तकनीकी गिनती तकनीक, अनुप्रयोग और उदाहरण

गिनती की तकनीक एक सेट या वस्तुओं के कई सेटों के भीतर व्यवस्था की संभावित संख्या की गणना करने के लिए संभाव्यता विधियों की एक श्रृंखला है। बड़ी संख्या में वस्तुओं और / या चर के कारण खातों को मैन्युअल रूप से जटिल बनाते समय इनका उपयोग किया जाता है.

उदाहरण के लिए, इस समस्या का समाधान बहुत सरल है: कल्पना करें कि आपका बॉस आपको अंतिम उत्पादों की गिनती करने के लिए कहता है जो अंतिम घंटे में आ गए हैं। इस मामले में आप जा सकते हैं और उत्पादों को एक-एक करके गिन सकते हैं.

हालांकि, कल्पना करें कि समस्या यह है: आपका बॉस आपको यह गिनने के लिए कहता है कि अंतिम घंटे में आने वाले लोगों के साथ एक ही प्रकार के 5 उत्पादों के कितने समूह बन सकते हैं। इस स्थिति में, गणना जटिल हो जाती है। इस प्रकार की स्थिति के लिए तथाकथित गिनती तकनीकों का उपयोग किया जाता है.  

ये तकनीकें कई हैं, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण दो बुनियादी सिद्धांतों में विभाजित हैं, जो गुणात्मक और योजक हैं; क्रमपरिवर्तन और संयोजन.

सूची

• 1 गुणक सिद्धांत
  • 1.1 आवेदन
  • 1.2 उदाहरण
• 2 योजक सिद्धांत 
  • 2.1 अनुप्रयोग
  • २.२ उदाहरण
• 3 क्रमोन्नति
  • 3.1 अनुप्रयोग
  • ३.२ उदाहरण
• 4 संयोजन
  • 4.1 आवेदन
  • ४.२ उदाहरण
• 5 संदर्भ 

गुणक सिद्धांत

अनुप्रयोगों

गुणक सिद्धांत, योजक के साथ, गिनती तकनीकों के संचालन को समझने के लिए बुनियादी हैं। गुणक के मामले में, इसमें निम्न शामिल हैं:

एक ऐसी गतिविधि की कल्पना करें जिसमें विशिष्ट चरणों की संख्या शामिल हो (कुल को "आर" के रूप में चिह्नित किया गया है), जहां पहला कदम एन 1 रूपों से बनाया जा सकता है, एन 2 का दूसरा चरण और एनआर रूपों का चरण "आर"। इस स्थिति में, गतिविधि को इस ऑपरेशन से उत्पन्न रूपों की संख्या से किया जा सकता है: N1 x N2 x ... .x Nr रूप।

यही कारण है कि इस सिद्धांत को गुणक कहा जाता है, और इसका अर्थ है कि गतिविधि को पूरा करने के लिए आवश्यक हर एक चरण को एक के बाद एक करना चाहिए. 

उदाहरण

आइए एक ऐसे व्यक्ति की कल्पना करें जो एक स्कूल बनाना चाहता है। ऐसा करने के लिए, विचार करें कि भवन के आधार का निर्माण दो अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है, सीमेंट या कंक्रीट। दीवारों के लिए के रूप में, वे एडोब, सीमेंट या ईंट से बने हो सकते हैं.

छत के लिए के रूप में, यह सीमेंट या जस्ती चादर का निर्माण किया जा सकता है। अंत में, अंतिम पेंटिंग केवल एक तरह से की जा सकती है। जो सवाल उठता है वह निम्न है: स्कूल को कितने तरीकों से निर्माण करना है??

सबसे पहले, हम चरणों की संख्या पर विचार करते हैं, जो आधार, दीवारें, छत और पेंटिंग होंगे। कुल में, 4 चरण, इसलिए आर = 4.

