बहुपद समीकरण (हल अभ्यास के साथ)

बहुपद समीकरण एक ऐसा कथन है जो दो अभिव्यक्तियों या सदस्यों की समानता को बढ़ाता है, जहां कम से कम एक शब्द जो समानता के प्रत्येक पक्ष को बनाते हैं, वे बहुपद हैं। इन समीकरणों को उनके चर की डिग्री के अनुसार नाम दिया गया है.

सामान्य तौर पर, एक समीकरण एक कथन है जो दो अभिव्यक्तियों की समानता स्थापित करता है, जहां कम से कम इनमें से एक में अज्ञात मात्राएं होती हैं, जिन्हें चर या अज्ञात कहा जाता है। यद्यपि कई प्रकार के समीकरण हैं, उन्हें आम तौर पर दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है: बीजगणितीय और ट्रान्सेंडेंट.

बहुपद समीकरणों में केवल बीजीय भाव होते हैं, जो समीकरण में एक या अधिक अज्ञात शामिल हो सकते हैं। प्रतिपादक (डिग्री) के अनुसार उन्हें निम्न में वर्गीकृत किया जा सकता है: पहली डिग्री (रैखिक), दूसरी डिग्री (द्विघात), तीसरी डिग्री (क्यूबिक), चौथी डिग्री (चतुर्थांश), पांच या तर्कहीन से अधिक या बराबर।.

सूची

• 1 लक्षण
• 2 प्रकार
  • २.१ प्रथम श्रेणी
  • २.२ दूसरी डिग्री
  • २.३ रिवाल्वर
  • 2.4 उच्च ग्रेड
• 3 व्यायाम हल किए
  • 3.1 पहला व्यायाम
  • 3.2 दूसरा व्यायाम
• 4 संदर्भ

सुविधाओं

बहुपद समीकरण वे अभिव्यक्तियाँ हैं जो दो बहुपद के बीच एक समानता से बनती हैं; यह है कि अज्ञात (चर) और निश्चित संख्याओं (गुणांक), जहां चर के घातांक हो सकते हैं, और उनके मूल्य में एक सकारात्मक पूर्णांक हो सकता है, के बीच गुणकों के परिमित रकम द्वारा शून्य सहित.

घातांक समीकरण की डिग्री या प्रकार निर्धारित करते हैं। अभिव्यक्ति का वह शब्द जिसमें सबसे अधिक मूल्य प्रतिपादक है, बहुपद की पूर्ण डिग्री का प्रतिनिधित्व करेगा.

बहुपद समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है, उनके गुणांक वास्तविक या जटिल संख्याएं हो सकते हैं और चर अज्ञात संख्याओं को एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे: "x".

यदि P (x) में चर "x" के लिए किसी मान का प्रतिस्थापन किया जाता है, तो परिणाम शून्य (0) के बराबर होता है, तो यह कहा जाता है कि यह मान समीकरण (यह एक समाधान है) को संतुष्ट करता है, और आमतौर पर बहुपद की जड़ कहा जाता है.

जब एक बहुपद समीकरण विकसित होता है, तो आप सभी जड़ों या समाधानों को खोजना चाहते हैं.

टाइप

कई प्रकार के बहुपद समीकरण हैं, जिन्हें चर की संख्या के अनुसार विभेदित किया जाता है, और उनके घटक की डिग्री के अनुसार भी.

इस प्रकार, बहुपद समीकरणों में-पहला शब्द केवल एक अज्ञात के साथ एक बहुपद है, यह देखते हुए कि इसकी डिग्री किसी भी प्राकृतिक संख्या (n) हो सकती है और दूसरा शब्द शून्य है-, इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

को_{n *} एक्सⁿ + को_{एन -1 *} एक्स^n-1 +... + क_{1 *} एक्स¹ + को_{0 *} एक्स₀ = 0

जहां:

- को_n, को_n-1 और ए₀, वे वास्तविक गुणांक (संख्या) हैं.

- को_n यह शून्य से अलग है.

- घातांक n एक धनात्मक पूर्णांक है जो समीकरण की डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है.

- x वह चर या अज्ञात है जिसे मांगा जाना चाहिए.

