फैक्टराइजेशन के तरीके और उदाहरण

गुणन एक ऐसी विधि है जिसके माध्यम से एक बहुपद को कारकों के गुणन के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो संख्या, अक्षर या दोनों हो सकते हैं। उन कारकों को स्पष्ट करने के लिए जो शब्दों के लिए सामान्य हैं, और इस तरह से बहुपद को कई बहुपद में विघटित किया जाता है।.

इस प्रकार, जब कारक एक दूसरे को गुणा करते हैं तो परिणाम मूल बहुपद होता है। जब आप बीजीय भाव रखते हैं तो फैक्टरिंग एक बहुत ही उपयोगी विधि है, क्योंकि इसे कई सरल शब्दों के गुणन में परिवर्तित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए: 2 ए² + 2ab = 2 ए _* (ए + बी).

ऐसे मामले हैं जिनमें एक बहुपद को तथ्यित नहीं किया जा सकता है क्योंकि इसकी शर्तों के बीच कोई सामान्य कारक नहीं है; इस प्रकार, ये बीजीय अभिव्यक्तियाँ केवल स्वयं के बीच और 1 से विभाज्य हैं। उदाहरण के लिए: x + y + z.

एक बीजीय अभिव्यक्ति में सामान्य कारक शब्दों की सबसे बड़ी सामान्य भाजक है जो इसे रचना करता है.

सूची

• 1 फैक्टरिंग विधि
  • 1.1 सामान्य कारक द्वारा फैक्टरिंग
  • १.२ उदाहरण १
  • १.३ उदाहरण २
  • 1.4 समूहन द्वारा फैक्टरिंग
  • १.५ उदाहरण १
  • 1.6 निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग
  • १.। उदाहरण १
  • १.। उदाहरण २
  • 1.9 उल्लेखनीय उत्पादों के साथ फैक्टरिंग
  • १.१० उदाहरण १
  • १.११ उदाहरण २
  • १.१२ उदाहरण ३
  • 1.13 रफ़िनी के शासन के साथ फैक्टरिंग
  • १.१४ उदाहरण १
• 2 संदर्भ

फैक्टरिंग तरीके

कई फैक्टरिंग विधियां हैं, जो मामले के आधार पर लागू की जाती हैं। इनमें से कुछ निम्नलिखित हैं:

सामान्य कारक द्वारा फैक्टरिंग

इस विधि में, उन कारकों की पहचान की जाती है जो आम हैं; वह है, जो कि अभिव्यक्ति की शर्तों में दोहराया जाता है। फिर वितरण संपत्ति को लागू किया जाता है, अधिकतम सामान्य विभाजक को हटा दिया जाता है और कारक को पूरा किया जाता है.

दूसरे शब्दों में, अभिव्यक्ति के सामान्य कारक की पहचान की जाती है और प्रत्येक शब्द इसके बीच विभाजित होता है; परिणामी शब्दों को गुणन को व्यक्त करने के लिए सबसे बड़े सामान्य कारक से गुणा किया जाएगा.

उदाहरण 1

कारक (b)²x) + (b)²वाई).

समाधान

पहले प्रत्येक शब्द का सामान्य कारक है, जो इस मामले में बी है², और फिर शर्तों को आम कारक के रूप में विभाजित किया जाता है:

(ख²x) / बी² = एक्स

(ख²y) / बी² = य.

कारक के परिणामस्वरूप सामान्य कारक को गुणा करके गुणन को व्यक्त किया जाता है:

(ख²x) + (b)²य) = बी² (x + y).

उदाहरण 2

कारक (2a)²ख³) + (3ab²).

समाधान

इस मामले में हमारे पास दो कारक हैं जो प्रत्येक शब्द में दोहराए जाते हैं जो "ए" और "बी" हैं, और जो एक शक्ति के लिए ऊपर उठाए गए हैं। उन्हें कारक करने के लिए, पहले दो शब्दों को उनके लंबे रूप में तोड़ दिया जाता है:

2_*को_*को_*ख_*ख_*बी + ३ ए_*ख_*ख

यह देखा जा सकता है कि कारक "ए" को केवल एक बार दूसरे कार्यकाल में दोहराया जाता है, और कारक "बी" को दो बार दोहराया जाता है; इसलिए पहले शब्द में केवल 2 है, एक कारक "ए" और एक "बी"; जबकि दूसरे कार्यकाल में केवल 3 है.

