वास्तविक संख्याओं का वर्गीकरण

मुख्य है वास्तविक संख्याओं का वर्गीकरण इसे प्राकृतिक संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं में विभाजित किया जाता है। वास्तविक संख्याओं को आर अक्षर से दर्शाया गया है.

ऐसे कई तरीके हैं जिनमें विभिन्न वास्तविक संख्याओं का निर्माण किया जा सकता है या उनका वर्णन किया जा सकता है, सरल से लेकर अधिक जटिल तक, आपके द्वारा किए जाने वाले गणितीय कार्य पर निर्भर करता है.

वास्तविक संख्याओं को कैसे वर्गीकृत किया जाता है??

प्राकृतिक संख्या

वे संख्याएं हैं जिन्हें गिनने के लिए उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए "कांच में चार फूल हैं".

कुछ परिभाषाएँ प्राकृतिक संख्याओं को 0 में शुरू करती हैं, जबकि अन्य परिभाषाएँ 1 में शुरू होती हैं। प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनका उपयोग किया जाता है: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ... आदि; वे क्रमिक या कार्डिनल संख्याओं के रूप में उपयोग किए जाते हैं.

प्राकृतिक संख्याएं वे आधार हैं जिनके साथ संख्याओं के कई अन्य सेटों का विस्तार करके निर्माण किया जा सकता है: पूर्णांक, परिमेय संख्या, वास्तविक संख्या और दूसरों के बीच जटिल.

ये एक्सटेंशन चेन अन्य नंबरों सिस्टम में स्वाभाविक रूप से पहचानी जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं को बनाते हैं.

प्राकृतिक संख्याओं के गुणों, जैसे कि प्राथमिक संख्या का विभाजन और वितरण, संख्या सिद्धांत में अध्ययन किया जाता है.

गणना और आदेश से संबंधित समस्याएं, जैसे कि गणना और विभाजन, कोम्बिनेटरियल में अध्ययन किया जाता है.

प्राथमिक स्कूलों की तरह, आम बोलचाल में, नकारात्मक पूर्णांक और शून्य को बाहर करने के लिए प्राकृतिक संख्याओं को गिनने योग्य संख्या कहा जा सकता है.

उनके कई गुण हैं, जैसे: जोड़, गुणा, घटाव, विभाजन, आदि।.

पूरे नंबर

संपूर्ण संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें बिना किसी भिन्नात्मक घटक के लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए: 21, 4, 0, -76, आदि। दूसरी ओर, 8.58 या not2 जैसी संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं.

यह कहा जा सकता है कि संपूर्ण संख्याएं प्राकृतिक संख्याओं के नकारात्मक संख्याओं के साथ पूर्ण संख्याएं हैं। उनका उपयोग उन धन को व्यक्त करने के लिए किया जाता है जो बकाया है, समुद्र के स्तर या उप-तापमान के सापेक्ष गहराई, कुछ उपयोगों को नाम देने के लिए.

पूर्णांक का एक सेट शून्य (0), सकारात्मक प्राकृतिक संख्या (1,2,3 ...), और नकारात्मक पूर्णांक (-1, -2, -3 ...) के होते हैं। आम तौर पर इसे जेडजेड के साथ या बोल्ड जेड (जेड) के साथ कहा जाता है. 

Z, परिमेय संख्याओं Q के समूह का एक उपसमूह है, जो वास्तविक संख्या R के समूह का निर्माण करता है। प्राकृतिक संख्याओं की तरह, Z एक अनंत लेखा समूह है।.

संपूर्ण संख्याएँ सबसे छोटे समूह और प्राकृतिक संख्याओं के सबसे छोटे समूह का निर्माण करती हैं। बीजगणितीय संख्याओं के सिद्धांत में, पूर्णांक को कभी-कभी बीजगणितीय पूर्णांकों से अलग करने के लिए अपरिमेय पूर्णांक कहा जाता है।.

परिमेय संख्या

एक परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे दो पूर्णांकों p / q के घटक या अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, एक अंश p और एक भाजक q। चूँकि q 1 के बराबर हो सकता है, प्रत्येक पूर्ण संख्या एक परिमेय संख्या होती है.

परिमेय संख्याओं के समुच्चय, जिसे अक्सर "परिमेय" के रूप में संदर्भित किया जाता है, एक क्यू द्वारा निरूपित किया जाता है. 

एक परिमेय संख्या का दशमलव विस्तार हमेशा अंकों की एक परिमित संख्या के बाद या अंकों के एक ही परिमित क्रम को बार-बार दोहराया जाता है।.