एक बहुपद समीकरण की पूर्ण या अधिक से अधिक डिग्री यह है कि बहुपद बनाने वाले सभी लोगों के बीच अधिक मूल्य का प्रतिपादक; इस तरह, समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया जाता है:

प्रथम श्रेणी

पहले-डिग्री बहुपद समीकरण, जिन्हें रेखीय समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, वे हैं जिनमें डिग्री (सबसे बड़ा घातांक) 1 के बराबर है, बहुपद का रूप P (x) = 0 है; और यह एक रैखिक शब्द और एक स्वतंत्र शब्द से बना है। यह इस प्रकार लिखा जाता है:

कुल्हाड़ी + बी = ०.

जहां:

- a और b वास्तविक संख्या और numbers 0 हैं.

- कुल्हाड़ी रैखिक शब्द है.

- b स्वतंत्र शब्द है.

उदाहरण के लिए, समीकरण 13x - 18 = 4x.

रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए अज्ञात एक्स वाले सभी शब्दों को समानता के एक तरफ से पारित किया जाना चाहिए, और जिन्हें हल करने के लिए दूसरी तरफ नहीं ले जाया गया है, एक समाधान प्राप्त करने के लिए:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 = 9

x = 2.

इस तरह, दिए गए समीकरण में एक एकल समाधान या मूल है, जो x = 2 है.

दूसरा ग्रेड

द्वितीय-डिग्री बहुपद समीकरण, जिसे द्विघात समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, वे हैं जिनमें डिग्री (सबसे बड़ा घातांक) 2 के बराबर है, बहुपद, फॉर्म P (x) = 0 का है, और एक द्विघात शब्द से बना है , एक रैखिक और एक स्वतंत्र। इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी = ०.

जहां:

- a, b और c वास्तविक संख्या और b 0 हैं.

- कुल्हाड़ी² द्विघात शब्द है, और "a" द्विघात शब्द का गुणांक है.

- बीएक्स रैखिक शब्द है, और "बी" रैखिक शब्द का गुणांक है.

- c स्वतंत्र शब्द है.

resolvente

आमतौर पर, समीकरण से इस प्रकार के समीकरणों का समाधान x को समाशोधन द्वारा दिया जाता है, और इसे निम्नानुसार छोड़ दिया जाता है, जिसे एक रिज़ॉल्वर कहा जाता है:

वहाँ, (बी)² - 4ac) को समीकरण का विभेदक कहा जाता है और यह अभिव्यक्ति उन समाधानों की संख्या निर्धारित करती है जो समीकरण हो सकते हैं:

- हाँ (बी)² - 4ac) = 0, समीकरण में एक एकल समाधान होगा जो डबल है; अर्थात्, आपके पास दो समान समाधान होंगे.

- हाँ (बी)² - 4ac)> 0, समीकरण के दो अलग-अलग वास्तविक समाधान होंगे.

- हाँ (बी)² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

उदाहरण के लिए, आपके पास समीकरण 4x है² + 10x - 6 = 0, इसे हल करने के लिए, पहले a, b और c शब्दों को पहचानें और फिर इसे सूत्र में बदलें:

a = ४

बी = १०

सी = -6.

ऐसे मामले हैं जिनमें दूसरी डिग्री के बहुपद समीकरणों में तीन शब्द नहीं होते हैं, और इसीलिए उन्हें अलग-अलग हल किया जाता है:

- इस मामले में कि द्विघात समीकरणों में रैखिक शब्द नहीं है (अर्थात, b = 0), समीकरण को कुल्हाड़ी से व्यक्त किया जाएगा।² + c = 0. इसे हल करने के लिए, इसे x साफ़ किया जाता है² और वर्ग की जड़ों को प्रत्येक सदस्य में लागू किया जाता है, यह याद करते हुए कि अज्ञात के बारे में दो संभावित संकेत हैं:

कुल्हाड़ी² + ग = ०.

एक्स² = - सी ÷ ए

उदाहरण के लिए, 5 एक्स² - २० = ०.

5 एक्स² = 20

एक्स² = 20 ÷ 5

x = √ √4

x = ± 2

एक्स₁ = २.

एक्स₂ = -2.