इसलिए, हम उस समय को लिखते हैं जो "ए" और "बी" दोहराए जाते हैं और उन कारकों से गुणा करते हैं जो प्रत्येक शब्द से बचे हैं, जैसा कि छवि में देखा गया है:

समूहन द्वारा फैक्टराइजेशन

जैसा कि सभी मामलों में एक बहुपद का सामान्य भाजक स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जाता है, बहुपद को फिर से लिखने में सक्षम होने के लिए अन्य कदम बनाना आवश्यक है और इस प्रकार कारक.

इन चरणों में से एक बहुपद की शर्तों को कई समूहों में समूहित करना है, और फिर सामान्य कारक विधि का उपयोग करना है.

उदाहरण 1

कारक एसी + बीसी + विज्ञापन + बीडी.

समाधान

4 कारक हैं जहां दो आम हैं: पहली अवधि में यह "सी" है और दूसरे में यह "डी" है। इस तरह दो शब्दों को समूहीकृत और अलग किया जाता है:

(एसी + बीसी) + (विज्ञापन + बीडी).

अब सामान्य कारक विधि को लागू करना संभव है, प्रत्येक शब्द को उसके सामान्य कारक से विभाजित करना और फिर उस सामान्य कारक को परिणामी शब्दों से गुणा करना, जैसे:

(एसी + बीसी) / सी = ए + बी

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

अब आपको एक द्विपद मिलता है जो दोनों शब्दों के लिए सामान्य है। कारक के लिए इसे शेष कारकों से गुणा किया जाता है; इस तरह से आपको निम्न करना होगा:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (ए + बी).

निरीक्षण द्वारा फैक्टराइजेशन

इस पद्धति का उपयोग द्विघात बहुपद को कारक करने के लिए किया जाता है, जिसे ट्रिनोमिअल्स भी कहा जाता है; वह है, जो कि कुल्हाड़ी के रूप में संरचित हैं² ± bx + c, जहां "a" का मान 1 से भिन्न है। इस विधि का उपयोग तब भी किया जाता है जब ट्रिनोमियल का रूप x हो² "Bx + c और" a "= 1 का मान.

उदाहरण 1

कारक x² + 5x + 6.

समाधान

आपके पास प्रपत्र x का द्विघात त्रिभुज है² C बीएक्स + सी। इसे करने के लिए सबसे पहले आपको दो संख्याएँ मिलनी चाहिए, जब गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप "c" (जो है, 6) का मान दें और इसका योग गुणांक "b" के बराबर है, जो 5. संख्या है जो 2 और 3 है :

2 _* ३ = ६

2 + 3 = 5.

इस तरह, इस तरह अभिव्यक्ति सरल हो जाती है:

(एक्स² + 2x) + (3x + 6)

प्रत्येक शब्द तथ्यपूर्ण है:

- के लिए (एक्स² + 2x) सामान्य शब्द निकाला जाता है: x (x + 2)

- के लिए (3x + 6) = 3 (x + 2)

इस प्रकार, अभिव्यक्ति बनी हुई है:

x (x +2) + 3 (x +2).

जैसा कि आपके पास एक सामान्य द्विपद है, अभिव्यक्ति को अधिशेष शर्तों से गुणा करने के लिए और आपको निम्न करना होगा:

एक्स² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

उदाहरण 2

कारक 4 ए² + १२ ए + ९ = ०.

समाधान

आपके पास प्रपत्र कुल्हाड़ी का एक द्विघात त्रिभुज है² Expression बीएक्स + सी और कारक के लिए यह सभी अभिव्यक्ति एक्स के गुणांक से गुणा किया जाता है²; इस मामले में, ४.