निम्नलिखित N को सूचीबद्ध करने के लिए होगा:

N1 = आधार बनाने के तरीके = 2

N2 = दीवारें बनाने के तरीके = 3

N3 = छत बनाने के तरीके = 2

N4 = पेंट बनाने के तरीके = 1

इसलिए, ऊपर वर्णित सूत्र द्वारा संभावित रूपों की संख्या की गणना की जाएगी:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = स्कूल पूरा करने के 12 तरीके.

योगात्मक सिद्धांत

अनुप्रयोगों

यह सिद्धांत बहुत सरल है, और यह है कि, एक ही गतिविधि करने के लिए मौजूदा कई विकल्पों के मामले में, सभी संभावित विकल्पों को बनाने के लिए अलग-अलग संभव तरीकों का योग शामिल है।.

दूसरे शब्दों में, यदि हम तीन विकल्पों के साथ एक गतिविधि करना चाहते हैं, जहां पहला विकल्प एम रूपों में किया जा सकता है, दूसरा एन रूपों में और आखिरी डब्ल्यू रूपों में, गतिविधि: एम + एन + ... + डब्ल्यू रूपों से बना जा सकता है।.

उदाहरण

इस बार एक ऐसे व्यक्ति की कल्पना कीजिए जो एक टेनिस रैकेट खरीदना चाहता है। इसके लिए, इसके पास चुनने के लिए तीन ब्रांड हैं: विल्सन, बेबोलट या हेड.

जब वह स्टोर पर जाता है तो वह देखता है कि विल्सन रैकेट को दो अलग-अलग आकारों के संभाल के साथ खरीदा जा सकता है, L2 या L3 को चार अलग-अलग मॉडलों में रखा जा सकता है और इसे बिना तार के या बिना तार के किया जा सकता है।.

दूसरी ओर, बाबोलट रैकेट के तीन हैंडल (L1, L2 और L3) हैं, दो अलग-अलग मॉडल हैं और यह बिना तार के या बिना तार के भी हो सकता है.

दूसरी ओर, हेड रैकेट केवल एक हैंडल, L2 के साथ, दो अलग-अलग मॉडलों में और केवल स्ट्रिंग के बिना होता है। सवाल यह है कि इस व्यक्ति को अपने रैकेट को खरीदने के कितने तरीके हैं??

एम = एक विल्सन रैकेट का चयन करने के तरीकों की संख्या

एन = एक बाबलाट रैकेट का चयन करने के तरीकों की संख्या

W = हेड रैकेट चुनने के तरीकों की संख्या

हम गुणक सिद्धांत बनाते हैं:

M = 2 x 4 x 2 = 16 रूप

N = 3 x 2 x 2 = 12 रूप

W = 1 x 2 x 1 = 2 रूप

 रैकेट चुनने के लिए M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 तरीके.

यह जानने के लिए कि गुणक सिद्धांत और योजक का उपयोग कब करना है, आपको बस यह देखना है कि क्या गतिविधि के लिए कई चरणों को पूरा करना है, और यदि कई विकल्प हैं, तो योजक.

क्रमपरिवर्तन

अनुप्रयोगों

यह समझने के लिए कि एक क्रमचय क्या है, यह स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है कि उन्हें अलग करने के लिए संयोजन क्या है और उन्हें कब उपयोग करना है.

एक संयोजन उन तत्वों की एक व्यवस्था होगी जिसमें हम उस स्थिति में रुचि नहीं रखते हैं जो उनमें से प्रत्येक में व्याप्त है.

दूसरी ओर, एक क्रमपरिवर्तन, उन तत्वों की एक व्यवस्था होगी जिसमें हम उस स्थिति में रुचि रखते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर उनका कब्जा है.

आइए अंतर को बेहतर ढंग से समझने के लिए एक उदाहरण दें.

उदाहरण

35 छात्रों और निम्न स्थितियों के साथ एक कक्षा की कल्पना करें:

1. शिक्षक चाहता है कि उसके तीन छात्र कक्षा को साफ रखने में मदद करें या ज़रूरत पड़ने पर अन्य छात्रों को सामग्री वितरित करें.
2. शिक्षक वर्ग प्रतिनिधियों (एक अध्यक्ष, एक सहायक और एक फाइनेंसर) को नियुक्त करना चाहता है।.

