रैखिक समीकरणों के 3 सिस्टम और उन्हें कैसे हल करें

रेखीय समीकरण वे एक या कई अज्ञात के साथ बहुपद समीकरण हैं। इस मामले में, अज्ञात शक्तियों के लिए उन्नत नहीं हैं, न ही वे आपस में गुणा किए जाते हैं (इस मामले में यह कहा जाता है कि समीकरण 1 डिग्री या पहली डिग्री का है).

एक समीकरण एक गणितीय समानता है जहां एक या एक से अधिक अज्ञात तत्व होते हैं जिसे हम अज्ञात या अज्ञात कहते हैं कि एक से अधिक है। इस समीकरण को हल करने के लिए अज्ञात के मूल्य का पता लगाना आवश्यक है.

एक रेखीय समीकरण में निम्नलिखित संरचना होती है:

को₀· 1 + ए₁· एक्स₁+ को₂· एक्स₂+... + क_n· एक्स_n= बी

कहां तक₀, को₁, को₂,..., ए_n वास्तविक संख्याएं हैं, जिनमें से हम उनके मूल्य को जानते हैं और गुणांक कहलाते हैं, बी एक ज्ञात वास्तविक संख्या भी है जिसे स्वतंत्र शब्द कहा जाता है। और अंत में वे एक्स₁, एक्स_2,..., एक्स_n जो अज्ञात के रूप में जाने जाते हैं। ये वे चर हैं जिनका मूल्य अज्ञात है.

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली रैखिक समीकरणों का एक सेट है जहां अज्ञात का मूल्य प्रत्येक समीकरण में समान होता है.

तार्किक रूप से, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का तरीका अज्ञात को मान प्रदान कर रहा है, ताकि समानता को सत्यापित किया जा सके। यह कहना है, अज्ञात की गणना की जानी चाहिए ताकि सिस्टम के सभी समीकरण एक साथ पूरे हों। हम रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं

को₀· 1 + ए₁· एक्स₁ + को₂· एक्स₂ +... + क_n· एक्स_n = ए_{एन + १}

ख₀· 1 + बी₁· एक्स₁ + ख₂· एक्स₂ +... + बी_n· एक्स_n = बी_{एन + १}

ग₀· 1 + सी₁· एक्स₁ + ग₂· एक्स₂ +... + सी_n· एक्स_n = सी_{एन + १}

... .

घ₀· 1 + डी₁· एक्स₁ + घ₂· एक्स₂ +... + डी_n· एक्स_n = डी_{एन + १}

 जहां ए_0, को₁,..., ए_n,ख₀,ख₁,..., बी_n ,ग₀ ,ग₁,..., सी_n आदि हमें वास्तविक संख्या और हल करने के लिए अज्ञात एक्स हैं₀,..., एक्स_n ,एक्स_{एन + १}.

प्रत्येक रैखिक समीकरण एक रेखा का प्रतिनिधित्व करता है और इसलिए एन रेखीय समीकरणों के समीकरणों की एक प्रणाली अंतरिक्ष में एन स्ट्रेट ड्रॉ का प्रतिनिधित्व करती है.

प्रत्येक रेखीय समीकरण में अज्ञात की संख्या के आधार पर, कहा जाता है कि रेखा जो समीकरण का प्रतिनिधित्व करती है, उसे एक अलग आयाम में दर्शाया जाएगा, अर्थात, दो अज्ञात के साथ एक समीकरण (उदाहरण के लिए, 2 · X₁ + एक्स₂ = 0) द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा का प्रतिनिधित्व करता है, तीन अज्ञात के साथ एक समीकरण (उदाहरण के लिए 2 · X)₁ + एक्स₂ - 5 · एक्स₃ = 10) को तीन-आयामी स्थान और इतने पर दर्शाया जाएगा.

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, एक्स के मान₀,..., एक्स_n ,एक्स_{एन + १} लाइनों के बीच में कट प्वाइंट होना चाहिए.

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करके हम विभिन्न निष्कर्षों तक पहुंच सकते हैं। परिणाम के प्रकार के आधार पर, हम रैखिक समीकरणों के 3 प्रकार के सिस्टम के बीच अंतर कर सकते हैं:

1- अनिश्चितता अनुकूलता

यद्यपि यह एक मजाक की तरह लग सकता है, यह संभव है कि जब समीकरणों की प्रणाली को हल करने की कोशिश हो, तो हम शैली 0 = 0 की स्पष्टता पर पहुंचेंगे.