4² + १२ ए + ९ = ०

4² (४) + १२ ए (४) + ९ (४) = ० (४)

16 ए² + १२ ए (४) + ३६ = ०

4² को² + १२ ए (४) + ३६ = ०

अब हमें दो संख्याएँ मिलनी चाहिए, जब एक साथ गुणा किया जाता है, परिणामस्वरूप "c" (जो 36 है) का मान दें और जब "a" शब्द के गुणांक में एक साथ परिणाम जोड़ा जाता है, जो 6 है.

6 _* ६ = ३६

6 + 6 = 12.

इस तरह से अभिव्यक्ति को फिर से लिखा जाता है, इस बात को ध्यान में रखते हुए² को² = 4 ए _* 4 ए। इसलिए, प्रत्येक शब्द के लिए वितरण संपत्ति लागू होती है:

(४ ए + ६) _* (४ ए + ६).

अंत में, अभिव्यक्ति गुणांक द्वारा विभाजित है²; वह है, 4:

(४ ए + ६) _* (४ ए + ६) / ४ = ((४ ए + ६) / २) _* ((4a + 6) / 2).

अभिव्यक्ति इस प्रकार है:

4² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

उल्लेखनीय उत्पादों के साथ फैक्टरिंग

ऐसे मामले हैं, जिनमें पिछली विधियों के साथ बहुपद को पूरी तरह से कारक करना, यह एक बहुत लंबी प्रक्रिया बन जाती है.

यही कारण है कि उल्लेखनीय उत्पादों के सूत्रों के साथ एक अभिव्यक्ति विकसित की जा सकती है और इस तरह प्रक्रिया सरल हो जाती है। सबसे ज्यादा इस्तेमाल होने वाले उल्लेखनीय उत्पाद हैं:

- दो वर्गों का अंतर: (ए)² - ख²) = (ए - बी) _* (ए + बी)

- किसी राशि का पूर्ण वर्ग: a² + 2ab + बी² = (ए + बी)²

- एक अंतर का सही वर्ग: एक² - 2ab + बी² = (ए - बी)²

- दो क्यूब्स का अंतर: ए³ - ख³ = (ए-बी)_*(क² + अब + बी²)

- दो घनों का योग: अ³ - ख³ = (ए + बी) _* (क² - अब + बी²)

उदाहरण 1

कारक (५)² - एक्स²)

समाधान

इस मामले में दो वर्गों का अंतर है; इसलिए, उल्लेखनीय उत्पाद का सूत्र लागू होता है:

(क² - ख²) = (ए - बी) _* (ए + बी)

(5² - एक्स²) = (5 - x) _* (5 + x)

उदाहरण 2

कारक 16x² + 40x + 25²

समाधान

इस मामले में हमारे पास एक राशि का एक पूर्ण वर्ग है, क्योंकि हम दो शब्दों को चुकता कर सकते हैं, और शेष शब्द पहले शब्द के वर्गमूल से दो को गुणा करने का परिणाम है, दूसरे पद के वर्गमूल द्वारा।.

को² + 2ab + बी² = (ए + बी)²

कारक के लिए, केवल पहले और तीसरे शब्दों के वर्गमूल की गणना की जाती है:

X (16x)²) = 4x

√ (25)²) = 5.

तब ऑपरेशन के संकेत से दो परिणामी शब्द अलग हो जाते हैं, और पूरे बहुपद को चुकता किया जाता है:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

उदाहरण 3

कारक 27a³ - ख³

समाधान

अभिव्यक्ति एक घटाव का प्रतिनिधित्व करती है जिसमें दो कारक घन में उठाए जाते हैं। उन्हें कारक करने के लिए, घन अंतर के उल्लेखनीय उत्पाद का सूत्र लागू होता है, जो है:

को³ - ख³ = (ए-बी)_*(क² + अब + बी²)

इस प्रकार, गुणन करने के लिए, द्विपद के प्रत्येक पद का घनमूल पहले पद के वर्ग से निकाला और गुणा किया जाता है, साथ ही दूसरे पद के द्वारा पहले का गुणनफल, और वर्ग से दूसरा पद।.

