होमोथी गुण, प्रकार और उदाहरण

homotecia विमान में एक ज्यामितीय परिवर्तन होता है, जहाँ केंद्र (O) नामक एक निश्चित बिंदु से, दूरी को एक सामान्य कारक से गुणा किया जाता है। इस तरह, प्रत्येक बिंदु P परिवर्तन के दूसरे बिंदु P 'उत्पाद से मेल खाता है, और ये बिंदु O के साथ संरेखित होते हैं.

फिर, समरूपता दो ज्यामितीय आकृतियों के बीच एक पत्राचार है, जहां तब्दील बिंदुओं को समसामयिक कहा जाता है, और ये एक निश्चित बिंदु के साथ और एक दूसरे के समानांतर खंडों के साथ संरेखित होते हैं.

सूची

• 1 होमोटेकिया
• 2 गुण
• 3 प्रकार
  • 3.1 प्रत्यक्ष समरूपता
  • 3.2 समरूपता को उलट दें
• 4 रचना
• 5 उदाहरण
  • 5.1 पहला उदाहरण
  • 5.2 दूसरा उदाहरण
• 6 संदर्भ

homotecia

समरूपता एक परिवर्तन है जिसमें एक अनुरूप छवि नहीं होती है, क्योंकि एक आकृति से मूल आकृति की तुलना में अधिक या छोटे आकार के एक या अधिक आंकड़े प्राप्त किए जाएंगे; कहने का तात्पर्य यह है कि एकेश्वर एक बहुभुज को दूसरे समान में बदल देता है.

सजातीय को पूरा करने के लिए उन्हें पॉइंट टू पॉइंट और स्ट्रेट टू स्ट्रेट से सीधे मेल करना चाहिए, ताकि होमोलॉगस पॉइंट्स के जोड़े को एक तीसरे निश्चित पॉइंट के साथ जोड़ दिया जाए, जो कि होमोथी का केंद्र है.

इसी तरह, लाइनों के जोड़े जो उनके साथ जुड़ते हैं, उन्हें समानांतर होना चाहिए। इस तरह के खंडों के बीच संबंध एक निरंतरता है जिसे होमोसेटी अनुपात (के) कहा जाता है; इस तरह से कि समरूपता को परिभाषित किया जा सकता है:

इस प्रकार का परिवर्तन करने के लिए आप एक मनमाना बिंदु चुनकर शुरू करते हैं, जो समरूपता का केंद्र होगा.

इस बिंदु से, रेखा खंड को उस आकृति के प्रत्येक शीर्ष के लिए तैयार किया जाता है जिसे रूपांतरित किया जाना है। जिस पैमाने पर नए आंकड़े का पुनरुत्पादन किया जाता है वह समरूपता (के) के कारण दिया जाता है।.

गुण

समरूपता का एक मुख्य गुण यह है कि समरूपता (k) के कारण के लिए, सभी समरूप आंकड़े समान हैं। अन्य बकाया संपत्तियों में निम्नलिखित हैं:

- समरूपता (O) का केंद्र एकमात्र दोहरा बिंदु है और यह स्वयं में बदल जाता है; यह भिन्न नहीं है.

- केंद्र से गुजरने वाली रेखाएं खुद को बदल देती हैं (वे दोहरी होती हैं), लेकिन इसे बनाने वाले बिंदु दोहरे नहीं होते हैं.

- केंद्र से गुजरने वाले स्ट्रेट्स समानांतर लाइनों में तब्दील हो जाते हैं; इस तरह, समरूपता के कोण समान रहते हैं.

- केंद्र O और अनुपात k की समरूपता द्वारा खंड की छवि, इसके समानांतर एक खंड है और इसकी लंबाई कई गुना है। उदाहरण के लिए, जैसा कि निम्नलिखित छवि में देखा गया है, एक सेगमेंट एबी द्वारा होमोटेटिक का एक और सेगमेंट A'B 'होगा, जिससे AB A'B' के समानांतर होगा और k होगा:

- समलिंगी कोण सम्‍मिलित होते हैं; यह है, वे एक ही उपाय है। इसलिए, एक कोण की छवि एक कोण है जिसका समान आयाम है.

दूसरी ओर, समरूपता इसके अनुपात (के) के मूल्य के आधार पर भिन्न होती है, और निम्नलिखित मामले हो सकते हैं:

- यदि निरंतर k = 1, तो सभी बिंदु निश्चित हो जाते हैं क्योंकि वे खुद को बदल देते हैं। इस प्रकार, होमोटेटिक आंकड़ा मूल के साथ मेल खाता है और परिवर्तन को पहचान फ़ंक्शन कहा जाएगा.

