ° 4

यदि परिणामी कारक समान हैं, तो सामान्य कारक सहित बहुपद एक बार फिर से लिखा जाता है.

उदाहरण के लिए: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4

5x (x + 2) + 2 (x + 2)

(5x + 2) (x + 2)      

समूहन द्वारा कारक का उदाहरण 

उदाहरण n ° 1: 6 × 2 + 3x + 20x + 10

यह एक बहुपद है जिसमें चार शब्द हैं, जिनके बीच कोई सामान्य कारक नहीं है। हालाँकि, शब्द एक और दो में एक सामान्य कारक के रूप में 3x है; जबकि तीन और चार शब्दों में 10 एक सामान्य कारक के रूप में है.

प्रत्येक जोड़ी की शर्तों से सामान्य कारकों को निकालकर, आप निम्नलिखित तरीके से बहुपद को फिर से लिख सकते हैं:

3x (2x + 1) + 10 (2x + 1)

अब, यह देखा जा सकता है कि इन दो शब्दों का एक सामान्य कारक है: (2x + 1); इसका मतलब है कि आप इस कारक को निकाल सकते हैं और बहुपद को फिर से लिख सकते हैं:

(3x + 10) (2x + 1) 

उदाहरण n ° 2: x2 + 3x + 2x + 6

इस उदाहरण में, पिछले एक की तरह, चार शब्दों में एक सामान्य कारक नहीं है। हालाँकि, पहले दो शब्दों में x एक सामान्य कारक के रूप में है, जबकि अंतिम दो में सामान्य कारक 2 है.

इस अर्थ में, आप निम्नलिखित तरीके से बहुपद को फिर से लिख सकते हैं:

x (x + 3) + 2 (x + 3)

अब, हम सामान्य कारक (x + 3) को निकालते हैं, परिणाम निम्न होगा:

(x + 2) (x + 3)

उदाहरण n ° 3: 2y3 + y2 + 8y2 + 4y

इस मामले में, पहले दो शब्दों के बीच का सामान्य कारक y2 है, जबकि अंतिम दो में सामान्य कारक 4y है.

बहुपद का पुनर्लेखन निम्नलिखित होगा:

y2 (2y + 1) + 4y (2y + 1)

अब, हम कारक (2y + 1) को निकालते हैं और परिणाम इस प्रकार है:

(y2 + 4y) (2y + 1) 

उदाहरण n ° 4: 2 × 2 + 17x + 30

जब बहुपद में चार शब्द नहीं होते हैं, बल्कि यह एक ट्रिनोमियल (जिसमें तीन पद होते हैं) होता है, तो इसे समूहीकृत करना संभव है.

हालांकि, माध्यम के शब्द को विभाजित करना आवश्यक है ताकि आपके पास चार तत्व हो सकें.

ट्रिनोमियल 2 × 2 + 17x + 30 में, 17x शब्द को दो में विभाजित किया जाना चाहिए.

ट्रिनोमिअल्स में जो फार्म ax2 + bx + c का अनुसरण करते हैं, नियम यह है कि दो संख्याएँ ज्ञात करें जिनका उत्पाद x c है और जिनका योग b के बराबर है.

इसका मतलब यह है कि, इस उदाहरण में, आपको एक नंबर की आवश्यकता है जिसका उत्पाद 2 x 30 = 60 है और वह कुल 17 है। इसके लिए उत्तर है व्यायाम 5 और 12.

अगला, हम बहुपद के रूप में ट्रिनोमियल को फिर से लिखते हैं:

2 × 2 + 12x + 5x + 30

पहले दो शब्दों में एक सामान्य कारक के रूप में x है, जबकि अंतिम दो में सामान्य कारक 6 है। परिणामी बहुपद होगा:

x (2x + 5) + 6 (2x +5)

अंत में, हम इन दो शब्दों में सामान्य कारक निकालते हैं; परिणाम निम्नलिखित है:

(x + 6) (2x + 5) 

उदाहरण n ° 5: 4 × 2 + 13x + 9

इस उदाहरण में, आपको चार-टर्म बहुपद बनाने के लिए मध्य शब्द को भी विभाजित करना होगा.

इस स्थिति में, हमें दो संख्याओं की आवश्यकता होती है, जिसका गुणनफल 4 x 9 = 36 है और जिसका योग 13. के बराबर है। इस अर्थ में, आवश्यक संख्याएँ 4 और 9 हैं।.

अब, ट्रिनोमियल को एक बहुपद के रूप में फिर से लिखा गया है:

4 × 2 + 4x + 9x + 9

पहले दो शब्दों में, सामान्य कारक 4x है, जबकि उत्तरार्द्ध में, सामान्य कारक 9 है.

4x (x + 1) + 9 (x + 1)

एक बार जब हम सामान्य कारक (x + 1) को निकालते हैं, तो परिणाम निम्न होगा:

(4x + 9) (x +1) 

उदाहरण n ° 6: 3 × 3 - 6x + 15x - 30

प्रस्तावित बहुपद में, सभी शब्दों का एक समान कारक होता है: 3. फिर, बहुपद को फिर से लिखा जाता है:

3 (x3 - 2x + 5x -10)

अब हम कोष्ठकों के भीतर शब्दों को समूहित करते हैं और उनके बीच सामान्य कारक का निर्धारण करते हैं। पहले दो में, सामान्य कारक x है, जबकि अंतिम दो में यह 5 है:

3 (x2 (x - 2) + 5 (x - 2))

अंत में, सामान्य कारक (x - 2) निकाला जाता है; परिणाम निम्नलिखित है:

3 (x2 + 5) (x - 2)

संदर्भ

1. समूहन द्वारा फैक्टरिंग। 25 मई, 2017 को khanacademy.org से लिया गया.
2. फैक्टरिंग: ग्रुपिंग। 25 मई 2017 को मेसकॉएडू से लिया गया.
3. उदाहरणों को समूहीकृत करके फैक्टर करना। 25 मई 2017 को shmoop.com से लिया गया.
4. समूहन द्वारा फैक्टरिंग। बेसिक-mathematics.com से 25 मई, 2017 को लिया गया.
5. समूहन द्वारा फैक्टरिंग। 25 मई, 2017 को https://www.shmoop.com से प्राप्त किया गया
6. समूहन का परिचय। 25 मई 2017 को khanacademy.com से लिया गया.
7. समस्याओं का अभ्यास करें। 25 मई 2017 को मेसकॉएडू से लिया गया.