इस प्रकार की स्थिति तब होती है जब समीकरणों की प्रणाली के लिए अनंत समाधान होते हैं, और यह तब होता है जब यह पता चलता है कि समीकरणों की हमारी प्रणाली में समीकरण समान रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं। हम इसे रेखांकन:

समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में हम लेते हैं:

हल करने के लिए 2 अज्ञात के साथ 2 समीकरण होने से हम दो-आयामी विमान में लाइनों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं

जैसा कि हम उसी के साथ लाइनों को देख सकते हैं, इसलिए पहले समीकरण के सभी बिंदु दूसरे समीकरण के साथ मेल खाते हैं, इसलिए इसमें कट के कई बिंदु हैं जैसे कि रेखा के पास अंक हैं, अर्थात, शिशु.

2- असंगत

नाम पढ़ते समय हम कल्पना कर सकते हैं कि हमारे समीकरणों की अगली प्रणाली में समाधान नहीं होगा.

यदि हम हल करने की कोशिश करते हैं, उदाहरण के लिए, समीकरणों की यह प्रणाली

रेखांकन यह होगा:

यदि हम दूसरे समीकरण के सभी शब्दों को गुणा करते हैं, तो हम उस X + Y = 1 को 2 · X + 2 · Y = 2 के बराबर प्राप्त करते हैं। और अगर यह अंतिम अभिव्यक्ति पहले समीकरण से घटाया जाता है, तो हम प्राप्त करते हैं

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

या जो है वही है

0 = 1

जब हम इस स्थिति में होते हैं तो इसका मतलब है कि समीकरणों की प्रणाली में जिन रेखाओं का प्रतिनिधित्व किया गया है, वे समानांतर हैं, जिसका अर्थ है कि परिभाषा के अनुसार, वे कभी कट नहीं होते हैं और कोई कट बिंदु नहीं होता है। जब किसी प्रणाली को इस तरह से प्रस्तुत किया जाता है तो उसे असंगत स्वतंत्र कहा जाता है.

3- निर्धारित समर्थन

अंत में हम उस मामले में आते हैं जिसमें हमारे समीकरणों की प्रणाली का एक ही समाधान होता है, जिस मामले में हमारे पास लाइनें होती हैं जो प्रतिच्छेदन बिंदु को काटती हैं और उत्पन्न करती हैं। आइए एक उदाहरण देखें:

इसे हल करने के लिए हम दो समीकरण जोड़ सकते हैं ताकि हम प्राप्त करें

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

यदि हम सरल करते हैं तो हमने छोड़ दिया है

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

जिससे हम आसानी से उस X = 2 को घटाते हैं और किसी भी मूल समीकरण में X या 2 को प्रतिस्थापित करते हैं, जिसे हम Y: 3 प्राप्त करते हैं।.

नेत्रहीन यह होगा:

रैखिक समीकरणों को हल करने के तरीके

जैसा कि हमने पिछले अनुभाग में देखा है, 2 अज्ञात और 2 समीकरण वाले सिस्टम के लिए, इसके अलावा सरल ऑपरेशन जैसे कि जोड़, घटाव, गुणन, विभाजन और प्रतिस्थापन, हम मिनटों के मामले में उन्हें हल कर सकते हैं। लेकिन अगर हम इस पद्धति को अधिक समीकरणों और अधिक अज्ञात के साथ सिस्टम पर लागू करने की कोशिश करते हैं, तो गणना थकाऊ हो जाती है और हम आसानी से गलत कर सकते हैं.

गणना को सरल बनाने के लिए संकल्प के कई तरीके हैं, लेकिन निस्संदेह सबसे व्यापक तरीके हैं क्रैमर नियम और गॉस-जॉर्डन का उन्मूलन।.

क्रमर विधि

यह समझने के लिए कि इस पद्धति को कैसे लागू किया जाता है, यह जानना आवश्यक है कि इसका मैट्रिक्स क्या है और इसके निर्धारक को कैसे पता करें, आइए इन दो अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए एक कोष्ठक बनाते हैं।.

एक मैट्रिक्स यह क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं में रखी गई संख्याओं और बीजगणितीय प्रतीकों के एक सेट से ज्यादा कुछ नहीं है और एक आयत के रूप में व्यवस्थित है। हमारे विषय के लिए हम मैट्रिक्स का उपयोग हमारे समीकरणों की प्रणाली को व्यक्त करने के अधिक सरल तरीके के रूप में करेंगे.

