उस रेखा का सामान्य समीकरण क्या है जिसका ढलान 2/3 के बराबर है?

एक पंक्ति L का सामान्य समीकरण निम्न है: Ax + By + C = 0, जहाँ A, B और C स्थिरांक हैं, x स्वतंत्र चर e और आश्रित चर है.

एक लाइन का ढलान, आमतौर पर अक्षर m द्वारा निरूपित, बिंदु P = (X1, y1) और Q = (x0, y0) से होकर गुजरता है, जो अगला भागफल m: = (y1-y0) / (X1 है) -x0).

एक रेखा का ढलान एक निश्चित तरीके से झुकाव का प्रतिनिधित्व करता है; अधिक औपचारिक रूप से कहा गया है कि रेखा की ढलान कोण की स्पर्शरेखा है, जो एक्स अक्ष के साथ बनती है.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जिस क्रम में नाम रखे गए हैं वह उदासीन है, चूंकि (y0-y1) / (x0-X1) = - (y1-y0) / (- ((X1-x0)) = (y1-y0) / (X1-x0).

एक रेखा का ढलान

यदि आप दो बिंदु जानते हैं जिसके माध्यम से एक रेखा गुजरती है, तो इसकी ढलान की गणना करना आसान है। लेकिन अगर इन बिंदुओं को नहीं जाना जाता है तो क्या होगा??

एक रेखा Ax + By + C = 0 के सामान्य समीकरण को देखते हुए, हमारे पास है कि इसका ढलान m = -A / B है.

एक रेखा का सामान्य समीकरण क्या है जिसका ढलान 2/3 है?

चूँकि रेखा का ढलान 2/3 है तो समानता A / B = 2/3 स्थापित है, जिसके साथ हम देख सकते हैं कि A = -2 और B = 3। तो 2/3 के बराबर ढलान वाली रेखा का सामान्य समीकरण -2x + 3y + C = 0 है.

यह स्पष्ट किया जाना चाहिए कि यदि ए = 2 और बी = -3 को चुना जाता है, तो समान समीकरण प्राप्त किया जाएगा। वास्तव में, 2x-3y + C = 0, जो कि पिछले एक से गुणा 1 के बराबर है। C का चिन्ह मायने नहीं रखता क्योंकि यह एक सामान्य स्थिरांक है.

एक और अवलोकन जो किया जा सकता है वह यह है कि ए = -4 और बी = 6 के लिए एक ही लाइन प्राप्त की जाती है, भले ही इसका सामान्य समीकरण अलग हो। इस मामले में सामान्य समीकरण -4x + 6y + C = 0 है.

क्या लाइन के सामान्य समीकरण को खोजने के अन्य तरीके हैं?

जवाब है हां। यदि किसी रेखा के ढलान को ज्ञात किया जाता है, तो सामान्य समीकरण को खोजने के लिए, दो तरीके हैं, पिछले एक के अतिरिक्त.

इसके लिए, पॉइंट-स्लोप समीकरण और कट-स्लोप समीकरण का उपयोग किया जाता है।.

-बिंदु-ढलान समीकरण: यदि m किसी रेखा का ढलान है और P = (x0, y0) एक बिंदु है जिसके माध्यम से वह गुजरता है, तो समीकरण y-y0 = m (x-x0) को बिंदु-ढलान समीकरण कहा जाता है.

-Cut-Slope समीकरण: यदि m एक रेखा का ढलान है और (0, b) Y अक्ष के साथ रेखा का कट है, तो समीकरण y = mx + b को कट-स्लोप समीकरण कहा जाता है.

पहले मामले का उपयोग करते हुए, हम यह प्राप्त करते हैं कि एक रेखा का बिंदु-ढलान समीकरण जिसका ढलान 2/3 है, अभिव्यक्ति y-y0 = (2/3) (x-x0) द्वारा दिया गया है.

सामान्य समीकरण को प्राप्त करने के लिए, दोनों तरफ 3 से गुणा करें और समानता के एक तरफ सभी शब्दों को समूहित करें, जिससे आपको -2x + 3y + (2 × 0-3y0) = 0 प्राप्त होता है। लाइन, जहां C = 2 × 0-3y0.

यदि दूसरे मामले का उपयोग किया जाता है, तो हम यह प्राप्त करते हैं कि एक रेखा का कट-ढलान समीकरण जिसका ढलान 2/3 है y = (2/3) x + b.

दोबारा, दोनों तरफ 3 से गुणा करें, और सभी चर को समूहीकृत करते हुए, हम -2x + 3y-3b = 0 प्राप्त करते हैं। उत्तरार्द्ध लाइन का सामान्य समीकरण है जहां C = -3 बी.

दरअसल, दोनों मामलों को करीब से देखने पर, यह देखा जा सकता है कि दूसरा मामला केवल पहले का एक विशेष मामला है (जब x0 = 0).

संदर्भ

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