- यदि k center 1, एकमात्र निश्चित बिंदु समरूपता (O) का केंद्र होगा.

- यदि k = -1, समरूपता एक केंद्रीय समरूपता (C) बन जाती है; अर्थात्, C के चारों ओर एक घूर्णन 180 के कोण पर होगा^या.

- यदि k> 1, तो रूपांतरित आकृति का आकार मूल के आकार से बड़ा होगा.

- हां ० < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- हां -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- अगर के < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

टाइप

समरूपता को भी दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है, जो इसके अनुपात (के) के मूल्य पर निर्भर करता है:

प्रत्यक्ष समरूपता

ऐसा होता है यदि स्थिर k> 0; यानी केंद्र के संबंध में समान बिंदुओं पर होमोटेटिक बिंदु हैं:

प्रत्यक्ष समरूपता के आंकड़ों के बीच आनुपातिकता या समानता का कारक हमेशा सकारात्मक होगा.

समरूपता का उलटा

यह होता है अगर निरंतर k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

समरूपता व्युत्क्रम आंकड़ों के बीच आनुपातिकता या समानता का कारक हमेशा नकारात्मक होगा.

रचना

जब कई आंदोलनों को मूल रूप से एक आंकड़ा प्राप्त करने तक क्रमिक रूप से बनाया जाता है, तो आंदोलनों की एक रचना होती है। कई आंदोलनों की संरचना भी एक आंदोलन है.

दो समरूपता के बीच की रचना एक नए समरूपता का परिणाम देती है; अर्थात्, हमारे पास एक होमोटेटिक उत्पाद है जिसमें केंद्र को दो मूल परिवर्तनों के केंद्र के साथ संरेखित किया जाएगा, और अनुपात (k) दो कारणों का उत्पाद है.

इस प्रकार, दो एच होमोथीसेस की संरचना में₁(ओ₁, कश्मीर₁) और एच₂(ओ₂, कश्मीर₂), अपने कारणों को गुणा करना: के₁ x k₂ = 1 का परिणाम k के समरूप में होगा₃ = के₁ x k₂. इस नई समरूपता का केंद्र (O)₃) O स्ट्रेट पर स्थित होगा₁ हे₂.

समरूपता एक सपाट और अपरिवर्तनीय परिवर्तन से मेल खाती है; यदि दो समरूपताएं लागू की जाती हैं, जिनमें एक ही केंद्र और अनुपात होता है, लेकिन एक अलग संकेत के साथ, मूल आंकड़ा प्राप्त किया जाएगा.

उदाहरण

पहला उदाहरण

दिए गए केंद्र बहुभुज (O) के समरूप, बिंदु A से 5 सेमी की दूरी पर स्थित है और जिसका अनुपात k = 0.7 है.

समाधान

किसी भी बिंदु को समरूपता के केंद्र के रूप में चुना जाता है, और इस किरण से आकृति के कोने द्वारा खींचा जाता है:

केंद्र (O) से बिंदु A की दूरी OA = 5 है; इसके साथ ही आप यह जान सकते हैं कि k = 0.7: यह जानते हुए कि आप एक होमोटेटिक पॉइंट (OA ') की दूरी निर्धारित कर सकते हैं:

OA '= k x OA.

OA '= 0.7 x 5 = 3.5.

प्रक्रिया प्रत्येक शीर्ष के लिए की जा सकती है, या आप यह भी याद कर सकते हैं कि होमोटिकल बहुभुज को यह याद करते हुए कि दो बहुभुज समानांतर हैं:

अंत में, परिवर्तन इस तरह दिखता है:

दूसरा उदाहरण

दिए गए केंद्र बहुभुज (O) के लिए एक समरूपता लागू करें, बिंदु C से 8.5 सेमी और जिसका y अनुपात k = -2 है.

समाधान

केंद्र (O) से बिंदु C तक की दूरी OC = 8.5 है; इस डेटा के साथ होमोटेटिक पॉइंट्स (OC ') में से किसी एक की दूरी निर्धारित करना संभव है, यह जानते हुए कि k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

रूपांतरित बहुभुज के कोने के खंडों को खींचने के बाद, हमारे पास यह है कि प्रारंभिक बिंदु और उनके समरूपता केंद्र के संबंध में विपरीत छोर पर स्थित हैं:

संदर्भ

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