आइए एक उदाहरण देखें:

यह रैखिक समीकरणों की प्रणाली होगी

समीकरणों की यह सरल प्रणाली जिसे हम संक्षेप में बता सकते हैं, दो 2 × 2 मैट्रिक्स का संचालन है जिसके परिणामस्वरूप 2 × 2 मैट्रिक्स होता है.

पहला मैट्रिक्स सभी गुणांक के साथ मेल खाता है, दूसरा मैट्रिक्स हल करने के लिए अज्ञात है और समीकरण के स्वतंत्र शर्तों के साथ समानता के बाद स्थित मैट्रिक्स को पहचाना जाता है

सिद्ध एक ऑपरेशन है जो एक मैट्रिक्स पर लागू होता है जिसका परिणाम एक वास्तविक संख्या है.

मैट्रिक्स के मामले में जो हमने अपने पिछले उदाहरण में पाया है, उसका निर्धारक होगा:

एक बार मैट्रिक्स और निर्धारक की अवधारणाओं को परिभाषित करने के बाद, हम यह बता सकते हैं कि क्रैमर विधि क्या है.

इस विधि से, हम आसानी से रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं जब तक कि सिस्टम तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों से अधिक न हो, क्योंकि मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना 4 × 4 या उससे अधिक के मैट्रिक्स के लिए बहुत मुश्किल है। तीन से अधिक रैखिक समीकरणों वाली प्रणाली होने की स्थिति में, गॉस-जॉर्डन के उन्मूलन द्वारा विधि की सिफारिश की जाती है.

पिछले उदाहरण के साथ आगे बढ़ते हुए, Cramer के माध्यम से हमें बस दो निर्धारकों की गणना करनी है और इसके साथ हम अपने दो अज्ञात का मूल्य जानेंगे.

हमारे पास हमारी प्रणाली है:

और हमारे पास मेट्रिसेस द्वारा प्रस्तुत एक प्रणाली है:

X का मान पाया जाता है:

बस विभाजन के हर में स्थित निर्धारक की गणना में, हमने स्वतंत्र शब्दों के मैट्रिक्स के लिए पहला कम्यून प्रतिस्थापित किया है। और विभाजन के हर में हमारे मूल मैट्रिक्स के निर्धारक हैं.

Y को प्राप्त करने के लिए समान गणनाएँ करना:

गॉस-जॉर्डन का उन्मूलन

हम परिभाषित करते हैं विस्तारित मैट्रिक्स मैट्रिक्स जो समीकरणों की एक प्रणाली से उत्पन्न होता है जहां हम मैट्रिक्स के अंत में स्वतंत्र शब्द जोड़ते हैं.

गॉस-जॉर्डन के उन्मूलन की विधि मैट्रिक्स की पंक्तियों के बीच संचालन के माध्यम से होती है, हमारे विस्तारित मैट्रिक्स को बहुत सरल मैट्रिक्स में बदलने के लिए, जहां मुझे विकर्ण को छोड़कर सभी क्षेत्रों में शून्य है, जहां मुझे कुछ प्राप्त करना होगा। इस प्रकार है:

जहां एक्स और वाई वास्तविक संख्याएं होंगी जो हमारे अज्ञात के अनुरूप हैं.

आइए गॉस-जॉर्डन को समाप्त करके इस प्रणाली को हल करें:

हम पहले से ही अपने मैट्रिक्स के निचले बाएं हिस्से में एक शून्य प्राप्त करने में कामयाब रहे हैं, अगला कदम इसके ऊपरी दाएं हिस्से में 0 प्राप्त करना है।.

हमने मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ में 0 प्राप्त किया है, अब हमें केवल विकर्ण को लोगों में बदलना है और हम पहले से ही गौस-जॉर्डन द्वारा अपनी प्रणाली को हल कर चुके हैं.

इसलिए हम इस निष्कर्ष पर आते हैं कि:

संदर्भ

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. रैखिक समीकरणों (बिना तारीख) के सिस्टम। Uco.es से पुनर्प्राप्त किया गया.
4. रैखिक समीकरणों की प्रणाली। अध्याय 7. (अघोषित)। सॉस से लिया गया। pntic.mec.es.
5. रेखीय बीजगणित और ज्यामिति (2010/2011)। रैखिक समीकरणों की प्रणाली। अध्याय 1. बीजगणित विभाग। सेविले विश्वविद्यालय। स्पेन। बीजगणित से प्राप्त.