एक साथ समीकरण क्या हैं? (हल किए गए अभ्यास के साथ)

एक साथ समीकरण वे समीकरण हैं जो एक ही समय में पूरे होने चाहिए। इसलिए, एक साथ समीकरण होने के लिए एक से अधिक समीकरण होना चाहिए.

जब आपके पास दो या अधिक भिन्न समीकरण होते हैं, जिसमें एक ही समाधान (या समान समाधान) होना चाहिए, तो आप कहते हैं कि आपके पास समीकरणों की एक प्रणाली है या आप कहते हैं कि आपके पास एक साथ समीकरण हैं.

जब आपके पास एक साथ समीकरण होते हैं तो ऐसा हो सकता है कि उनके पास सामान्य समाधान नहीं है या उनके पास एक परिमित राशि है या एक अनंत राशि है.

एक जैसे समीकरण

Eq1 और Eq2 दो अलग-अलग समीकरणों को देखते हुए, हमारे पास यह है कि इन दो समीकरणों की प्रणाली को समकालिक समीकरण कहा जाता है.

समकालिक समीकरण इस बात को पूरा करते हैं कि यदि S Eq1 का हल है तो S भी Eq2 का विलयन है और इसके विपरीत

सुविधाओं

जब एक साथ समीकरणों की प्रणाली की बात आती है तो आपके पास 2 समीकरण, 3 समीकरण या एन समीकरण हो सकते हैं.

सबसे सामान्य तरीके जो एक साथ समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, वे हैं: प्रतिस्थापन, समीकरण और कमी। क्रैमर के नियम नामक एक अन्य विधि भी है, जो दो से अधिक समकालिक समीकरण वाली प्रणालियों के लिए बहुत उपयोगी है.

एक साथ समीकरणों का एक उदाहरण प्रणाली है

E11: x + y = 2

E22: 2x-y = 1

यह देखा जा सकता है कि x = 0, y = 2 Eq1 का एक समाधान है लेकिन यह Eq2 का समाधान नहीं है.

एकमात्र समान समाधान जो दोनों समीकरणों में x = 1, y = 1 है। यही है, x = 1, y = 1 एक साथ समीकरणों की प्रणाली का समाधान है.

हल किए गए व्यायाम

फिर हम 3 उल्लिखित विधियों के माध्यम से ऊपर दिखाए गए एक साथ समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं.

पहला व्यायाम

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 की प्रणाली को हल करें.

समाधान

प्रतिस्थापन विधि में समीकरणों में से एक के अज्ञात को साफ़ करने और फिर दूसरे समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने में शामिल है। इस विशेष स्थिति में, आप Eq1 से "y" साफ़ कर सकते हैं और आपको वह y = 2-x मिलता है.

Eq2 में "y" के इस मान को प्रतिस्थापित करते समय, यह प्राप्त होता है कि 2x- (2-x) = 1। इसलिए, हम उस 3x-2 = 1, अर्थात् x = 1 को प्राप्त करते हैं.

फिर, चूंकि x का मान ज्ञात है, इसलिए इसे "y" में प्रतिस्थापित किया जाता है और y = 2-1 = 1 प्राप्त किया जाता है.

इसलिए, एक साथ समीकरण Eq1 और Eq2 की प्रणाली का एकमात्र समाधान x = 1, y = 1 है.

दूसरा व्यायाम

समीकरणों के उपयोग से Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

समाधान

समतुल्य विधि में दोनों समीकरणों से एक ही प्रश्न समाशोधन होता है और फिर परिणामी समीकरणों को बराबर किया जाता है.

दोनों समीकरणों से "x" को साफ़ करते हुए, हम उस x = 2-y को ​​प्राप्त करते हैं, और उस x = (1 + y) / 2 को। अब, इन दो समीकरणों को बराबर किया जाता है और हम उस 2-y = (1 + y) / 2 प्राप्त करते हैं, जहाँ यह पता चलता है कि 4-2y = 1 + y.

अज्ञात "y" को उसी तरफ समूहित करने से y = 1 का परिणाम मिलता है। अब जब आप जानते हैं कि "और" आप "x" का मान ज्ञात करते हैं। Y = 1 को प्रतिस्थापित करते समय हमें वह x = 2-1 = 1 मिलता है.

इसलिए, समीकरण Eq1 और Eq2 के बीच सामान्य समाधान x = 1, y = 1 है.

तीसरा व्यायाम

कमी विधि का उपयोग करके समीकरण Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 की प्रणाली को हल करें.

समाधान

कटौती विधि में उपयुक्त गुणांकों द्वारा दिए गए समीकरणों को गुणा करना है, ताकि इन समीकरणों को जोड़ने पर चर में से एक को रद्द कर दिया जाए।.

इस विशेष उदाहरण में, आपको किसी भी गुणांक द्वारा किसी समीकरण को गुणा करने की आवश्यकता नहीं है, बस उन्हें एक साथ जोड़ें। Eq1 प्लस Eq2 को जोड़ने पर हम उस 3x = 3 को प्राप्त करते हैं, जिससे हम उस x = 1 को प्राप्त करते हैं.

Eq1 में x = 1 का मूल्यांकन करते समय हम उस 1 + y = 2 को प्राप्त करते हैं, जिससे यह पता चलता है कि y = 1 है.

इसलिए, x = 1, y = 1 एक साथ समीकरण Eq1 और Eq2 का एकमात्र समाधान है.

चौथा व्यायाम

एक साथ समीकरण Eq1 की प्रणाली को हल करें: 2x-3y = 8 और Eq2: 4x-3y - 12.

समाधान

इस अभ्यास के लिए किसी विशेष विधि की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए आप वह विधि लागू कर सकते हैं जो प्रत्येक पाठक के लिए सबसे अधिक आरामदायक हो.

इस स्थिति में, कमी विधि का उपयोग किया जाएगा। Eq1 को -2 से गुणा करने पर समीकरण Eq3: -4x + 6y = -16 मिलता है। अब, Eq3 और Eq2 को जोड़ने पर 3y = -4 मिलता है, इसलिए y = -4 / 3.

अब, Eq1 में y = -4 / 3 का मूल्यांकन करते समय, हम उस 2x-3 (-4/3) = 8 को प्राप्त करते हैं, जहां 2x + 4 = 8, इसलिए, x = 2.

निष्कर्ष में, एक साथ समीकरण Eq1 और Eq2 की प्रणाली का एकमात्र समाधान x = 2, y = -4 / 3 है.

अवलोकन

इस आलेख में वर्णित विधियों को दो से अधिक एक साथ समीकरणों वाले सिस्टम पर लागू किया जा सकता है.

अधिक समीकरण और अधिक अज्ञात हैं, सिस्टम को हल करने की प्रक्रिया अधिक जटिल है.

समीकरणों को हल करने की किसी भी विधि से एक ही समाधान निकलेगा, अर्थात्, समाधान उस पद्धति पर निर्भर नहीं करता है जो लागू होती है.

संदर्भ

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