उल्लेखनीय उत्पादों की व्याख्या और हल किए गए अभ्यास

उल्लेखनीय उत्पाद वे बीजीय संचालन हैं, जहां बहुपद के गुणन व्यक्त किए जाते हैं, जिन्हें पारंपरिक रूप से हल करने की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन कुछ नियमों की मदद से आप उनके परिणाम जान सकते हैं.

बहुपद को अपने आप से गुणा किया जाता है, इसलिए उनके पास बड़ी संख्या में शब्द और चर हो सकते हैं। इस प्रक्रिया को कम करने के लिए, उल्लेखनीय उत्पादों के नियमों का उपयोग किया जाता है, जो बिना किसी शब्द के गुणा किए जाने की अनुमति देते हैं।.

सूची

• 1 उल्लेखनीय उत्पाद और उदाहरण
  • 1.1 द्विपद वर्ग
  • 1.2 संयुग्मित द्विपद का उत्पाद
  • 1.3 एक सामान्य शब्द के साथ दो द्विपद का उत्पाद
  • 1.4 बहुपद वर्ग
  • 1.5 घन से द्विपद
  • 1.6 एक ट्रिनोमियल की बाल्टी
• 2 उल्लेखनीय उत्पादों के लिए हल किए गए व्यायाम
  • २.१ व्यायाम १
  • २.२ व्यायाम २
• 3 संदर्भ

उल्लेखनीय उत्पाद और उदाहरण

प्रत्येक उल्लेखनीय उत्पाद एक सूत्र है जो एक कारक से उत्पन्न होता है, जो विभिन्न शब्दों के बहुपदों से बना होता है जैसे कि द्विपद या त्रिनोमिअल्स, जिन्हें कारक कहा जाता है.

कारक एक शक्ति का आधार हैं और एक प्रतिपादक हैं। जब कारक गुणा करते हैं, तो घातांक जोड़ना होगा.

कई उल्लेखनीय उत्पाद सूत्र हैं, कुछ बहुपदों के आधार पर दूसरों की तुलना में अधिक उपयोग किए जाते हैं, और वे निम्नलिखित हैं:

द्विपद वर्ग

यह अपने आप में एक द्विपद का गुणन है, जिसे शक्ति के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां शब्द जोड़े या घटाए जाते हैं:

एक। वर्ग के योग की द्विपद: पहले पद के वर्ग के बराबर है, और दो बार शब्दों के गुणनफल के अलावा दूसरे पद के वर्ग के बराबर है। इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

(ए + बी)² = (ए + बी) _* (ए + बी).

निम्नलिखित आंकड़ा दिखाता है कि उपरोक्त नियम के अनुसार उत्पाद कैसे विकसित किया गया है। परिणाम को एक पूर्ण वर्ग का त्रिनोमियल कहा जाता है.

उदाहरण 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

उदाहरण 2

(4 ए + 2 बी) = (4 ए)² + 2 (4 ए _* 2 बी) + (2 बी)²

(4 ए + 2 बी) = 8 ए² + 2 (8ab) + 4 बी²

(4 ए + 2 बी) = 8 ए² + 16 एबी + 4 बी².

ख। एक घटाव वर्ग की द्विपद: एक ही राशि के द्विपद पर एक ही नियम लागू होता है, केवल इस मामले में दूसरा शब्द नकारात्मक है। इसका सूत्र निम्नलिखित है:

(ए - बी)² = [(ए) + (- बी)]²

(ए - बी)² = ए² +2 _* (-बी) + (-बी)²

(ए - बी)²  = ए² - 2ab + बी².

उदाहरण 1

(2x - 6)² = (2x)² - 2 (2x) _* 6) + 6²

(2x - 6)²  = 4x² - 2 (12x) + 36

(2x - 6)² = 4x² - 24x + 36.