समाधान निम्नलिखित होगा:

1. कल्पना कीजिए कि जुआन को वोट देकर, मारिया और लूसिया को कक्षा को साफ करने या सामग्री वितरित करने के लिए चुना जाता है। जाहिर है, 35 संभावित छात्रों में से तीन लोगों के अन्य समूह बन सकते थे.

हमें अपने आप से निम्नलिखित पूछना चाहिए: क्या यह महत्वपूर्ण क्रम या स्थिति है, जो छात्रों में से प्रत्येक का चयन करते समय होती है??

यदि हम इसके बारे में सोचते हैं, तो हम देखते हैं कि यह वास्तव में महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि समूह दोनों कार्यों का समान रूप से ध्यान रखेगा। इस मामले में, यह एक संयोजन है, क्योंकि हम तत्वों की स्थिति में रुचि नहीं रखते हैं.

2. अब कल्पना कीजिए कि जॉन को अध्यक्ष के रूप में चुना गया, मारिया को सहायक के रूप में और ल्यूसिया को वित्तीय के रूप में चुना गया.

इस मामले में, क्या ऑर्डर मामला होगा? इसका उत्तर हां में है, क्योंकि अगर हम तत्वों को बदलते हैं, तो परिणाम बदलता है। यही है, अगर जुआन को राष्ट्रपति के रूप में रखने के बजाय, हमने उसे सहायक के रूप में रखा, और मारिया को राष्ट्रपति के रूप में रखा, तो अंतिम परिणाम बदल जाएगा। इस मामले में यह एक क्रमचय है.

एक बार अंतर को समझने के बाद, हम क्रमपरिवर्तन और संयोजन के सूत्र प्राप्त करेंगे। हालाँकि, पहले हमें "n" शब्द को परिभाषित करना चाहिए (वास्तव में), क्योंकि इसका उपयोग विभिन्न सूत्रों में किया जाएगा.

n! = 1 से n तक के उत्पाद के लिए.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

वास्तविक संख्याओं के साथ इसका उपयोग करना:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

क्रमपरिवर्तन का सूत्र निम्नलिखित होगा:

nPr = n! / (n-r)!

इसके साथ हम उन व्यवस्थाओं का पता लगा सकते हैं जहां आदेश महत्वपूर्ण है, और जहां n तत्व अलग हैं.

संयोजन

अनुप्रयोगों

जैसा कि हमने पहले टिप्पणी की है, संयोजन वे व्यवस्थाएं हैं जहां हम तत्वों की स्थिति की परवाह नहीं करते हैं.

इसका सूत्र निम्नलिखित है:

nCr = n! / (n-r)! r!

उदाहरण

यदि 14 छात्र हैं जो कक्षा को साफ करने के लिए स्वयंसेवक बनाना चाहते हैं, तो प्रत्येक समूह में 5 लोगों द्वारा कितने सफाई समूह बनाए जा सकते हैं??

इसलिए, समाधान निम्नलिखित होगा:

n = 14, आर = 5

14C5 = 14! / (१४ - ५)! ५! = 14! / ९! ५! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 समूह

संदर्भ

1. जेफरी, आर.सी.., संभाव्यता और निर्णय की कला, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। (1992).
2. विलियम फेलर, "संभावना सिद्धांत और उसके अनुप्रयोगों का एक परिचय", (वॉल्यूम 1), तीसरा एड, (1968), विली
3. फ़िनेटी, ब्रूनो डे (1970). "तार्किक नींव और व्यक्तिपरक संभावना का मापन". मनोवैज्ञानिक अधिनियम.
4. हॉग, रॉबर्ट वी।; क्रेग, एलन; मैककेन, जोसेफ डब्ल्यू। (2004). गणितीय सांख्यिकी का परिचय (6 वां संस्करण।) ऊपरी सैडल नदी: पीयरसन.
5. फ्रैंकलिन, जे। (2001) अनुमान का विज्ञान: पास्कल से पहले साक्ष्य और संभावना,जॉन्स हॉपकिन्स यूनिवर्सिटी प्रेस.