असतत गणित क्या वे परोसते हैं, थ्योरी ऑफ सेट्स

असतत गणित गणित के एक क्षेत्र के अनुरूप है जो प्राकृतिक संख्याओं के सेट का अध्ययन करने के लिए जिम्मेदार है; अर्थात्, परिमित और अनंत संख्याओं की संख्या जहां तत्वों को अलग-अलग, एक-एक करके गिना जा सकता है.

इन सेटों को असतत सेट के रूप में जाना जाता है; इन सेटों का एक उदाहरण पूरे नंबर, ग्राफ या तार्किक अभिव्यक्ति हैं, और वे विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में लागू होते हैं, मुख्यतः कंप्यूटिंग या कंप्यूटिंग में.

सूची

• 1 विवरण
• 2 असतत गणित किसके लिए है??
  • २.१ संयोजक
  • 2.2 असतत वितरण का सिद्धांत
  • २.३ सूचना का सिद्धांत
  • 2.4 कम्प्यूटिंग
  • 2.5 क्रिप्टोग्राफी
  • 2.6 तर्क
  • 2.7 रेखांकन का सिद्धांत
  • 2.8 ज्यामिति
• 3 सेट का सिद्धांत
  • 3.1 परिमित सेट
  • 3.2 अनंत लेखांकन सेट
• 4 संदर्भ

विवरण

असतत गणित प्रक्रियाएं पूर्ण संख्याओं के आधार पर गणनीय होती हैं। इसका मतलब है कि दशमलव संख्याओं का उपयोग नहीं किया जाता है और इसलिए, अन्य क्षेत्रों की तरह, सन्निकटन या सीमा का उपयोग नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अज्ञात 5 या 6 के बराबर हो सकता है, लेकिन 4.99 या 5.9 कभी नहीं.

दूसरी ओर, ग्राफिक प्रतिनिधित्व में चर असतत होंगे और बिंदुओं के एक निश्चित सेट से दिए गए हैं, जिन्हें एक-एक करके गिना जाता है, जैसा कि छवि में देखा गया है:

असतत गणित एक सटीक अध्ययन प्राप्त करने की आवश्यकता से पैदा होता है जिसे विभिन्न क्षेत्रों में लागू करने के लिए संयुक्त और परीक्षण किया जा सकता है.

असतत गणित के लिए क्या हैं??

कई क्षेत्रों में असतत गणित का उपयोग किया जाता है। इनमें से मुख्य निम्नलिखित हैं:

मिश्रित

उन परिमाणों का अध्ययन करें जहां तत्वों का आदेश दिया जा सकता है या संयुक्त और गिना जा सकता है.

असतत वितरण का सिद्धांत

उन घटनाओं का अध्ययन करें जो उन स्थानों में होती हैं जहाँ नमूने गिनने योग्य हो सकते हैं, जिसमें निरंतर वितरण का उपयोग असतत वितरणों के लिए किया जाता है, या अन्यथा.

सूचना का सिद्धांत

यह सूचना के कोडिंग को संदर्भित करता है, जिसका उपयोग डेटा के डिजाइन और ट्रांसमिशन और भंडारण के लिए किया जाता है, जैसे कि, उदाहरण के लिए, एनालॉग सिग्नल.

कंप्यूटिंग

असतत गणित के माध्यम से एल्गोरिदम का उपयोग करके समस्याओं को हल किया जाता है, साथ ही अध्ययन किया जाता है कि क्या गणना की जा सकती है और इसे करने में लगने वाला समय (जटिलताएं).

इस क्षेत्र में असतत गणित का महत्व हाल के दशकों में बढ़ा है, खासकर प्रोग्रामिंग भाषाओं के विकास के लिए और सॉफ्टवेयर.

क्रिप्टोग्राफी

यह सुरक्षा संरचनाओं या एन्क्रिप्शन विधियों को बनाने के लिए असतत गणित पर आधारित है। इस एप्लिकेशन का एक उदाहरण पासवर्ड है, जिसमें अलग-अलग बिट्स होते हैं, जिसमें जानकारी होती है.

अध्ययन के माध्यम से पूर्णांक और अभाज्य संख्याओं (संख्या सिद्धांत) के गुण उन सुरक्षा विधियों को बना या नष्ट कर सकते हैं.

तर्क

असतत संरचनाओं का उपयोग किया जाता है, जो आमतौर पर प्रमेय साबित करने के लिए, या उदाहरण के लिए, सॉफ्टवेयर को सत्यापित करने के लिए, एक परिमित सेट बनाते हैं.

ग्राफ सिद्धांत

यह तार्किक समस्याओं के समाधान की अनुमति देता है, जो नोड्स और रेखाओं का उपयोग करता है जो एक प्रकार का ग्राफ बनाते हैं, जैसा कि निम्नलिखित छवि में दिखाया गया है:

यह गणित को असतत करने के लिए निकट से जुड़ा हुआ क्षेत्र है क्योंकि बीजगणितीय अभिव्यक्तियां असतत हैं। इसके माध्यम से, इलेक्ट्रॉनिक सर्किट, प्रोसेसर, प्रोग्रामिंग (बूलियन बीजगणित) और डेटाबेस (रिलेशनल बीजगणित) विकसित किए जाते हैं।.