संयुग्मित द्विपद का उत्पाद

दो द्विपद को संयुग्मित किया जाता है जब प्रत्येक के दूसरे पद अलग-अलग चिह्नों के होते हैं, अर्थात् पहला सकारात्मक होता है और दूसरा नकारात्मक या इसके विपरीत। प्रत्येक मोनोमेय वर्ग को बढ़ाकर और घटाकर हल करें। इसका सूत्र निम्नलिखित है:

(ए + बी) _* (ए - बी)

निम्नलिखित आकृति में दो संयुग्मित द्विपद का उत्पाद विकसित किया जाता है, जहां यह देखा जाता है कि परिणाम वर्गों का अंतर है.

उदाहरण 1

(2 ए + 3 बी) (2 ए - 3 बी) = 4 ए² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)²)

(2 ए + 3 बी) (2 ए - 3 बी) = 4 ए² - 9b².

एक सामान्य शब्द के साथ दो द्विपद का उत्पाद

यह सबसे जटिल और कम इस्तेमाल किए जाने वाले उल्लेखनीय उत्पादों में से एक है क्योंकि यह दो द्विपद का गुणन है जिसमें एक सामान्य शब्द है। नियम निम्नलिखित इंगित करता है:

• सामान्य शब्द का वर्ग.
• साथ ही उन शब्दों को जोड़ें जो सामान्य नहीं हैं और फिर उन्हें सामान्य शब्द से गुणा करें.
• साथ ही उन शब्दों के गुणन का योग जो सामान्य नहीं हैं.

यह सूत्र में दर्शाया गया है: (x + a) _* (x + b) और इसे चित्र में दिखाए अनुसार विकसित किया गया है। परिणाम एक वर्ग ट्रिनोमिअल सही नहीं है.

(x + 6) _* (x + 9) = x² + (६ + ९) _* x + (6) _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x² + 15x + 54.

एक संभावना है कि दूसरा शब्द (भिन्न शब्द) नकारात्मक है और इसका सूत्र निम्न है: (x + a) _* (x - b).

उदाहरण 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x) _* 7x) + (4 - 2)_* 7x + (4) _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + (2)_* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + 14x - 8.

यह भी मामला हो सकता है कि दोनों अलग-अलग शब्द नकारात्मक हों। इसका सूत्र होगा: (x - a) _* (x - b).

उदाहरण 3

(3 बी - 6) _* (3 बी - 5) = (3 बी) _* 3 बी) + (-6 - 5)_* (3 बी) + (-6) _* -5)

(3 बी - 6) _* (3 बी - 5) = 9 बी² + (-11) _* (3 बी) + (30)

(3 बी - 6) _* (3 बी - 5) = 9 बी² - 33 बी + 30.

वर्ग बहुपद

इस मामले में दो से अधिक शब्द हैं और इसे विकसित करने के लिए, प्रत्येक को चुकता किया जाता है और एक साथ एक शब्द के दो गुणा के साथ जोड़ा जाता है; इसका सूत्र है: (a + b + c)² और ऑपरेशन का परिणाम एक ट्रिनोमियल वर्ग है.

उदाहरण 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2y)² + (4Z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4y² + 16Z² + 12xy + 24xz + 16yz.

घन के लिए द्विपद

यह एक उल्लेखनीय जटिल उत्पाद है। इसे विकसित करने के लिए, इसके वर्ग द्वारा द्विपद को निम्न तरीके से गुणा करें:

एक। राशि के घन के लिए द्विपद के लिए:

• पहले पद का घन, और दूसरे के पहले पद के वर्ग का त्रिगुण.
• साथ ही दूसरे वर्ग के लिए पहला कार्यकाल तिगुना कर दिया.
• साथ ही दूसरे कार्यकाल का घन.

(ए + बी)³ = (ए + बी) _* (ए + बी)²

(ए + बी)³ = (ए + बी) _* (क² + 2ab + बी²)

(ए + बी)³ = ए³ + 2²b + अब² + बा² + 2AB² + ख³

(ए + बी)³ = ए³ + 3²बी + ३ ए बी² + ख³.

उदाहरण 1

(ए + ३)³ = ए³ + 3 (ए)²_*(३) + ३ (क)_*(3)² + (3)³

(ए + ३)³ = ए³ + 3 (ए)²_*(३) + ३ (क)_*(९) + २ 27

(ए + ३)³ = ए³ + 9 ए² + 27 ए + 27.

