त्रिकोणमितीय सीमाएँ क्या हैं? (हल किए गए व्यायाम के साथ)

त्रिकोणमितीय सीमा वे ऐसे कार्यों की सीमा हैं जैसे कि ये कार्य त्रिकोणमितीय कार्यों द्वारा बनते हैं.

त्रिकोणमितीय सीमा की गणना कैसे की जाती है, इसे समझने के लिए दो परिभाषाएँ ज्ञात होनी चाहिए.

ये परिभाषाएँ हैं:

- एक फ़ंक्शन "f" की सीमा जब "x" "b" की ओर जाती है: इसमें "b" के रूप में "x" दृष्टिकोण "b" के रूप में "x" दृष्टिकोण के मान की गणना करने में समाहित है।.

- त्रिकोणमितीय कार्य: त्रिकोणमितीय कार्य साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कार्य हैं, जिन्हें क्रमशः पाप (x), कॉस (x) और टैन (x) द्वारा दर्शाया जाता है।.

अन्य त्रिकोणमितीय कार्य उपरोक्त उल्लिखित तीन कार्यों से प्राप्त किए जाते हैं.

कार्यों की सीमा

किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए सरल कार्यों के साथ कुछ उदाहरण दिखाने के लिए आगे बढ़ेंगे.

- F (x) = 3 की सीमा जब "x" "8" के बराबर हो जाती है, क्योंकि फ़ंक्शन हमेशा स्थिर रहता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि कितना "x" मूल्य है, च (x) का मान हमेशा "3" होगा.

- F (x) = x-2 की सीमा जब "x" से "6" हो जाती है तो "4" होती है। जब से "x" "6" के पास जाता है, तब "x-2" "6-2 = 4" तक पहुंचता है.

- G (x) = x² की सीमा जब "x" से "3" हो जाती है, तो 9 के बराबर होती है, क्योंकि जब "x" "3" के निकट आता है, तब "x²" "3² = 9" के पास पहुंचता है.

जैसा कि पिछले उदाहरणों में देखा जा सकता है, एक सीमा की गणना में मान का मूल्यांकन करना होता है, जो "x" फ़ंक्शन में जाता है, और परिणाम सीमा का मूल्य होगा, हालांकि यह केवल निरंतर कार्यों के लिए सही है.

क्या अधिक जटिल सीमाएँ हैं?

जवाब है हां। उपरोक्त उदाहरण सीमा के सबसे सरल उदाहरण हैं। गणना की पुस्तकों में, मुख्य सीमा अभ्यास वे हैं जो 0/0, the / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 और (∞) प्रकार की अनिश्चितता उत्पन्न करते हैं। ^ 0.

इन अभिव्यक्तियों को अनिश्चितता कहा जाता है क्योंकि वे ऐसे भाव हैं जो गणितीय रूप से समझ में नहीं आते हैं.

मूल सीमा में शामिल कार्यों के आधार पर, इसके अलावा, अनिश्चितताओं को हल करने में प्राप्त परिणाम प्रत्येक मामले में अलग हो सकता है.

सरल त्रिकोणमितीय सीमाओं के उदाहरण

सीमाओं को हल करने के लिए, हमेशा शामिल कार्यों के ग्राफ़ को जानना बहुत उपयोगी है। नीचे साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कार्यों के रेखांकन दिए गए हैं.

सरल त्रिकोणमितीय सीमा के कुछ उदाहरण हैं:

- पाप की सीमा की गणना करें (x) जब "x" "0" पर जाता है.

ग्राफ़ को देखते समय आप देख सकते हैं कि अगर "x" "0" (दोनों बाईं ओर और दाईं ओर) आ रहा है, तो साइन ग्राफ़ भी "0" के निकट आ रहा है। इसलिए, पाप की सीमा (x) जब "x" से "0" हो जाती है, तो "0" होती है.

- कोस की सीमा की गणना करें (x) जब "x" "0" पर जाता है.