27 वें³ - ख³

A (27a³) = 3 ए

B (-बी³) = -बी

27 वें³ - ख³ = (3 ए - बी) _* [(3 ए)² + 3ab + बी²)]

27 वें³ - ख³ = (3 ए - बी) _* (9a² + 3ab + बी²)

रफिनी के शासन के साथ फैक्टरिंग

इस विधि का उपयोग तब किया जाता है जब आपके पास दो से अधिक डिग्री का बहुपद होता है, जो अभिव्यक्ति को कम डिग्री के कई बहुपद की ओर सरल करता है।.

उदाहरण 1

कारक Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

समाधान

पहले उन संख्याओं की तलाश करें जो 12 के भाजक हैं, जो कि स्वतंत्र शब्द है; ये, 1,, 2, ± 3, ± 4,, 6 और ± 12 हैं.

फिर एक्स को इन मूल्यों से बदल दिया जाता है, निम्नतम से उच्चतम तक, और इस प्रकार यह निर्धारित किया जाता है कि विभाजन किन मूल्यों के साथ सटीक होगा; यह है, बाकी 0 होना चाहिए:

x = -1

क्यू (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

क्यू (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8। 0.

x = 2

क्यू (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

और इसलिए प्रत्येक विभक्त के लिए। इस स्थिति में, पाए गए कारक x = -1 और x = 2 हैं.

अब रफ़िनी पद्धति लागू की जाती है, जिसके अनुसार अभिव्यक्ति के गुणांकों को विभाजन के लिए पाए जाने वाले कारकों के बीच विभाजित किया जाएगा। बहुपद शर्तों को उच्चतम से निम्नतम प्रतिपादक तक आदेश दिया जाता है; इस मामले में कि अनुक्रम में अनुसरण करने वाली डिग्री वाला एक शब्द गायब है, एक 0 को उसके स्थान पर रखा गया है.

गुणांक एक योजना में स्थित हैं जैसा कि निम्नलिखित छवि में देखा गया है.

पहले गुणांक को भाजक द्वारा कम और गुणा किया जाता है। इस मामले में, पहला विभाजक -1 है, और परिणाम अगले कॉलम में रखा गया है। फिर गुणांक का मूल्य उस परिणाम के साथ लंबवत जोड़ा जाता है जो प्राप्त किया गया था और परिणाम नीचे रखा गया है। इस तरह अंतिम कॉलम तक प्रक्रिया को दोहराया जाता है.

फिर वही प्रक्रिया फिर से दोहराई जाती है, लेकिन दूसरे भाजक के साथ (जो 2 है) क्योंकि अभिव्यक्ति अभी भी सरल हो सकती है.

इस प्रकार, प्राप्त प्रत्येक रूट के लिए, बहुपद में एक शब्द (x - a) होगा, जहां "a" रूट का मान है:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

दूसरी ओर, इन शर्तों को रफ़िनी के नियम 1: 1 और -6 के शेष भाग से गुणा किया जाना चाहिए, जो ऐसे कारक हैं जो एक ग्रेड का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस तरह जो अभिव्यक्ति बनती है वह है: (x)² + x - 6).

रफिनी विधि द्वारा बहुपद के गुणन का परिणाम प्राप्त करना है:

एक्स⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (एक्स² + x - 6)

समाप्त करने के लिए, पिछली अभिव्यक्ति में दिखाई देने वाली डिग्री 2 के बहुपद को (x + 3) (x-2) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसलिए, अंतिम कारक है:

एक्स⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(एक्स-2).

संदर्भ

1. आर्थर गुडमैन, एल। एच। (1996)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ बीजगणित और त्रिकोणमिति। पियर्सन शिक्षा.
2. जे, वी। (2014)। कैसे बहुपद के लिए फैक्टरिंग के बारे में बच्चों को सिखाने के लिए.
3. मैनुअल मोरिलो, ए.एस. (s.f.)। अनुप्रयोगों के साथ बुनियादी गणित.
4. रोल्स, पी। एल। (1997)। परिमित क्षेत्रों पर बहुपद कारक के लिए रेखीय विधियाँ: सिद्धांत और कार्यान्वयन यूनिवर्सिट एसेन.
5. शार्प, डी। (1987)। छल्ले और फैक्टराइजेशन.