द्विघात समीकरण के कितने समाधान हैं?

एक द्विघात समीकरण या दूसरी डिग्री के समीकरण में शून्य, एक या दो वास्तविक समाधान हो सकते हैं, जो उस समीकरण पर पाए गए गुणांक के आधार पर होता है।.

यदि आप जटिल संख्याओं पर काम करते हैं तो आप कह सकते हैं कि प्रत्येक द्विघात समीकरण के दो हल हैं.

द्विघात समीकरण शुरू करने के लिए फार्म का एक समीकरण है ax b + bx + c = 0, जहां a, b और c वास्तविक संख्या हैं और x एक चर है.

यह कहा जाता है कि X1 पिछले द्विघात समीकरण का एक समाधान है यदि x द्वारा x की जगह समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात, अगर (X1) b + b (X1) + c = 0.

यदि आपके पास उदाहरण के लिए समीकरण x²-4x + 4 = 0 है, तो X1 = 2 इसका समाधान है (2) 2-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

इसके विपरीत, यदि x2 = 0 को प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हम प्राप्त करते हैं (0) if-4 (0) + 4 = 4 और 4 = 0 के रूप में तो x2 = 0 द्विघात समीकरण का हल नहीं है.

एक द्विघात समीकरण के समाधान

द्विघात समीकरण के समाधानों की संख्या को दो मामलों में अलग किया जा सकता है:

1.- असली संख्या में

वास्तविक संख्याओं के साथ काम करते समय, द्विघात समीकरण हो सकते हैं:

-शून्य समाधान: अर्थात्, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो द्विघात समीकरण को संतुष्ट करती है। उदाहरण के लिए, समीकरण x² + 1 = 0 द्वारा दिए गए समीकरण, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, क्योंकि दोनों x greater शून्य से अधिक या बराबर है और 1 शून्य से अधिक सख्त है, ताकि इसकी राशि अधिक हो। सख्त है कि शून्य.

-एक दोहराया समाधान: एक एकल वास्तविक मूल्य है जो द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, समीकरण x²-4x + 4 = 0 का एकमात्र समाधान X1 = 2 है.

-दो अलग-अलग समाधान: दो मान हैं जो द्विघात समीकरण को संतुष्ट करते हैं। उदाहरण के लिए, x different + x-2 = 0 के दो अलग-अलग समाधान हैं जो X1 = 1 और x2 = -2 हैं.

2.- जटिल संख्या में

जटिल संख्याओं के साथ काम करते समय द्विघात समीकरणों में हमेशा दो समाधान होते हैं जो z1 और z2 होते हैं जहां z2 z1 का संयुग्म होता है। इसके अलावा उन्हें इसमें वर्गीकृत किया जा सकता है:

-जटिल: समाधान फॉर्म z = p are qi के हैं, जहाँ p और q वास्तविक संख्याएँ हैं। यह मामला पिछली सूची के पहले मामले से मेल खाता है.

-शुद्ध परिसर: जब समाधान का वास्तविक भाग शून्य के बराबर होता है, अर्थात, समाधान में z = ± qi होता है, जहाँ q एक वास्तविक संख्या होती है। यह मामला पिछली सूची के पहले मामले से मेल खाता है.

-शून्य के बराबर काल्पनिक भाग वाले परिसर: जब समाधान का जटिल भाग शून्य के बराबर होता है, अर्थात, समाधान एक वास्तविक संख्या है। यह मामला पिछली सूची के अंतिम दो मामलों से मेल खाता है.

द्विघात समीकरण के समाधानों की गणना कैसे की जाती है??

द्विघात समीकरण के समाधान की गणना करने के लिए, "रिज़ॉल्वर" के रूप में जाना जाने वाला एक सूत्र का उपयोग किया जाता है, जो कहता है कि समीकरण ax of + bx + c = 0 के समाधान निम्न छवि की अभिव्यक्ति द्वारा दिए गए हैं:

वर्गमूल के अंदर दिखाई देने वाली मात्रा को द्विघात समीकरण के विभेदक कहा जाता है और इसे अक्षर "d" द्वारा निरूपित किया जाता है।.

द्विघात समीकरण में होगा:

-दो वास्तविक समाधान यदि, और केवल अगर, d> 0.

-एक वास्तविक समाधान यदि, और केवल अगर, d = 0 दोहराया जाए.

-शून्य वास्तविक समाधान (या दो जटिल समाधान) यदि, और केवल अगर, डी<0.

उदाहरण:

-समीकरण का हल x² + x-2 = 0 द्वारा दिया गया है:

-समीकरण x a-4x + 4 = 0 का एक दोहराया समाधान है जो इसके द्वारा दिया गया है:

-समीकरण x² + 1 = 0 के समाधान इस प्रकार हैं:

जैसा कि आप इस अंतिम उदाहरण में देख सकते हैं, x2 X1 का संयुग्म है.

संदर्भ

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