ख। एक घटाव के घन के लिए द्विपद के लिए:

• पहले पद का घन, दूसरे शब्द के पहले पद के वर्ग का त्रिगुण.
• साथ ही दूसरे वर्ग के लिए पहला कार्यकाल तिगुना कर दिया.
• दूसरे कार्यकाल के घन को कम.

(ए - बी)³ = (ए - बी) _* (ए - बी)²

(ए - बी)³ = (ए - बी) _* (क² - 2ab + बी²)

(ए - बी)³ = ए³ - 2²b + अब² - बा² + 2AB² - ख³

(ए - बी)³ = को³ - 3²बी + ३ ए बी² - ख³.

उदाहरण 2

(बी - ५)³ = बी³ + 3 (बी)²_*(-5) + ३ (बी)_*(-5)² + (-5)³

(बी - ५)³ = बी³ + 3 (बी)²_*(-5) + ३ (बी)_*(२५) -१२५

(बी - ५)³ = बी³ - 15b² +75 बी - 125.

एक ट्रिनोमियल की बाल्टी

यह अपने वर्ग से गुणा करके विकसित होता है। यह एक बहुत ही व्यापक उत्पाद है, क्योंकि घन के लिए उठाए गए 3 शब्द हैं, साथ ही प्रत्येक शब्द को तीन बार, चुकता किए गए शब्द के तीन गुणा, और तीन शब्दों के उत्पाद से छह गुना अधिक है। बेहतर तरीके से देखा गया:

(ए + बी + सी)³ = (ए + बी + सी) _* (ए + बी + सी)²

(ए + बी + सी)³ = (ए + बी + सी) _* (क² + ख² + ग² + 2ab + 2ac + 2bc)

(ए + बी + सी)³ = ए³ + ख³ + ग³ + 3²बी + ३ ए बी² + 3²c + 3ac² + 3 बी²c + 3bc² + 6abc.

उदाहरण 1

उल्लेखनीय उत्पादों के हल

व्यायाम 1

निम्नलिखित द्विपद को घन में विकसित करें: (4x - 6)³.

समाधान

यह याद करते हुए कि घन के लिए एक द्विपद घन के लिए उठाए गए पहले पद के बराबर है, दूसरे द्वारा पहले पद के वर्ग का त्रिगुण कम; इसके अलावा पहले कार्यकाल के ट्रिपल, दूसरे वर्ग द्वारा, दूसरे कार्यकाल के घन घटा.

(4x - 6)³ = (4x)³ - 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _* (6)² - (6)²

(4x - 6)³ = 64x³ - 3 (16x)²) (6) + 3 (4x)_* (३६) - ३६

(4x - 6)³ = 64x³ - 288x² + 432x - 36.

व्यायाम २

निम्नलिखित द्विपद विकसित करें: (x + 3) (x + 8).

समाधान

एक द्विपद है जहां एक सामान्य शब्द है, जो x है और दूसरा पद सकारात्मक है। इसे विकसित करने के लिए आपको केवल सामान्य शब्द को वर्गबद्ध करना होगा, साथ ही उन शब्दों का योग जो सामान्य नहीं हैं (3 और 8) और फिर उन्हें सामान्य शब्द से गुणा करें, और उन शब्दों के गुणन का योग जो सामान्य नहीं हैं.

(x + 3) (x + 8) = x² + (३ + 8) x + (३)_*8)

(x + 3) (x + 8) = x² + 11x + 24.

संदर्भ

1. एंजल, ए। आर। (2007). प्राथमिक बीजगणित. पियर्सन शिक्षा,.
2. आर्थर गुडमैन, एल। एच। (1996). विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ बीजगणित और त्रिकोणमिति. पियर्सन शिक्षा.
3. दास, एस। (S.f.). मैथ्स प्लस 8. यूनाइटेड किंगडम: रत्ना सागर.
4. जेरोम ई। कॉफमैन, के। एल। (2011). प्राथमिक और मध्यवर्ती बीजगणित: एक संयुक्त दृष्टिकोण. फ्लोरिडा: सेंगेज लर्निंग.
5. पेरेज़, सी। डी। (2010)। पियर्सन शिक्षा.