ज्यामिति

ज्यामितीय वस्तुओं के दहनशील गुणों का अध्ययन करें, जैसे कि विमान का लेप। दूसरी ओर, कम्प्यूटेशनल ज्यामिति एल्गोरिदम को लागू करके ज्यामितीय समस्याओं को विकसित करना संभव बनाता है.

सेट का सिद्धांत

असतत गणित सेट (परिमित और अनंत संख्या) अध्ययन का मुख्य उद्देश्य है। सेटों के सिद्धांत को जॉर्ज कैंटर द्वारा प्रकाशित किया गया था, जिन्होंने दिखाया कि सभी अनंत सेटों का आकार समान है.

एक सेट तत्वों का एक समूह है (संख्या, चीजें, जानवरों और लोगों, दूसरों के बीच) जो अच्छी तरह से परिभाषित हैं; अर्थात्, एक संबंध है जिसके अनुसार प्रत्येक तत्व एक सेट से संबंधित है, और व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए,। ए.

गणित में अलग-अलग सेट होते हैं जो अपनी विशेषताओं के अनुसार कुछ संख्याओं को समूह बनाते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, आपके पास:

- प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞.

- पूर्णांक E = -∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞ का सेट.

- परिमेय संख्याओं की सबसेट Q * = -¼ ..., - numbers, - 0, 0, numbers, numbers, ... ½.

- वास्तविक संख्याओं का सेट R = -∞ ..., - -1, -1, 0, =, 1, ... ∞.

सेट को वर्णमाला के अक्षरों के साथ नाम दिया गया है, पूंजीकृत; जबकि तत्वों को लोअरकेस अक्षरों में, ब्रेसिज़ के अंदर () और कॉमा (,) द्वारा अलग किया जाता है। वे आमतौर पर वेनस और कैरोल की तरह आरेखों में प्रतिनिधित्व करते हैं, साथ ही साथ कम्प्यूटेशनल रूप से भी.

बुनियादी संचालन जैसे कि संघ, प्रतिच्छेदन, पूरक, अंतर और कार्टेशियन उत्पाद के साथ, सेट और उनके तत्वों का प्रबंधन किया जाता है, जो संबंधित संबंधों पर आधारित होता है.

कई प्रकार के सेट हैं, असतत गणित में सबसे अधिक अध्ययन निम्नलिखित हैं:

परिमित सेट

यह एक है जिसमें तत्वों की एक सीमित संख्या होती है और यह एक प्राकृतिक संख्या से मेल खाती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, ए = 1, 2, 3,4 एक परिमित सेट है जिसमें 4 तत्व हैं.

अनंत लेखा सेट

यह वह है जिसमें एक सेट के तत्वों और प्राकृतिक संख्याओं के बीच एक पत्राचार होता है; यह कहना है, एक तत्व से क्रमिक रूप से एक सेट के सभी तत्वों को सूचीबद्ध किया जा सकता है.

इस तरह, प्रत्येक तत्व प्राकृतिक संख्याओं के सेट के प्रत्येक तत्व के अनुरूप होगा। उदाहरण के लिए:

पूर्णांक Z = ... -2, -1, 0, 1, 2 ... के सेट को Z = 0, 1, -1, 2, -2 ... के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है। इस तरह Z और प्राकृतिक संख्या के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार करना संभव है, जैसा कि निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है:

यह निरंतर समस्याओं (मॉडल और समीकरण) को हल करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली एक विधि है जिसे असतत समस्याओं में परिवर्तित किया जाना चाहिए, जिसमें समाधान को निरंतर समस्या के समाधान के सन्निकटन के साथ जाना जाता है.

दूसरे तरीके से देखा, विवेक अंक के एक अनंत सेट से एक परिमित मात्रा निकालने की कोशिश करता है; इस तरह, एक निरंतर इकाई व्यक्तिगत इकाइयों में बदल जाती है.

आम तौर पर इस पद्धति का उपयोग संख्यात्मक विश्लेषण में किया जाता है, उदाहरण के लिए एक अंतर समीकरण के समाधान में, एक फ़ंक्शन के माध्यम से जो अपने डोमेन में डेटा की एक परिमित मात्रा द्वारा दर्शाया जाता है, भले ही वह निरंतर हो.

विवेकाधिकार का एक अन्य उदाहरण इसका उपयोग एनालॉग सिग्नल को डिजिटल में परिवर्तित करने के लिए किया जाता है, जब सिग्नल की निरंतर इकाइयों को व्यक्तिगत इकाइयों (उन्हें विवेकाधीन) में परिवर्तित किया जाता है, और फिर डिजिटल सिग्नल प्राप्त करने के लिए एन्कोड और मात्राबद्ध.

संदर्भ

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