कोसाइन ग्राफ का अवलोकन करते हुए, यह देखा जा सकता है कि जब "x" "0" के करीब होता है तो कोसाइन ग्राफ "1" के करीब होता है। इसका तात्पर्य यह है कि जब "x" "0" के बराबर होता है तो cos (x) की सीमा "1" के बराबर होती है.

एक सीमा मौजूद हो सकती है (संख्या के रूप में), पिछले उदाहरणों में, लेकिन यह भी हो सकता है कि यह मौजूद नहीं है जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में दिखाया गया है.

- टैन (x) की सीमा जब "x" बाईं ओर "2/2" हो जाती है, तो "+ can" के बराबर होती है, जैसा कि ग्राफ में देखा जा सकता है। दूसरी ओर, टैन (x) की सीमा जब "x" दाईं ओर "-2/2" के बराबर होती है, तो "-is" के बराबर होती है.

त्रिकोणमितीय सीमाओं की पहचान

त्रिकोणमितीय सीमा की गणना करते समय दो बहुत उपयोगी पहचान हैं:

- "पाप" (x) / x "की सीमा" x "" 0 "के बराबर है जब" 1 "के बराबर होता है.

- "(1-कोस (x)) / x" की सीमा जब "x" "0" के बराबर हो जाती है, तो "0" के बराबर होता है.

इन पहचानों का उपयोग बहुत बार किया जाता है जब आप किसी प्रकार की अनिश्चितता रखते हैं.

हल किए गए अभ्यास

ऊपर वर्णित पहचानों का उपयोग करके निम्नलिखित सीमाओं को हल करें.

- "एफ" (x) = पाप (3x) / x "की सीमा की गणना करें जब" x "" 0 "पर जाता है.

यदि फ़ंक्शन "एफ" का मूल्यांकन "0" में किया जाता है, तो टाइप 0/0 की एक अनिश्चितता प्राप्त की जाएगी। इसलिए, हमें वर्णित पहचानों का उपयोग करके इस अनिश्चितता को हल करने का प्रयास करना चाहिए.

इस सीमा और पहचान के बीच एकमात्र अंतर नंबर 3 है जो साइन फ़ंक्शन के भीतर दिखाई देता है। पहचान लागू करने के लिए, फ़ंक्शन "f (x)" को "3 * (पाप (3x) / 3x)" इस तरह से फिर से लिखना होगा। अब, साइन और हर के तर्क दोनों समान हैं.

इसलिए जब "x" "3 * 1 = 3" में पहचान परिणाम का उपयोग करके "0" पर जाता है। इसलिए, f (x) की सीमा जब "x" से "0" हो जाती है, तो "3" के बराबर होता है.

- "G" (x) = 1 / x - cos (x) / x "की सीमा की गणना तब करें जब" x "" "" पर जाता है.

जब "x = 0" को g (x) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो ∞-। प्रकार का एक अनिश्चितता प्राप्त होती है। इसे हल करने के लिए, भिन्नों को घटाया जाता है, जो परिणाम देता है "(1-cos (x)) / x".

अब, दूसरी त्रिकोणमितीय पहचान लागू करते समय, हमारे पास g (x) की सीमा होती है, जब "x" "0" के बराबर होता है।.

- "H" (x) = 4tan (5x) / 5x "की सीमा की गणना करें जब" x "का झुकाव" ".

फिर, यदि आप h (x) से "0" का मूल्यांकन करते हैं, तो आपको टाइप 0/0 का अनिश्चितता मिलेगी.

टैन (5x) को पाप के रूप में (5x) / cos (5x) परिणाम देने से h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

4 / cos (x) की सीमा का उपयोग करते समय जब "x" "0" के बराबर होता है, तो "4/1 = 4" के बराबर होता है और पहली त्रिकोणमितीय पहचान यह प्राप्त की जाती है कि h (x) की सीमा जब "x" झुकती है एक "0" बराबर "1 * 4 = 4".

अवलोकन

त्रिकोणमितीय सीमा हमेशा हल करना आसान नहीं होता है। इस लेख में केवल मूल उदाहरण दिखाए गए थे.

संदर्भ

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