- जब द्विघात समीकरण का एक स्वतंत्र शब्द नहीं है (यानी, सी = 0), तो समीकरण को कुल्हाड़ी के रूप में व्यक्त किया जाएगा² + bx = 0. इसे हल करने के लिए, हमें पहले सदस्य में अज्ञात x के सामान्य कारक को निकालना होगा; चूंकि समीकरण शून्य के बराबर है, यह सही है कि कम से कम एक कारक 0 के बराबर होगा:

कुल्हाड़ी² + bx = 0.

x (कुल्हाड़ी + बी) = ०.

इस तरह, आपको निम्न करना होगा:

x = 0.

x = -b ÷ a.

उदाहरण के लिए: आपके पास समीकरण 5x है² + 30x = 0. पहला कारक:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

दो कारक उत्पन्न होते हैं जो x और (5x + 30) हैं। यह माना जाता है कि इनमें से एक शून्य के बराबर होगा और दूसरा समाधान दिया जाएगा:

एक्स₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

एक्स₂ = -6.

प्रमुख डिग्री

अधिक से अधिक डिग्री के बहुपद समीकरण वे हैं जो तीसरी डिग्री से आगे बढ़ते हैं, जिन्हें किसी भी डिग्री के लिए सामान्य बहुपद समीकरण के साथ व्यक्त या हल किया जा सकता है:

को_{n *} एक्सⁿ + को_{एन -1 *} एक्स^n-1 +... + क_{1 *} एक्स¹ + को_{0 *} एक्स₀ = 0

इसका उपयोग किया जाता है क्योंकि दो से अधिक की डिग्री वाला एक समीकरण एक बहुपद के गुणन का परिणाम है; यही है, यह डिग्री एक या अधिक की बहुपद के गुणन के रूप में व्यक्त किया जाता है, लेकिन वास्तविक जड़ों के बिना.

इस प्रकार के समीकरणों का हल प्रत्यक्ष है, क्योंकि दो कारकों का गुणा शून्य के बराबर होगा यदि कोई कारक शून्य है (0); इसलिए, बहुपद समीकरणों में से प्रत्येक को हल किया जाना चाहिए, इसके प्रत्येक कारक को शून्य से मेल खाता है.

उदाहरण के लिए, आपके पास थर्ड डिग्री (क्यूबिक) x का समीकरण है³ + एक्स² +4x + 4 = 0. इसे हल करने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करना होगा:

- शर्तें समूहीकृत हैं:

एक्स³ + एक्स² +4x + 4 = 0

(एक्स³ + एक्स² ) + (4x + 4) = 0.

- अज्ञात के सामान्य कारक को प्राप्त करने के लिए अंग टूट गए हैं:

एक्स² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(एक्स² + 4)_*(x + 1) = 0.

- इस तरह, दो कारक प्राप्त होते हैं, जो शून्य के बराबर होना चाहिए:

(एक्स² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- यह देखा जा सकता है कि कारक (एक्स² + 4) = 0 का वास्तविक समाधान नहीं होगा, जबकि कारक (x + 1) = 0 हां। इसलिए, समाधान है:

(x + 1) = 0

x = -1.

हल किए गए अभ्यास

निम्नलिखित समीकरणों को हल करें:

पहला व्यायाम

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(१ + x) = ०.

समाधान

इस मामले में समीकरण को बहुपद के गुणन के रूप में व्यक्त किया जाता है; यह तथ्यपूर्ण है। इसे हल करने के लिए, प्रत्येक कारक शून्य के बराबर होना चाहिए:

- 2x² + 5 = 0, कोई समाधान नहीं है.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

इस प्रकार, दिए गए समीकरण के दो समाधान हैं: x = 3 और x = -1.

दूसरा व्यायाम

एक्स⁴ - 36 = 0.

समाधान

इसे एक बहुपद दिया गया था, जिसे तेज समाधान पर पहुंचने के लिए वर्गों के अंतर के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, समीकरण बना रहता है:

(एक्स² + 6)_*(एक्स² - 6) = 0.

समीकरणों का हल खोजने के लिए, दोनों कारक शून्य के बराबर हैं:

(एक्स² + 6) = 0, कोई समाधान नहीं है.

(एक्स² - 6) = 0

एक्स² = 6

x = √ √6.

इस प्रकार, प्रारंभिक समीकरण के दो समाधान हैं:

x = √6.

x = - √6.

संदर्भ

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