इसके अतिरिक्त, किसी भी दोहराया या टर्मिनल दशमलव एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। ये कथन न केवल आधार 10 के लिए, बल्कि किसी अन्य संपूर्ण संख्या आधार के लिए भी सही हैं.

एक वास्तविक संख्या जो तर्कसंगत नहीं है, उसे तर्कहीन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, अपरिमेय संख्याओं में √2, a ational और e शामिल हैं। चूँकि रिटेबल नंबरों का पूरा सेट काउंटेबल है, और वास्तविक संख्याओं का समूह काउंटेबल नहीं है, इसलिए यह कहा जा सकता है कि लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ तर्कहीन हैं.

परिमेय संख्याओं को औपचारिक रूप से पूर्णांकों (p, q) के जोड़े के समतुल्य वर्गों के वर्गों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है ताकि q ≠ 0 या समकक्ष संबंध (p1, q1) (P2, q2) द्वारा परिभाषित किया जा सके यदि केवल p1, q2 / P2q1.

परिमेय संख्याएँ, जोड़ और गुणन के साथ, ऐसे फ़ील्ड बनाती हैं, जो संपूर्ण संख्याओं की रचना करती हैं और किसी भी शाखा द्वारा समाहित होती हैं, जिसमें समाहित.

अपरिमेय संख्या

तर्कहीन संख्याएं सभी वास्तविक संख्याएं हैं जो तर्कसंगत संख्याएं नहीं हैं; अपरिमेय संख्याओं को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। परिमेय संख्याएँ पूर्ण संख्याओं के अंशों से बनी संख्याएँ हैं.

कैंटर के प्रमाण के परिणाम के रूप में कि सभी वास्तविक संख्याएँ बेशुमार हैं और तर्कसंगत संख्याएँ गिनने योग्य हैं, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ तर्कहीन हैं.

जब दो लाइन खंडों की लंबाई त्रिज्या एक अपरिमेय संख्या होती है, तो यह कहा जा सकता है कि ये रेखा खंड असंगत हैं; इसका अर्थ है कि एक पर्याप्त लंबाई नहीं है ताकि उनमें से प्रत्येक को किसी विशेष मल्टीपल पूर्णांक के साथ "मापा" जा सके.

अपरिमेय संख्याओं में इसके व्यास के वृत्त की परिधि का त्रिज्या the है, यूलर (e) की संख्या, स्वर्ण संख्या (φ) और दो का वर्गमूल; इससे भी अधिक, प्राकृतिक संख्याओं के सभी वर्ग मूल अपरिमेय हैं। इस नियम का एकमात्र अपवाद पूर्ण वर्ग हैं.

यह देखा जा सकता है कि जब अपरिमेय संख्याओं को अंक प्रणाली में समान रूप से व्यक्त किया जाता है, (जैसे दशमलव संख्याओं में) तो वे या उसके अनुसार नहीं होते हैं.

इसका मतलब है कि उनके पास अंकों का अनुक्रम नहीं है, पुनरावृत्ति जिसके द्वारा प्रतिनिधित्व की एक पंक्ति बनाई जाती है.

उदाहरण के लिए: संख्या का दशमलव प्रतिनिधित्व 92 3.14159265358979 से शुरू होता है, लेकिन अंकों की कोई परिमित संख्या नहीं होती है जो, बिल्कुल प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और न ही उन्हें दोहराया जा सकता है.

एक तर्कसंगत संख्या का दशमलव विस्तार समाप्त होना चाहिए या दोहराया जाना चाहिए यह प्रमाण इस बात से अलग है कि दशमलव विस्तार एक तर्कसंगत संख्या होना चाहिए; हालांकि बुनियादी और कुछ हद तक, ये परीक्षण कुछ काम करते हैं.

आमतौर पर गणितज्ञ एक तर्कसंगत संख्या की अवधारणा को परिभाषित करने के लिए "समाप्त या दोहराने" की धारणा नहीं लेते हैं.

गैर-निरंतर अंशों के माध्यम से अपरिमेय संख्याओं का भी इलाज किया जा सकता है. 

संदर्भ

1. Classifyng वास्तविक संख्या। Chilimath.com से लिया गया.
2. प्राकृतिक संख्या Wikipedia.org से लिया गया.
3. संख्याओं का वर्गीकरण। Ditutor.com से पुनर्प्राप्त.
4. Wikipedia.org से लिया गया.
5. अपरिमेय संख्या Wikipedia.org से लिया गया.